基于ARIMA模型的臺(tái)風(fēng)頻次預(yù)測(cè)

劉珊，陳幸榮，蔡怡

（國家海洋環(huán)境預(yù)報(bào)中心，北京100081）

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基于ARIMA模型的臺(tái)風(fēng)頻次預(yù)測(cè)

劉珊，陳幸榮，蔡怡

（國家海洋環(huán)境預(yù)報(bào)中心，北京100081）

摘要：基于日本東京臺(tái)風(fēng)中心的逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次資料，為最近30 a的臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次時(shí)間序列建立了合適的ARIMA乘積季節(jié)模型，并用該模型對(duì)2010—2014年的臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次進(jìn)行了預(yù)測(cè)。結(jié)果表明：時(shí)間序列中的ARIMA乘積季節(jié)模型在預(yù)測(cè)臺(tái)風(fēng)頻次方面具有一定的預(yù)測(cè)技巧，除2013年外，其余4 a模型提前1 a預(yù)測(cè)的全年臺(tái)風(fēng)生成總數(shù)的異常情況均與觀測(cè)一致。

關(guān)鍵詞：臺(tái)風(fēng)生成頻次；時(shí)間序列分析；ARIMA模型

1　引言

臺(tái)風(fēng)是夏秋季節(jié)影響我國東部沿海地區(qū)的最重要災(zāi)害性天氣系統(tǒng)。每年因臺(tái)風(fēng)引起的直接和間接自然災(zāi)害給人民生命和國家財(cái)產(chǎn)造成的損失十分巨大。

提高臺(tái)風(fēng)災(zāi)害的預(yù)測(cè)水平是增強(qiáng)臺(tái)風(fēng)防御能力和減輕臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失的有效手段。在臺(tái)風(fēng)預(yù)測(cè)方面，李祚泳等[1-2]嘗試用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和投影尋蹤回歸方法對(duì)臺(tái)風(fēng)次數(shù)做出預(yù)測(cè)；Chan等[3-4]利用ENSO各項(xiàng)指數(shù)、東亞及西北太平洋的環(huán)流因子及南方濤動(dòng)指數(shù)，澳大利亞季風(fēng)強(qiáng)度和南太平洋副高強(qiáng)度等作為影響因子，建立統(tǒng)計(jì)模型來預(yù)測(cè)西北太平洋地區(qū)的熱帶氣旋活動(dòng)；范可[5]研究了冬春季大氣環(huán)流對(duì)臺(tái)風(fēng)生成頻次的影響，并確定了冬春季的北太平洋海冰面積指數(shù)和春季北太平洋濤動(dòng)指數(shù)為新預(yù)測(cè)因子，并在此基礎(chǔ)上建立了新的預(yù)測(cè)模型。然而，影響臺(tái)風(fēng)生成的因子眾多且相互之間關(guān)系復(fù)雜，所以對(duì)臺(tái)風(fēng)生成頻次的預(yù)測(cè)并非易事。上述工作在不同的方面對(duì)臺(tái)風(fēng)頻次預(yù)測(cè)進(jìn)行了探索，但目前，臺(tái)風(fēng)生成頻次的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度仍然較低，還遠(yuǎn)不能滿足防災(zāi)減災(zāi)的實(shí)際需要。因此，嘗試不同的方法預(yù)測(cè)臺(tái)風(fēng)生成頻次，進(jìn)一步提高臺(tái)風(fēng)生成頻次的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率仍然十分必要。

時(shí)間序列分析是一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計(jì)方法，該方法基于隨機(jī)過程理論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，研究隨機(jī)數(shù)據(jù)序列所遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，建模速度快，預(yù)測(cè)精度高等特點(diǎn)。目前，時(shí)間序列分析廣泛應(yīng)用在商業(yè)、氣象、農(nóng)業(yè)、生物科學(xué)等各領(lǐng)域。在本文中，我們將采用時(shí)間序列分析方法對(duì)西北太平洋臺(tái)風(fēng)的生成頻次進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)，以期望該模型在預(yù)測(cè)臺(tái)風(fēng)生成頻次方面有較好的結(jié)果，并能夠應(yīng)用到業(yè)務(wù)預(yù)測(cè)中為防災(zāi)減災(zāi)的實(shí)際需要提供科學(xué)參考。

