中考試題中數(shù)學(xué)思想方法的探究

◎許明敏

中考試題中數(shù)學(xué)思想方法的探究

◎許明敏

隨著新課改的不斷深入，中考數(shù)學(xué)試題已由“知識(shí)立意”逐漸轉(zhuǎn)向“能力立意”。這加大了對(duì)初中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查，特別是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力的考查。因此初中數(shù)學(xué)教師就必須隨時(shí)關(guān)注中考題，了解中考題的命題思路和命題方向用以指導(dǎo)自己的教學(xué)，以達(dá)到不斷提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

中考數(shù)學(xué)；思想方法

一、什么是數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)質(zhì)上包含兩方面的內(nèi)容，即數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。其中，數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。簡(jiǎn)單地講，數(shù)學(xué)思想就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法，是指人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式。通俗地說(shuō)，數(shù)學(xué)方法就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。

二、近年中考數(shù)學(xué)試題中所考查的數(shù)學(xué)思想方法

在近年來(lái)的中考數(shù)學(xué)試題中，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查力度越來(lái)越大，其考查的數(shù)學(xué)思想主要有：函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與歸化的思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、整體的思想。

1．方程與函數(shù)的思想方法 函數(shù)思想是指變量與變量之間的一種對(duì)應(yīng)思想。方程思想則指把研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化成方程或方程組等數(shù)學(xué)模型。值得注意的是，當(dāng)函數(shù)值為零時(shí)，函數(shù)問(wèn)題其實(shí)就轉(zhuǎn)化成了方程問(wèn)題。同樣，我們也可以把方程看做是一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為零時(shí)求自變量的問(wèn)題。在一些中考試題中，常常可設(shè)法利用函數(shù)和方程方法將命題中隱含的等量關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，通過(guò)列方程、方程組或求函數(shù)解析式來(lái)解決問(wèn)題。而且利用方程或函數(shù)的思想方法求解，問(wèn)題也可達(dá)到?！盎睘楹?jiǎn)”的效果。

2．轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，深淺不一，有些題目要由條件直接求解較為困難，這時(shí)候就會(huì)難倒很多學(xué)生，因?yàn)槌踔袑W(xué)生的經(jīng)驗(yàn)比較少，他們解題一般都是靠經(jīng)驗(yàn)從直觀方面解決，因而遇到這些不能由直接條件解出來(lái)的題目會(huì)覺(jué)得比較辣手。在這種情況下，學(xué)生就應(yīng)該考慮運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題的條件或結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把陌生的問(wèn)題化歸為新的問(wèn)題（相對(duì)來(lái)說(shuō)較為熟悉的問(wèn)題），并通過(guò)已有知識(shí)求解新問(wèn)題，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的。這便是轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法。具體來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的轉(zhuǎn)換過(guò)程，則化歸是把待解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題。

例：如圖1，矩形ABCD中，BC＝2，DC＝4，以AB為直徑的半圓O與DC相切于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為＿＿＿＿＿（結(jié)果保留π）

分析：陰影部分是一個(gè)不規(guī)則的圖形，直接求其面積比較困難，考慮轉(zhuǎn)換思路來(lái)解決此問(wèn)題。若鏈接OE，設(shè)OE交BD于F，則易證明△DEF?△BOF，于是求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求扇形OEB的面積，這樣就把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積。

解：連接OE，交DB于F

∵DC切半圓于點(diǎn)E ∴OE⊥DC

易證四邊形ABCD與四邊形OECB都是正方形

∴OB＝ED 又∵四邊形ABCD是矩形

∴AB／／CD ∴∠BOF＝∠DEF，∠OBF＝∠EDF

∴△BOF?△DEF

S陰影＝S扇形OED＝×π×22＝π

轉(zhuǎn)化與化歸思想是初中數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)學(xué)思想，常見(jiàn)的許多問(wèn)題都可以以這種思想解答。如二元一次方程組，三元一次方程組的解決實(shí)質(zhì)就是化為解已經(jīng)學(xué)過(guò)的一元一次方程。又如：如果我們把若干個(gè)人之間握手總次數(shù)（單握）稱為“握手問(wèn)題”，那么像無(wú)三點(diǎn)共線的n個(gè)點(diǎn)之間連線、共端點(diǎn)射線夾角（小于平角的角）個(gè)數(shù)、足球隊(duì)之間單個(gè)循環(huán)比賽場(chǎng)次等等這些問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為“握手問(wèn)題”。因此，在教學(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí)，提高學(xué)生的思維素質(zhì)，使其從更深層次上去揭示初中數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)部聯(lián)系，提高其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

