基于Hertz接觸理論的齒輪接觸分析

胡夏夏，宋斌斌，戴小霞，劉曉曼

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

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基于Hertz接觸理論的齒輪接觸分析

胡夏夏，宋斌斌，戴小霞，劉曉曼

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

摘要：由于齒輪嚙合過程中齒廓接觸點(diǎn)曲率半徑變化以及單雙嚙合交替的存在，而引起齒面載荷分布不均勻和沖擊的問題，根據(jù)Hertz接觸原理對(duì)接觸模型和接觸應(yīng)力進(jìn)行了研究.分析提取嚙合線上不同嚙合點(diǎn)的綜合曲率半徑，利用包絡(luò)線繪制一條連續(xù)的曲率曲線，并根據(jù)該曲線生成特征曲面；利用有限元方法分別對(duì)齒輪接觸、特征曲面與平板之間接觸進(jìn)行了接觸應(yīng)力分析；分析結(jié)果顯示兩種接觸模型的接觸應(yīng)力分布相似度比較高，簡(jiǎn)化后的齒輪接觸理論模型可為齒輪接觸應(yīng)力實(shí)驗(yàn)分析提供參考依據(jù).

關(guān)鍵詞：Hertz接觸原理；綜合曲率半徑；有限元；接觸應(yīng)力

漸開線齒輪是工程應(yīng)用最為廣泛的機(jī)械零件之一，齒輪傳動(dòng)具有傳遞功率大、傳動(dòng)比準(zhǔn)確、安全可靠等優(yōu)點(diǎn).但是齒間接觸屬于高副，因此接觸區(qū)域必然會(huì)存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，齒輪的接觸應(yīng)力循環(huán)作用下容易產(chǎn)生齒面接觸疲勞現(xiàn)象.國內(nèi)外有不少研學(xué)者對(duì)齒輪嚙合過程中接觸應(yīng)力做過大量研究，并取得了豐碩的成果[1-4].但是大多數(shù)學(xué)者僅研究了節(jié)點(diǎn)嚙合位置的接觸應(yīng)力，而對(duì)接觸線上不同位置接觸應(yīng)力分布的研究較少，且相對(duì)精確的齒輪接觸應(yīng)力實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ头矫娴难芯烤透倭?因此，開展對(duì)接觸模型以及接觸應(yīng)力分布的研究有著重大實(shí)際意義[5].本研究根據(jù)Hertz接觸原理[6]對(duì)齒輪接觸模型和接觸應(yīng)力分布進(jìn)行了分析，對(duì)比了簡(jiǎn)化前后齒輪接觸模型的接觸應(yīng)力分布情況，為齒輪接觸應(yīng)力的實(shí)驗(yàn)分析提供了理論參考.

1簡(jiǎn)化模型的建立

1.1　Hertz接觸原理

漸開線齒輪齒面為形狀較復(fù)雜的特殊曲面，由于接觸區(qū)寬度小于齒面在接觸區(qū)域的曲率半徑，因而可對(duì)嚙合齒面作適當(dāng)簡(jiǎn)化.Week等[7]試驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)條件相同時(shí)，輪齒間的接觸狀態(tài)可用一對(duì)滾子來模擬(圖1)，一對(duì)輪齒之間的嚙合可以轉(zhuǎn)換為兩個(gè)圓柱體沿其母線的接觸.圖1中兩個(gè)圓柱體滾子的半徑R1,R2分別為齒輪嚙合位置的曲率半徑.

圖1　接觸模型簡(jiǎn)化示意圖Fig.1　A simplified contact model

由Hertz接觸理論推出的接觸區(qū)最大觸應(yīng)力σH公式[8]為

(1)

(2)

式中：ZE為配對(duì)齒輪的材料系數(shù)；Fn為載荷；b為兩圓柱體的接觸寬度；ρ為綜合曲率半徑；ρ1，ρ2分別為兩圓柱體接觸線處的曲率半徑.

齒面接觸應(yīng)力的計(jì)算是以兩圓柱體接觸時(shí)的最大接觸應(yīng)力推到出來的.由漸開線性質(zhì)可知：一對(duì)齒輪嚙合過程，由于齒輪表面嚙合位置不同，可以看成為兩個(gè)曲率半徑隨時(shí)變化著的平行圓柱體的接觸過程，故各嚙合位置的接觸應(yīng)力各不相同[9].因此，圖1中一對(duì)輪齒的嚙合可以簡(jiǎn)化成一對(duì)對(duì)應(yīng)接觸半徑圓柱體的接觸，建立了二個(gè)數(shù)值分析模型，下文將對(duì)其合理性進(jìn)行驗(yàn)證.