2　資料和方法

本文中用到的1981—2013年逐月的臺(tái)風(fēng)生成頻次資料來自日本東京臺(tái)風(fēng)中心。本文所采用的方法主要是ARIMA乘積季節(jié)模型。

20世紀(jì)70年代，美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box和英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Jenkins提出了一整套關(guān)于時(shí)間序列分析、預(yù)測(cè)和控制的方法，被稱為Box-Jenkins建模方法。求和自回歸移動(dòng)平均ARIMA（Autoregressive integrated moving average）模型是這一系列模型中最為基本的模型之一，現(xiàn)被廣泛地應(yīng)用在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)的諸多領(lǐng)域[6]。

ARIMA（p,d,q）模型的基本結(jié)構(gòu)如下：

式中：xt為時(shí)間序列X=(x1,x2,x3,…,xt,…,xn)在t時(shí)刻的觀測(cè)值；B為延遲算子，有Bpxt=xt-p；?d為d階差分算子，有?d=(1-B)d；Φ(B)為平穩(wěn)可逆ARMA（p,q）模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，有

Θ(B)為平穩(wěn)可逆ARMA(p,q)模型的移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式，有為零均值白噪聲序列。

當(dāng)一個(gè)時(shí)間序列存在季節(jié)效應(yīng)，且這種季節(jié)效應(yīng)與長期趨勢(shì)效應(yīng)和隨機(jī)波動(dòng)之間存在著復(fù)雜的相互關(guān)系，簡(jiǎn)單的ARIMA模型不足以提供其中的相關(guān)關(guān)系，這時(shí)就需要ARIMA乘積季節(jié)模型。ARIMA乘積季節(jié)模型是隨機(jī)季節(jié)模型與ARIMA模型的結(jié)合，一個(gè)階數(shù)為（p,d,q）×（P,D,Q）S的ARIMA乘積季節(jié)模型結(jié)構(gòu)如下：

式中：?DS為D階以周期S為步長的季節(jié)差分運(yùn)算，，其余變量及符號(hào)的意義與（1）式相同。

在實(shí)現(xiàn)建模的過程中，我們選擇的應(yīng)用軟件為R。R軟件是一種可用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算和作圖的編程語言及環(huán)境，可提供廣泛的統(tǒng)計(jì)操作和作圖技術(shù)，并且具有良好的可擴(kuò)展性[7-9]。在建立模型的過程中，我們首先基于1981—2009年的逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次數(shù)據(jù)建立了針對(duì)2010年的逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次的季節(jié)乘積模型，然后在1981—2009年數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補(bǔ)充2010年的數(shù)據(jù)作為建模樣本，建立針對(duì)2011年的逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次模型；之后以此類推，分別建立針對(duì)2012、2013和2014年的逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次模型。

圖1　1981—2009年逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次序列

3　建模過程

下文中我們以針對(duì)2010年逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次的建模過程為例，介紹適用于臺(tái)風(fēng)生成頻次的ARIMA乘積季節(jié)模型的建立過程。建立乘積季節(jié)模型分為以下4個(gè)步驟：時(shí)間序列的平穩(wěn)化，建模前的“白噪聲”檢驗(yàn)，模型的識(shí)別、定階和參數(shù)估計(jì)以及模型參數(shù)和殘差檢驗(yàn)。

3.1時(shí)間序列的平穩(wěn)化

在利用ARIMA模型進(jìn)行建模之前，首先需要對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)。平穩(wěn)性檢驗(yàn)有2種常用方法，一是直接通過時(shí)序圖的特征進(jìn)行判斷，二是構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，常用的平穩(wěn)性統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法是單位根檢驗(yàn)（unit root test）。

圖1是1981—2009年逐月的臺(tái)風(fēng)生成頻次。從圖中可以看出：該時(shí)間序列沒有明顯的長期趨勢(shì)，但存在較為明顯的年循環(huán)。另外，近30 a的逐年臺(tái)風(fēng)生成總頻次序列也不存在明顯的多年周期（圖略）。所以，在建立ARIMA模型前首先需要對(duì)現(xiàn)有的時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理。

由于該序列存在較為明顯的年變化，故首先進(jìn)行步長為12個(gè)月的季節(jié)變換，去除年循環(huán)。

進(jìn)行過季節(jié)差分的時(shí)間序列如圖2所示，原始的臺(tái)風(fēng)生成頻次序列進(jìn)行季節(jié)變換后，變成了既沒有長期趨勢(shì)又不存在明顯周期的平穩(wěn)時(shí)間序列。單位根檢驗(yàn)的結(jié)果也證實(shí)了變換后序列平穩(wěn)這一結(jié)論。

