高中數(shù)學(xué)中的傳統(tǒng)文化管窺

張思婷

筆者在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象，看似枯燥的數(shù)學(xué)公式、定理、概念等內(nèi)容，其實(shí)包含著非常有趣的傳統(tǒng)文化。其中既有講述數(shù)學(xué)文化史方面的知識(shí)，也有講述數(shù)學(xué)的思想和方法、價(jià)值與作用的故事，還講述了發(fā)生在數(shù)學(xué)家身上離奇有趣的故事。通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的文化知識(shí)，不僅能讓學(xué)生從宏觀上把握數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)思想，開(kāi)闊思維，創(chuàng)新方法，而且還可以把枯燥的數(shù)學(xué)變得生動(dòng)有趣。

一、高中數(shù)學(xué)中傳統(tǒng)文化的內(nèi)容

1.數(shù)學(xué)中的歷史文化知識(shí)

數(shù)學(xué)伴隨著人類(lèi)的起源而起源，伴隨著人類(lèi)的發(fā)展而發(fā)展，是人類(lèi)在認(rèn)識(shí)和改造世界過(guò)程中逐漸發(fā)展并形成的一門(mén)科學(xué)，從“涉獵計(jì)數(shù)”與“結(jié)繩記事”開(kāi)始，人類(lèi)就開(kāi)始運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)世界。當(dāng)數(shù)學(xué)成為一門(mén)科學(xué)之后，又反過(guò)來(lái)變成了人類(lèi)改造世界的一種工具。

從我國(guó)來(lái)看，我國(guó)在歷史上長(zhǎng)期以來(lái)以農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)為基礎(chǔ)，從而形成了以農(nóng)業(yè)文化為主體的文化格局，因此，通過(guò)我國(guó)古代數(shù)學(xué)不僅能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)的密切關(guān)系，也能看到農(nóng)耕文化對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。

我國(guó)古老的數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中共包含了246個(gè)問(wèn)題，基本上都與農(nóng)業(yè)生產(chǎn)密切相關(guān)。其中，無(wú)論是“方田（土地測(cè)量）”還是“粟米（百分法和比例）”，無(wú)論是“衰分（比例分配）”還是“少?gòu)V（減少寬度）”都是與土地相關(guān)或?qū)Z食的分配的計(jì)算方法，即使是“商功（工程審議）”那樣的以工學(xué)為主的運(yùn)用科學(xué)，也是關(guān)于農(nóng)業(yè)水利工程的測(cè)算。至于“均輸（征稅）”、“盈不足（過(guò)剩與不足）”、“方程（列表計(jì)算的方法）”和“勾股（直角三角形）”也無(wú)不與農(nóng)業(yè)和糧食的稱(chēng)量有關(guān)。同樣，盛行于唐代的《五曹算經(jīng)》也是一部為地方行政人員所寫(xiě)的應(yīng)用算術(shù)。所謂“五曹”，就是指對(duì)田地面積、軍隊(duì)給養(yǎng)、粟米問(wèn)題、糧食征收、運(yùn)輸儲(chǔ)藏五種問(wèn)題的計(jì)算或測(cè)算方法，其中涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的比例問(wèn)題。即使是祖沖之對(duì)于圓周率和圓面積的輝煌成就，都可以追尋出農(nóng)業(yè)的印記。

2.數(shù)學(xué)中的有趣故事

在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展歷史中，積累了大量的數(shù)學(xué)傳說(shuō)和數(shù)學(xué)故事。雖然說(shuō)數(shù)學(xué)傳說(shuō)和故事不屬于數(shù)學(xué)史的范疇，但是很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出或產(chǎn)生起源于這些傳說(shuō)和故事。比如，沈文選和楊清桃所著的《數(shù)學(xué)方法溯源》一書(shū)中，記載了一個(gè)非常有意思的數(shù)學(xué)故事——韓信立馬分油：

韓信立馬分油：據(jù)載漢代軍事家韓信一日訪友歸來(lái)，途經(jīng)一集市，遇見(jiàn)一賣(mài)油翁與顧客爭(zhēng)執(zhí)。顧客欲買(mǎi)5斤油，賣(mài)油翁言無(wú)法計(jì)量，因而告訴顧客，要么買(mǎi)3斤，要么買(mǎi)7斤。韓信詢(xún)問(wèn)得知，賣(mài)油翁油蔞中有油10斤，但他僅有能裝3斤油的萌蘆和裝7斤油的I，而顧客執(zhí)意要買(mǎi)5斤油。韓信在馬上略加思索道：“你二人無(wú)須再爭(zhēng)，看我給你們分油，葫蘆歸罐罐歸簍，分好油來(lái)回家走。”按照韓信的辦法，交易很快完成，買(mǎi)賣(mài)雙方皆大歡喜。

這是一道需要?jiǎng)幽X子才能解答的問(wèn)題，具體做法是從油簍中往油葫蘆里倒三次，前兩次油葫蘆中的油全部倒到油罐中，第三次油葫蘆中的油只能往油罐中倒1公斤，油罐就滿了；將油罐中的油全部倒回油簍，再將油葫蘆中剩下的2公斤油倒到油罐中；從油簍中往油罐中倒一葫蘆油（3公斤），這時(shí)，油簍和油罐中各有5公斤油。問(wèn)題因此得以解決。這些有趣的數(shù)學(xué)故事，一方面有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)背景的理解，另一方面增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性和文化氣息。