1.2　特征曲面的生成

圖2　綜合曲率半徑等效過程Fig.2　Equivalent process of synthetical curvature radius

同理，可將齒輪嚙合線上每個(gè)嚙合點(diǎn)通過圖2的方法等效成一個(gè)綜合曲率半徑圓柱體與一個(gè)平板之間的接觸.由齒輪嚙合傳動(dòng)示意圖以及齒輪各個(gè)參數(shù)的關(guān)系得出嚙合線上兩齒面的綜合曲率半徑為

(3)

將綜合曲率半徑數(shù)值曲線導(dǎo)入到二維繪圖軟件AutoCAD中，利用包絡(luò)線原理繪制出的綜合曲率曲線[10]，如圖3所示.圖3中加粗曲線為綜合曲率半徑數(shù)值曲線，通過450個(gè)曲率圓包絡(luò)成綜合曲率曲線.最后在三維軟件Pro/E中根據(jù)綜合曲率曲線生成特征曲面.因此，特征曲面上的曲率半徑的變化符合所研究直齒圓柱齒輪中一對(duì)輪齒從嚙入到嚙出過程中綜合曲率半徑的變化特征.在相同邊界條件下，特征曲面與一平板的接觸模型和齒輪接觸模型在接觸應(yīng)力分布方面應(yīng)具有一定相似度.

圖3　綜合曲率曲線形成過程Fig.3　A form process of synthetical curvature curve

2模型接觸分析

2.1　載荷的確定

漸開線直齒圓柱齒輪在嚙合過程中，為保證傳動(dòng)的連續(xù)性和平穩(wěn)性，重合度ε必須大于1.當(dāng)重合度ε在1~2之間時(shí)，嚙合線兩端各有一段兩對(duì)輪齒同時(shí)嚙合的區(qū)段，在這兩區(qū)段里，每對(duì)齒輪副只承受一部分載荷；嚙合線中間有一段只有一對(duì)輪齒嚙合的區(qū)段，在這一區(qū)段里，由一對(duì)輪齒承受所有載荷.然而，載荷在同時(shí)嚙合的輪齒之間存在一個(gè)分配問題，即載荷分配系數(shù)XΓ.根據(jù)ISO425E中關(guān)于XΓ的表達(dá)式[11]以及齒輪嚙合過程示意圖，如圖4所示，齒輪嚙合線上載荷分配系數(shù)的計(jì)算式為

圖4　齒輪嚙合過程示意圖Fig.4　Gear meshing process

(4)

式中：嚙合點(diǎn)P從嚙入點(diǎn)K向嚙出點(diǎn)K′逐漸移動(dòng)；XΓ為嚙合點(diǎn)K點(diǎn)處輪齒的載荷分配系數(shù).運(yùn)用MATLAB對(duì)式(4)求解并得到嚙合點(diǎn)位置與載荷分配系數(shù)的關(guān)系曲線，如圖5所示.

圖5　載荷分配系數(shù)與嚙合位置關(guān)系圖Fig.5　A load distribution coefficient via meshing position

2.2　接觸應(yīng)力分析及結(jié)果

在Pro/E中建立實(shí)體模型，通過無縫接口將實(shí)體模型導(dǎo)入到ANSYS Workbench中，選擇材料屬性，劃分網(wǎng)格，完成有限元模型的建立.采用ANSYS Workbench接觸分析模塊，由于齒輪接觸時(shí)表面既有滾動(dòng)又有滑動(dòng)，因此接觸類型設(shè)置為Frictional，摩擦系數(shù)為0.06[12]，計(jì)算時(shí)的接觸算法控制方程設(shè)置為Augmented lagrange.增廣拉格朗日法比罰函數(shù)法加大了接觸力的計(jì)算，對(duì)接觸剛度變得不敏感，減少了接觸滲透量，但會(huì)導(dǎo)致非線性計(jì)算迭代次數(shù)增多，因此大變形Large deflection要設(shè)置為ON.設(shè)置彈性模量E=211 GPa，泊松比μ=0.277，接觸剛度系數(shù)K=1.

從動(dòng)輪內(nèi)圈約束條件設(shè)置為固定約束Fixed support，主動(dòng)輪約束條件為Cylindrical support并且保留Tangential方向上的自由度[13].在主動(dòng)輪上施加T=165 000 N·mm的動(dòng)力扭矩，則單齒嚙合區(qū)段齒間法向載荷Fn=2T/d2=1 833.3 N.在兩個(gè)雙齒嚙合區(qū)段上各取5個(gè)嚙合點(diǎn)，在單嚙合區(qū)段上取4個(gè)嚙合點(diǎn)，利用ANSYS Workbench計(jì)算，并利用后處理查看齒面接觸應(yīng)力的變化云圖，如圖6所示.

圖6　ρ=6.650嚙合點(diǎn)接觸應(yīng)力Fig.6　Contact stresses of ρ=6.650

本次接觸分析一共提取了嚙合線上均勻分布的14個(gè)接觸點(diǎn)作為研究對(duì)象，近似得到單個(gè)輪齒在一個(gè)嚙合周期內(nèi)的接觸應(yīng)力變化規(guī)律，結(jié)果如表1所示.嚙合線上均勻分布的14個(gè)接觸點(diǎn)作為研究對(duì)象，近似得到單個(gè)輪齒在一個(gè)嚙合周期內(nèi)的接觸應(yīng)力變化規(guī)律，結(jié)果如表1所示.