單位根檢驗(yàn)計(jì)算得到的p值為0.01，小于選定的顯著性水平0.05，則可以拒絕序列非平穩(wěn)的原假設(shè)，認(rèn)為變換之后的序列平穩(wěn)。

3.2建模前的“白噪聲”檢驗(yàn)

建模前的“白噪聲”檢驗(yàn)是建模前的一個(gè)重要步驟。值得指出的是，并非所有的平穩(wěn)時(shí)間序列都存在分析的價(jià)值和待挖掘的相關(guān)關(guān)系。平穩(wěn)時(shí)間序列中存在一種“白噪聲”序列，這種序列中各個(gè)序列值彼此之間沒有任何相關(guān)性，過程是純隨機(jī)的，即該序列是一個(gè)沒有記憶的序列，過去的行為對(duì)將來的發(fā)展沒有絲毫的影響，所以從統(tǒng)計(jì)分析角度而言，“白噪聲”序列雖然為平穩(wěn)序列，但沒有任何分析的價(jià)值。所以，在得到平穩(wěn)化的序列之后，我們要對(duì)平穩(wěn)序列進(jìn)行“白噪聲”檢驗(yàn)，以確認(rèn)該平穩(wěn)序列非“白噪聲”序列，存在繼續(xù)分析的價(jià)值。

表1　季節(jié)差分序列的Ljung-Box檢驗(yàn)結(jié)果

我們利用Ljung-Box方法對(duì)經(jīng)過季節(jié)變換的臺(tái)風(fēng)生成頻次序列（見圖2）進(jìn)行了白噪聲檢驗(yàn)，結(jié)果如下：

取顯著性水平0.05，可以發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過季節(jié)變換的臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次序列在延遲6階時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)果p值大于顯著性水平，但是在延遲12階時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)果p值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于顯著性水平。這表明：變換后的序列在某些延遲階數(shù)仍然具有明顯的相關(guān)關(guān)系，可以拒絕序列為純隨機(jī)白噪聲的原假設(shè)，認(rèn)為序列中仍然存在待挖掘的相關(guān)關(guān)系，需要進(jìn)一步的分析。

圖2　經(jīng)過季節(jié)差分的逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次序列

3.3模型的識(shí)別、定階和參數(shù)估計(jì)

接下來我們開始對(duì)進(jìn)行過季節(jié)差分變換的逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次序列進(jìn)行ARIMA建模。在建立模型之前，首先計(jì)算該序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，以便確定建立ARIMA模型的類型和階數(shù)。

圖3和圖4分別是經(jīng)過季節(jié)差分變換后的臺(tái)風(fēng)生成頻次序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖。

可以發(fā)現(xiàn)：序列的自相關(guān)系數(shù)在落后12階時(shí)明顯超出了2倍的標(biāo)準(zhǔn)差范圍，而偏自相關(guān)系數(shù)則是在落后12階和24階時(shí)明顯超出了2倍的標(biāo)準(zhǔn)差范圍。這表明差分后的序列仍含有一定的季節(jié)效應(yīng)。但是無論是自相關(guān)系數(shù)還是偏相關(guān)系數(shù)，在1—12階的范圍內(nèi)，相關(guān)系數(shù)都大體落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，沒有值顯著的超出2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，這表明差分后的序列的短期相關(guān)性不明顯。

圖3　經(jīng)過季節(jié)差分的臺(tái)風(fēng)生成頻次的自相關(guān)圖

圖4　經(jīng)過季節(jié)差分的臺(tái)風(fēng)生成頻次的偏自相關(guān)圖

根據(jù)上述分析，我們對(duì)臺(tái)風(fēng)生成頻次的ARIMA乘積季節(jié)模型進(jìn)行定階。首先，自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖顯示12階以內(nèi)的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都未明顯超出2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，故認(rèn)為差分后的序列沒有明顯的短期相關(guān)，所以嘗試ARIMA季節(jié)模型的p，d，q均取值為0。再考慮季節(jié)自相關(guān)和偏自相關(guān)特征，即考察延遲12階、24階等以周期長度為單位的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)特征，發(fā)現(xiàn)季節(jié)自相關(guān)系數(shù)截尾，偏自相關(guān)系數(shù)拖尾，故嘗試ARIMA季節(jié)模型的P，Q取為0和1。因?yàn)槟壳拔覀円呀?jīng)對(duì)原始的臺(tái)風(fēng)生成頻次序列進(jìn)行過一次季節(jié)差分，所以這里D取值為1。綜上所述，我們要擬合的乘積季節(jié)模型為ARIMA（0，0，0）× （0，1，1）12。

