化異為同，刪繁就簡

翟愛國

有些同學(xué)對為什么要進(jìn)行降（升）冪變換感到困惑，其實你只要掌握兩個原則，即消除差異構(gòu)建聯(lián)系和化繁為簡促進(jìn)轉(zhuǎn)化的原則，那么解決降（升）冪變換問題時就會有的放矢，讓你的思維插上成功的雙翅，

一、消除差異

三角式的“差異”主要表現(xiàn)在：已知與未知，條件與結(jié)論，左端與右端.各項的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等等.降（升）冪變換的目的是統(tǒng)一各項的次數(shù).要時刻考慮的是已經(jīng)得到的式子和所想要得到的式子之間還存在哪些差異？如何溝通？選擇什么樣的公式來消除差異？

分析 目標(biāo)求是一個具體數(shù)值，發(fā)現(xiàn)角有2個，冪次數(shù)最高達(dá)到3次，需要我們統(tǒng)一角，需要降低冪次數(shù)，而降低冪次數(shù)最常用的公式是二倍角公式的變形.

三角函數(shù)中的次數(shù)，是低次的升次，還是高次的降次，要充分結(jié)合題中的要求，正確選用半角公式或倍角公式等三角公式，達(dá)到次數(shù)的統(tǒng)一.對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法，常用的降冪公式

二、化繁為簡

化繁為簡是作任何數(shù)學(xué)變換都應(yīng)遵循的基本原則，在三角降（升）冪變換中更是如此.三角降（升）冪變換中的化繁為簡是指：化高次為低次；化低次為高次；化無理式為有理式；化分式為整式等.

分析 這道題的分子與分母部分的次數(shù)分別是4次與6次，次數(shù)較高，題目不容易下手解答，應(yīng)當(dāng)考慮降低式子的次數(shù)，聯(lián)想學(xué)過的知識我們有這樣我們就可以從容不迫地處理問題了.

評析 在三角恒等變換過程中，充分利用降次與升冪等三角變換手段，能幫助我們快速解答一些涉及到高次冪的三角函數(shù)問題，希望同學(xué)們在復(fù)習(xí)中要注重總結(jié)這種方法，以提高自己解答這類題的能力.

分析 表面上看，因為20°，40°，80°都不是特殊角，想直接求出它們的值是不可能的，我們可以通過角的變換（湊角）將其轉(zhuǎn)化為特殊角，得到解法一.

本題需要通過挖掘命題中角與角之間蘊涵的特殊關(guān)系，靈活運用各種變換公式來研究.我們再次審題，從題目的整體結(jié)構(gòu)人手，可以看出式子結(jié)構(gòu)上給人一種對稱美、和諧美的感覺.由已知條件聯(lián)想所學(xué)過的二倍角公式2sinαCOSα=sin2α，我們不妨通過設(shè)置輔助因子2³sin20°，利用這個降冪公式，我們找到了正確的解題思路.

評析 （1）分析題目的結(jié)構(gòu)，掌握題目結(jié)構(gòu)上的特點，通過降次升冪等手段，為使用公式創(chuàng)造條件，也是三角變換的一種重要策略.（2）凡呈二倍角關(guān)系的余弦連乘結(jié)構(gòu)的題目，均可采用本題之方法.

分析 本題需要湊完全平方式，利用升冪公式化無理式為有理式.

評析 降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式常用的升冪化為有理式，常用的

解答三角恒等變換題目的方法十分靈活，但萬變不離其宗，實踐證明只要牢固地把握住兩條原則，就會準(zhǔn)確地瞄準(zhǔn)三角變換的方向，選擇合適的降（升）冪公式，使自己在少走或不走彎路的同時，盡快獲得正確結(jié)果。