3．分類討論的思想方法 在數(shù)學(xué)中，如果一個(gè)命題的題設(shè)或結(jié)論不唯一確定，有多種可能情況，難以統(tǒng)一解答，就需要按可能出現(xiàn)的各種情況分類加以討論，最后綜合歸納出問(wèn)題的正確答案，這種解題方法叫做分類討論法。在中考數(shù)學(xué)試題中有些題目答案不唯一，學(xué)生比較容易因?yàn)榭紤]不周全而漏解，這樣的題型往往需要進(jìn)行分類討論。

分類討論思想也是近年來(lái)中考重點(diǎn)考查的思想方法，由于要用分類討論法解答的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往具有較強(qiáng)的邏輯性、綜合性和探索性，這主要考查學(xué)生思維的全面性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力。分類思想在中考數(shù)學(xué)幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用較為廣泛，這類試題的解題思路是：在熟悉問(wèn)題所需要的基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，正確應(yīng)用分類討論思想方法，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，從而全面準(zhǔn)確的求解答案。

4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法 近年來(lái)的各地中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)了借助數(shù)形結(jié)合思想方法的問(wèn)題，這類試題綜合性強(qiáng)，能力要求很高，常常作為中考的壓軸題，它能全面考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，有助于培養(yǎng)初中學(xué)生用相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn)分析問(wèn)題，有利于培養(yǎng)初中學(xué)生創(chuàng)新的思維品質(zhì)。

我們知道，數(shù)和形是數(shù)學(xué)中的兩種表現(xiàn)形式，那么，依形判數(shù)，可使幾何問(wèn)題代數(shù)化；由數(shù)思行可使代數(shù)問(wèn)題幾何化。所以，我們?cè)诮鉀Q某些解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可將數(shù)與圖形結(jié)合起來(lái)分析。通過(guò)數(shù)的計(jì)算去找圖形之間的聯(lián)系，或結(jié)合已知圖形去尋找數(shù)之間的聯(lián)系。

例：關(guān)于x的二次方程x2－9x－2（k－1）＝0有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)跟大于1，一個(gè)根小于1，則（）

A．k＜－3 B．k＞－1 C．k＞－3 D．k＜－1

分析：二次方程的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1，怎樣利用這兩個(gè)條件是關(guān)鍵，利用方程的根的定義無(wú)從下手，若把兩根看成函數(shù)y＝x2－2（k－1）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，如圖3所示，觀察圖像不難發(fā)現(xiàn)，若當(dāng)x＝1，y＜0時(shí)，定能滿足條件。

解：∵二次方程x2－9x－2（k－1）＝0的一個(gè)根大于1，另一個(gè)小于1

∴二次函數(shù)y＝x2－2（k－1）與x軸交點(diǎn)在（1，0）的左、右兩側(cè)，

由圖像知，當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，12－9×1－2k＋2＜0，即k＞－3

因此選（C）

數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的解題策略，并隨時(shí)著新課程改革的深入，素質(zhì)教育的不斷推進(jìn)，中考中考查此思想的題目比重增大，所以，老師在日常教學(xué)工作中要善于挖掘數(shù)形結(jié)合的例子，提煉數(shù)形結(jié)合的思想，做好“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示和轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生用圖形直觀地研究數(shù)式問(wèn)題，用數(shù)式對(duì)圖形性質(zhì)進(jìn)行更為豐富、精確、深刻的探討。

5．整體的思想方法 當(dāng)一個(gè)一般性的問(wèn)題難以入手時(shí)，不妨去考慮它的整體情況，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式和結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體處理，達(dá)到迅速解題的目的．這樣不僅可避免繁瑣的計(jì)算及復(fù)雜的推理，而且能使問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單，收到出奇制勝的效果。

運(yùn)用整體思想可以理清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思考障礙，可以使繁、難的問(wèn)題得到巧妙地解決。在近年來(lái)的中考數(shù)學(xué)試題，整體思想方法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的高度抽象與概括，是數(shù)學(xué)的生命和靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，又是把知識(shí)轉(zhuǎn)化成能力的橋梁。中考數(shù)學(xué)試題越來(lái)越重視對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的考查，這不是單純的考查學(xué)生的解題能力，更重要的是對(duì)思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)的考查，所以數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)顯得尤為重要，隨著新課程改革的深入推進(jìn)，對(duì)教師在平常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法也提出了更高的要求。

（作者單位：廣西欽州市靈山縣平山中學(xué) 535425）