R計(jì)算得到的模型待估參數(shù)為-0.8842，所以據(jù)此寫出的擬合模型為：

?12xt=(1+0.8842B12)εt（3）

3.4模型參數(shù)和殘差檢驗(yàn)

對(duì)擬合模型進(jìn)行檢驗(yàn)，包括對(duì)模型中待估參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)和對(duì)模型殘差的“白噪聲”檢驗(yàn)兩部分。

首先對(duì)待估參數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。模型中的待估參數(shù)為-0.884 2，其標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.041 2，所以模型的真值在區(qū)間（-0.884 2±0.041 2）內(nèi)，顯著不為零，所以我們模型中得到的待估參數(shù)是顯著的。

接著對(duì)模型殘差進(jìn)行檢驗(yàn)。我們對(duì)模型的殘差進(jìn)行“白噪聲”檢驗(yàn)的目的是為了檢查建立的ARIMA乘積季節(jié)模型是否充分提取了臺(tái)風(fēng)生成頻次序列中的有效信息，此次進(jìn)行的“白噪聲”檢驗(yàn)與建模型之前的“白噪聲”檢驗(yàn)?zāi)康牟煌?，我們希望模型的剩余殘差是完全隨機(jī)的序列，即我們的模型已將有效信息全部提取。

模型殘差的“白噪聲”檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示：

表2　模型殘差的Ljung-Box檢驗(yàn)結(jié)果

從表2的結(jié)果中可以看到：無論是延遲6階還是延遲12階的p值都顯著大于0.05。這表明，我們沒有理由拒絕殘差為白噪聲的原假設(shè)，即建立的模型殘差通過了“白噪聲”檢驗(yàn)。

4　預(yù)測(cè)

在建立合適的ARIMA乘積季節(jié)模型之后，我們利用該模型對(duì)2010年的逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

圖5給出了由模型預(yù)測(cè)的2010年逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次。藍(lán)色虛線為擬合結(jié)果，藍(lán)色實(shí)線為預(yù)測(cè)結(jié)果，黑色實(shí)線為觀測(cè)結(jié)果?？梢钥吹?，模型對(duì)臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次的擬合很好，兩者之間的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.84，而且2010年的臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次的預(yù)測(cè)結(jié)果跟觀測(cè)結(jié)果是非常一致的。

為了更全面的檢查ARIMA乘積季節(jié)模型在預(yù)測(cè)臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次上的表現(xiàn)，我們?cè)?981—2009年逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次序列的基礎(chǔ)上依次逐年補(bǔ)充了2010—2013年的逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次，并按照上文中的步驟重新進(jìn)行了建模和預(yù)測(cè)（圖略）。

圖5　根據(jù)ARIMA(0,0,0)×(0,1,1)12模型預(yù)測(cè)的2010年逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次

圖6　2010—2014年預(yù)測(cè)與觀測(cè)的臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次距平同號(hào)率

分析2010—2014年的預(yù)測(cè)結(jié)果表明：在全年臺(tái)風(fēng)生成總頻次異常方面，預(yù)測(cè)模型有著不錯(cuò)的表現(xiàn)。2010—2014年中，除2013年外，其余4 a模型提前一年預(yù)測(cè)的臺(tái)風(fēng)生成總頻次異常情況與觀測(cè)一致。在臺(tái)風(fēng)生成較活躍的6—10月份，模型在2010、2011、2014年表現(xiàn)良好，且對(duì)這3 a中6—10月臺(tái)風(fēng)生成總數(shù)的異常偏多偏少情況預(yù)測(cè)正確，但對(duì)2012 和2013年6—10月臺(tái)風(fēng)生成頻次預(yù)測(cè)情況不夠理想，表現(xiàn)為沒有預(yù)測(cè)出這2 a 6—10月臺(tái)風(fēng)生成偏多的情況。