表1　齒輪各嚙合點(diǎn)接觸應(yīng)力值

根據(jù)載荷分配系數(shù)XΓ分別求得14個(gè)嚙合點(diǎn)處的法向載荷Fni(i=1,2，…,14)，如表2所示.

利用接觸分析模塊求解出特征曲面與平板對(duì)應(yīng)接觸點(diǎn)的接觸應(yīng)力，如圖7所示.本次接觸分析同樣提取特征曲面上均勻分布的14個(gè)接觸點(diǎn)，得到特征曲面上接觸應(yīng)力變化情況，如表3所示.

表2　嚙合點(diǎn)法向載荷

圖7　特征曲面上ρ=6.650位置接觸應(yīng)力Fig.7　Characteristic surface stresses(ρ=6.650)

嚙合點(diǎn)σH/MPa嚙合點(diǎn)σH/MPa165.48141.2269.59123.5360.310118.2481.111102.3580.81272.36118.31383.27168.31468.9

2.3　結(jié)果對(duì)比

根據(jù)表1和表3所得數(shù)據(jù)，得到兩種模型的接觸應(yīng)力變化趨勢(shì)，如圖8所示.隨著齒輪開始進(jìn)入雙齒嚙合區(qū)，載荷分布系數(shù)慢慢增大，兩種模型1~5號(hào)接觸點(diǎn)的接觸應(yīng)力都呈逐漸上升趨勢(shì)；進(jìn)入單齒嚙合區(qū)段，兩種模型的6~9號(hào)接觸位置都出現(xiàn)了應(yīng)力峰值；之后由于再次進(jìn)入雙嚙合區(qū)段，10~14號(hào)接觸點(diǎn)應(yīng)力逐漸下降.

兩種模型接觸應(yīng)力計(jì)算結(jié)果表明:在接觸過程中經(jīng)簡(jiǎn)化后的接觸應(yīng)力模型與齒輪接觸模型在接觸應(yīng)力分布趨勢(shì)上相似度比較高，說明筆者提出的簡(jiǎn)化模型在模擬齒輪嚙合過程中接觸應(yīng)力方面具有一定的準(zhǔn)確性和可行性.

圖8　接觸應(yīng)力Fig.8　A distribution of contact stresses

3結(jié)論

根據(jù)Hertz接觸原理以及綜合曲率半徑的等效法將曲面之間的接觸等效成曲面與平面之間的接觸，并利用載荷分配系數(shù)提取了不同接觸位置的動(dòng)力載荷，利用有限元分別對(duì)兩種模型進(jìn)行接觸應(yīng)力分析.分布曲線表明：兩種模型在接觸應(yīng)力分布趨勢(shì)上相似度比較高，因此簡(jiǎn)化模型的方法具有一定的合理性.由于齒輪的嚙合是一個(gè)連續(xù)的運(yùn)動(dòng)過程，可將簡(jiǎn)化模型(特征曲面與平板的接觸)轉(zhuǎn)變成特征曲面凸輪與平板接觸的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?通過主動(dòng)件凸輪的旋轉(zhuǎn)而達(dá)到不同綜合曲率半徑之間的接觸，可以模擬齒輪接觸過程的接觸應(yīng)力變化，本研究可為齒輪接觸應(yīng)力實(shí)驗(yàn)分析提供一定的理論依據(jù).

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(責(zé)任編輯：劉巖)

Research of gear contact based on Hertz contact theory

HU Xiaxia, SONG Binbin, DAI Xiaoxia, LIU Xiaoman

(Key Laboratory of Special Purpose Equipment and Advanced Manufacturing Technology, Ministry of Education, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Abstract:The problems of uneven load distribution and impact are caused by a curvature radius variation and a single-double meshing area in the process of gear meshing. Contact models and contact stresses are studied based on the Hertz contact theory. Synthetical curvature radii in different meshing positions are obtained after analysis, and by using an envelope line a continuous curve is drawn, and a characteristic surface based on the curve is generated. A gear contact model and a curved surface-plane contact model are analyzed through Finite Element method. The results indicate that the stress distributions of the two contact models are similar, the simplified gear contact model may provide a reference basis for gear contact stress experiment analysis.

Keywords:Hertz contact theory; synthetical curvature radius; finite element method; contact stress

中圖分類號(hào)：TH132.413

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-4303(2016)01-0019-04

作者簡(jiǎn)介：胡夏夏(1963—)，男，浙江湖州人，教授，主要從事機(jī)械結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)方面的研究，E-mail：xxhu@zjut.edu.cn.

收稿日期：2015-09-14