分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)的同步

于紅霞，楊　利，黃　碩，遲新利

(沈陽工程學(xué)院 a.國際教育學(xué)院; b.自動(dòng)化學(xué)院 ，遼寧 沈陽 110136 )

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分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)的同步

于紅霞a，楊利a，黃碩a，遲新利b

(沈陽工程學(xué)院 a.國際教育學(xué)院; b.自動(dòng)化學(xué)院 ，遼寧 沈陽 110136 )

摘要：對(duì)分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik混沌同步問題進(jìn)行研究，為響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了適當(dāng)?shù)目刂破饕赃_(dá)到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步的目的。研究了一種新型的分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性判定方法，并基于此完成了對(duì)直接控制器的設(shè)計(jì)方法的證明。分別對(duì)單吸引子和雙吸引子的分?jǐn)?shù)階Newton-Leionik混沌系統(tǒng)問題進(jìn)行仿真，結(jié)果證明了所提出方法的有效性。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階混沌 ；Newton-Leipnik同步；直接構(gòu)造法

與傳統(tǒng)的整數(shù)階微分相比，分?jǐn)?shù)階微分對(duì)一些實(shí)際系統(tǒng)的描述更為準(zhǔn)確[1]。因此，越來越多研究者對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性和應(yīng)用給予了更多的關(guān)注。研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一些分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)具有混沌行為[4]，例如分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)[3]、分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)[2]、分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)[5]等。以上所提及的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)都呈現(xiàn)單吸引子特性。目前，對(duì)于具有多重吸引子的混沌系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)階條件下的研究也引起了研究者的興趣。文獻(xiàn)[14]基于分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，對(duì) Newton-Leipnik系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階次不同時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，為雙重吸引子的Newton-Leipnik系統(tǒng)的應(yīng)用研究奠定了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[12]、[9]、[15]針對(duì)典型的具有雙重混沌吸引子的Newton-Leipnik系統(tǒng)應(yīng)用進(jìn)行了研究，并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論進(jìn)行了控制器設(shè)計(jì)。然而Lyapunov函數(shù)選擇還沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和方法，有時(shí)花費(fèi)大量的時(shí)間和精力也不一定能找到合適的Lyapunov函數(shù),因此找到一種比較簡單和可行的方法實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步顯得非常必要。

文獻(xiàn)[10]中提出了基于Lyapunov函數(shù)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定定理，并在文獻(xiàn)[16]中對(duì)該判定定理進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種新型的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，經(jīng)過嚴(yán)格的理論推導(dǎo)表明該種方法與Lyapunov方法是等價(jià)的。

受到文獻(xiàn)[13]、[16]、[17]、[18]的啟發(fā)，基于新型的分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性判定定理和數(shù)學(xué)構(gòu)造思想，采用了直接構(gòu)造法為響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)出控制器，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)兩個(gè)具有雙重吸引子的混沌系統(tǒng)同步。數(shù)值仿真結(jié)果說明針對(duì)于Newton-Leipnik系統(tǒng)的同步問題所提出的設(shè)計(jì)方法是有效的，整個(gè)設(shè)計(jì)過程表明該方法具有設(shè)計(jì)過程簡單，易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。

1問題描述

Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程[14]如下:

(1)

其中，x2,x2,x3為狀態(tài)變量。Newton-Leipnik系統(tǒng)作為典型的雙重吸引子混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)階次α∈[0.9367,0.989]時(shí)處于混沌狀態(tài)，且具有雙重混沌吸引子。隨著分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)階數(shù)的下降，處于混沌狀態(tài)的分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)的雙重吸引子突變?yōu)閱挝印．?dāng)α∈[0.9367,0.989]時(shí)雖然處于混沌狀態(tài)，但只具有單吸引子;當(dāng)α=0.9367時(shí)處于周期狀態(tài)[14]。

定義Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),則如下系統(tǒng)為受控響應(yīng)系統(tǒng)：

(2)

其中,ui(t),i=1,2,3為基于直接構(gòu)造法設(shè)計(jì)的控制器。

借助構(gòu)造法的理念，將混沌系統(tǒng)的同步問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。令受控響應(yīng)系統(tǒng)和系統(tǒng)的狀態(tài)誤差分別為ei(t)=yi(t)-xi(t),i=1,2,3，誤差系統(tǒng)如下：

(3)

老砍頭到了寢宮，太監(jiān)、宮女早被打發(fā)走了，沒進(jìn)大門呢，老砍頭就聽見皇上在自言自語：“我也想通了，實(shí)在不行，我就投降，能封個(gè)安樂公，就心滿意足了。”

2同步控制器的設(shè)計(jì)

為了使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步，必須設(shè)計(jì)穩(wěn)定的控制器使同步誤差系統(tǒng)穩(wěn)定。為了簡化穩(wěn)定控制器的設(shè)計(jì)過程，實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步，需要借用如下引理。

根據(jù)混沌同步的定義，基于構(gòu)造思想可以將受控響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)同步問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定問題。根據(jù)引理選擇適合的正定矩陣P，采用直接構(gòu)造法設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂破鱱(t)=[u1(t),u2(t),u3(t)]T使判定函數(shù)h(x(t))≤0恒成立，則使同步誤差系統(tǒng)在原點(diǎn)附近漸近穩(wěn)定，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和受控響應(yīng)系統(tǒng)的同步。

定理當(dāng)參數(shù)在0.94≤α<1時(shí),受控 Newton-Leipnik響應(yīng)系統(tǒng)在直接控制器作用下,能在任意初始狀態(tài)實(shí)現(xiàn)與Newton-Leipnik驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的同步。