圖6為2010—2014年預(yù)測(cè)臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次與觀測(cè)臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次的距平同號(hào)率分布?？梢钥吹剑耗Ｐ皖A(yù)測(cè)與觀測(cè)臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次的距平同號(hào)率存在月際間的差別，其中表現(xiàn)最好的為11月和12月，最差的為5月。這表明，在臺(tái)風(fēng)的逐月生成頻次上，11月和12月的臺(tái)風(fēng)生成頻次的季節(jié)相關(guān)性最好，5月最差。這種預(yù)測(cè)技巧上的月際差別主要是因?yàn)?月是春夏轉(zhuǎn)換的季節(jié)，臺(tái)風(fēng)生成源地的熱力和動(dòng)力條件變化較劇烈，造成該月臺(tái)風(fēng)生成頻次的年際變化較大；而11、12月都屬于一年中臺(tái)風(fēng)活動(dòng)最不活躍的月份，年際變化較小。

5　總結(jié)與討論

本文基于時(shí)間序列分析中的ARIMA乘積季節(jié)模型，通過序列平穩(wěn)化，建模前的“白噪聲”檢驗(yàn)，模型的識(shí)別、定階和參數(shù)估計(jì)以及模型參數(shù)和殘差檢驗(yàn)等步驟為最近30 a的逐月臺(tái)風(fēng)生成頻次序列建立了合適的ARIMA乘積季節(jié)模型，并用該模型對(duì)2010—2014年的臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次進(jìn)行了預(yù)測(cè)。結(jié)果表明：模型提前一年預(yù)測(cè)的2010、2011、2012和2014年臺(tái)風(fēng)全年生成總頻次異常與觀測(cè)吻合。在臺(tái)風(fēng)生成較活躍的6—10月，模型能夠正確預(yù)測(cè)出2010，2011及2014年活躍期內(nèi)臺(tái)風(fēng)生成偏多或偏少的情況，但對(duì)2012和2013年6—10月臺(tái)風(fēng)生成頻次異常情況的預(yù)測(cè)不夠理想。另外，模型預(yù)測(cè)與觀測(cè)臺(tái)風(fēng)逐月生成頻次的距平同號(hào)率存在月際差別，11月和12月最好，5月最差。

另外，值得指出的一點(diǎn)是，雖然利用時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析預(yù)測(cè)時(shí)只考慮歷史時(shí)間序列的變化而不直接考慮其他因素對(duì)時(shí)間序列的影響，但這并不等于完全忽視這些因素的影響，因?yàn)闀r(shí)間序列本身正是在各種相關(guān)因素的相互作用下形成的。對(duì)歷史數(shù)據(jù)變動(dòng)規(guī)律的概括，也正是對(duì)各種復(fù)雜因素影響時(shí)間序列規(guī)律的概括[10]。從模型預(yù)測(cè)的臺(tái)風(fēng)生成頻次的結(jié)果來看，ARIMA乘積季節(jié)模型對(duì)臺(tái)風(fēng)生成頻次有一定的預(yù)測(cè)能力，且在某些年份有非常不錯(cuò)的表現(xiàn)，但漏報(bào)和錯(cuò)報(bào)的問題也仍然存在。在以后的工作中，我們會(huì)繼續(xù)研究?jī)?yōu)化模型的方法，進(jìn)一步提高臺(tái)風(fēng)頻次的預(yù)測(cè)水平。

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Typhoon generation frequency prediction based on ARIMA model

LIU Shan, CHEN Xing-rong, CAI Yi
(National Marine Environmental Forecasting Center, Beijing 10081 China)

Abstract：In this paper, an ARIMA product seasonal model is established for the monthly typhoon generation frequency time series during the last 30 years based on the monthly typhoon generation frequency data from Tokyo typhoon center of Japan. The monthly typhoon generation frequency prediction for the years 2010—2014 is completed through this model. The results show that, the ARIMA product seasonal model performs quite well in predicting the typhoon generation frequency. Except for 2013, the anomalies of the total annual typhoon generation frequency of the remaining four years predicted one year in advance by this model are all consistent with the observations.

Key words：typhoon generation frequency; time series analysis;ARIMAmodel

作者簡(jiǎn)介：劉珊（1986-），女，助理研究員，博士，主要從事短期氣候預(yù)測(cè)方面的研究。E-mail: liushan@nmefc.gov.cn

基金項(xiàng)目：海洋公益性行業(yè)科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目（201505013）；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41440039）。

收稿日期：2015-12-26

中圖分類號(hào)：P444

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-0239（2016）01-0053-06