3.古代數(shù)學(xué)的成就

在我國(guó)古代，有一些數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展具有巨大的貢獻(xiàn)。

例如，在學(xué)習(xí)“立體幾何”的問(wèn)題時(shí)，課本介紹了祖暅定理。祖暅?zhǔn)侵麛?shù)學(xué)家祖沖之的兒子。他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異。”意思是說(shuō)：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積（冪）總相等，這兩個(gè)幾何體的體積相等。祖暅的這一定理與意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利的卡瓦列利原理完全一致，但祖暅卻比卡瓦列利要早1100多年。

再如，在學(xué)習(xí)勾股定理的時(shí)，最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化簡(jiǎn)后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）（1/2）

此外，在高中教材中在學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式定理”時(shí)引入“賈憲三角（又稱(chēng)帕斯卡三角）”。賈憲的主要貢獻(xiàn)在于求“開(kāi)方作法本源圖”中各項(xiàng)系數(shù)的方法。之前，我國(guó)關(guān)于正數(shù)開(kāi)平方、開(kāi)立方的運(yùn)算僅限于四次方（高次冪開(kāi)方）以下的范圍，而賈憲運(yùn)用了“增乘開(kāi)方法不僅可以對(duì)任意高次冪的開(kāi)方，而且還能求得任意高次展開(kāi)式系數(shù)，還能隨乘隨加，反復(fù)迭代，真正解決了我國(guó)開(kāi)高次方和任意有理數(shù)的高次方的問(wèn)題。之后幾乎所有的數(shù)學(xué)家都是以此為基礎(chǔ)展開(kāi)探索。賈憲之后，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶終于把以增乘開(kāi)方法為主體的高次方程數(shù)值解法發(fā)展到了十分完備的程度，這對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展具有不可估量的價(jià)值。

宋代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》自序中，把數(shù)學(xué)的功效概括為：“大則可以通神明，順性命；小則可以經(jīng)世務(wù)，類(lèi)萬(wàn)物?！闭怯捎跀?shù)學(xué)在政治、文化、經(jīng)濟(jì)、生活中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值，才使得數(shù)學(xué)以實(shí)用性為依托，在中國(guó)古代社會(huì)獲得了一份生存權(quán)。

二、高中數(shù)學(xué)中的文化精神

數(shù)學(xué)是一種具有高度滲透性的文化。數(shù)學(xué)作為一種文化根植于人類(lèi)豐富思想的沃土之中，是人類(lèi)智慧和創(chuàng)造的結(jié)晶。數(shù)學(xué)文化的歷史，以其獨(dú)特的思想體系，保持并記錄了人類(lèi)在特定社會(huì)形式和特定歷史階段文化發(fā)展的狀態(tài)。不僅是各門(mén)學(xué)科的重要基礎(chǔ)，也是發(fā)展現(xiàn)代科技，推進(jìn)社會(huì)進(jìn)步，提高經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的重要基礎(chǔ)。

在我國(guó)，儒家思想一直占據(jù)著主流地位，數(shù)學(xué)被看成“六藝”之末。儒家也認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)的實(shí)踐作用，因此在儒家的“六藝”中也列出了“數(shù)”這一“藝”，但同時(shí)，在注重倫理道德與人文科學(xué)的儒家看來(lái)，數(shù)學(xué)又是“六藝”中的“小道”，是為其他領(lǐng)域?qū)W科服務(wù)的。因此，數(shù)學(xué)僅僅被當(dāng)作一種運(yùn)用工具而不是一種完整的邏輯體系和專(zhuān)門(mén)的學(xué)問(wèn)。對(duì)數(shù)學(xué)作用理解的偏頗造成了我國(guó)數(shù)學(xué)以實(shí)用性和發(fā)展算法為主要特征的“中國(guó)特色”。我國(guó)古代數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)不是定理，也沒(méi)有具體的定理和公理，我們的目的是解決形形色色的問(wèn)題，主要表現(xiàn)在解方程上。運(yùn)算體系就是一種為解決問(wèn)題，著重具體計(jì)算的一種算法的體系。上述《九章算術(shù)》與《五曹算經(jīng)》中關(guān)于方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股與田曹、兵曹、集曹、倉(cāng)曹、金曹等的計(jì)算都是從“致用”的目的出發(fā)。這樣的理解，完全符合我國(guó)傳統(tǒng)文化中“經(jīng)世致用”的思想，如果說(shuō)儒家思想體系的主要作用在于“經(jīng)世”的話，那數(shù)學(xué)的作用就是“致用”而已。因此，當(dāng)我們的先人取得了一個(gè)個(gè)驚人的數(shù)學(xué)成就后，對(duì)于社會(huì)的貢獻(xiàn)就是一個(gè)巧妙的解方程的方法，是一個(gè)實(shí)用而且好用的工具。這也就是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)發(fā)展沒(méi)有形成完善的邏輯體系和完整的數(shù)學(xué)理論的主要原因，從而導(dǎo)致解決數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)按圖索驥、不知所措的尷尬局面。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，中國(guó)人認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)不僅僅是一種實(shí)用的工具，還包含著深層次的民族文化的理性精神。只有充分挖掘這種理性精神，我們才能真正地把握數(shù)學(xué)的內(nèi)蘊(yùn)，才能讓數(shù)學(xué)成為我國(guó)傳統(tǒng)文化的有機(jī)組成部分。