(4)

根據(jù)引理，選擇正定矩陣P=E構(gòu)建判定函數(shù)(5),

h(t)=e1(t)Dαe1(t)+e2(t)Dαe2(t)+e3(t)Dαe3(t)

(5)

將控制器(4)帶入式(5)可得

h(t)=e1(-ae1+e2+10(y2e3+x3e2)+u1(t))+…e2(-e1-0.4e2+5(y1e3+x3e1)+u2(t))+…e3(be3-5(y1e2+x2e1)+u3(t))

(6)

h(t)=e1(-ae1+e2+10(y2e3+x3e2)+a-1-5y2e2)+…e2(-e1-0.4e2+5(y1e3+x3e1)+-15x3e1)+…e3(be3-5(y1e2+x2e1)+-b-1-5e1e2)

整理得(7)式

(7)

化簡得

根據(jù)引理的結(jié)論，可知系統(tǒng)的狀態(tài)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定，于是實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)同步。

3數(shù)值仿真

為了說明所提出方法在單吸引子和雙吸引子混沌同步控制中的有效性和可行性，分別對(duì)單吸引子和雙重吸引子混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行仿真,得到各同步誤差曲線。仿真過程采用改進(jìn)的Oustloup算法逼近分?jǐn)?shù)階微分算子。

3.1單吸引子混沌同步仿真

分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)的階次α=0.95，系統(tǒng)為單吸引子混沌，選擇a=0.4,b=0.175為系統(tǒng)參數(shù)，Newton-Leipnik驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)初始值(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.2,0.21,0.22)，響應(yīng)系統(tǒng)初始值(y1(0),y2(0)，y3(0))=(1,2,1.12)。仿真后，Newton-Leionik混沌吸引子如圖1所示，同步誤差如圖2所示。

圖1　單個(gè)吸引子Newton-Leionik混沌系統(tǒng)在各平面的投影

圖2　單吸引子混沌系統(tǒng)同步誤差仿真曲線

由圖可知，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的階次，混沌系統(tǒng)呈現(xiàn)單吸引子特性，系統(tǒng)誤差系統(tǒng)初值為(e1(0),e2(0),e3(0))=(0.8,1.79,1.1)，同步誤差e1,e2,e3隨時(shí)間漸近趨于零，結(jié)果表明響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了同步，說明依據(jù)引理和直接構(gòu)造法設(shè)計(jì)的控制器針對(duì)于該種情況有效。

3.2雙吸引子混沌同步仿真

分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)的階次α=0.99，雙重引子混沌系統(tǒng)選擇a=0.4，b=0.175為系統(tǒng)參數(shù)，分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)初始值(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.2,0.21,0.22)，受控響應(yīng)系統(tǒng)初始值(y1(0),y2(0),y3(0))=(1,2,1.12)，誤差系統(tǒng)初值(e1(0),e2(0),e3(0))=(0.8,1.79,1.1)。雙吸引子混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性如圖3所示。根據(jù)所提出方法設(shè)計(jì)的控制器得到同步控制仿真曲線如圖4所示。

圖3　雙重吸引子Newton-Leionik混沌系統(tǒng)的在各平面的投影

圖4　雙重吸引子混沌系統(tǒng)同步誤差仿真曲線

由上圖可知α=0.99，Newton-Leionik混沌系統(tǒng)呈現(xiàn)雙吸引子特性，受控誤差系統(tǒng)初值為(e1(0),e2(0),e3(0))=(0.8,1.79,1.1)，同步誤差e1,e2,e3隨時(shí)間漸近趨于零，結(jié)果表明響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了同步，說明依據(jù)引理和直接構(gòu)造法設(shè)計(jì)的控制器針對(duì)于該種情況有效，響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了同步。

4結(jié)語

基于引理給出的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理，采用直接構(gòu)造法設(shè)計(jì)出的控制器，可以保證判定函h(t)≤0恒成立，即同步誤差系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)的同步。該方法不需要確定Lyapunov函數(shù)，只需構(gòu)造跟Lyapunov函數(shù)等價(jià)的新型判定函數(shù),該設(shè)計(jì)方法資源占用量小,簡單且易于實(shí)現(xiàn)。數(shù)值仿真結(jié)果表明所提出的設(shè)計(jì)方法對(duì)于單吸引子和雙吸引子的分?jǐn)?shù)階Newton-Leionik混沌系統(tǒng)同步問題均有效。

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(責(zé)任編輯佟金鍇校對(duì)張凱)

Synchronization Of Fractional Order Newton-Leionik Chaotic System

YU Hong-xia1,YANG Li1,HUANG Shuo1，CHI Xin-li2

(1.College of International Education,Shenyang institute of Engineering,Shenyang 110136,china;2.Automation Department,Shenyang institute of Engineering,Shenyang 110136,china)

Abstract：The problems in the field of fractional order chaotic synchronization is studied,construction method is adopted and proper controller is designed for the aim of synchronization of driven system and response system.One novel stability analysis methods is used for fractional order systems,and the direct control method is proved.The control simulation is completed for single abstractor and double abstractor of fractional order Newton-Leionik chaotic system and the results shows the given control method is effective.

Key words：fractional order chaos;Newton-Leipnik synchronization;direct construction method

中圖分類號(hào)：O415

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-1603(2016)01-0069-05

DOI：10.13888/j.cnki.jsie(ns).2016.01.014

作者簡介：于紅霞(1978-),女,遼寧莊河人,講師,碩士。

基金項(xiàng)目：遼寧省教育廳科學(xué)技術(shù)研項(xiàng)目(L2015366)

收稿日期：2015-07-21