基于最小能耗渠道斷面設(shè)計(jì)研究

熊昊冠，劉小平

(江西省水利水電建設(shè)有限公司，南昌 330025)

基于最小能耗渠道斷面設(shè)計(jì)研究

熊昊冠，劉小平

(江西省水利水電建設(shè)有限公司，南昌 330025)

最小能耗原理和最大能耗原理是水利學(xué)與河流動(dòng)力學(xué)研究的假設(shè)。文章在理論上證明了能量極值假說的存在性與可解性，描述了能量假設(shè)極值與一個(gè)已知的最小和最大的條件之間的關(guān)系，并將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，研究了一種穩(wěn)定渠道斷面設(shè)計(jì)方法，在建立求解穩(wěn)定渠道斷面形狀極值問題的基礎(chǔ)上，通過變分原理推導(dǎo)出穩(wěn)定渠道斷面形狀為形式簡單的圓弧形曲線。

最小能耗原理；穩(wěn)定渠道設(shè)計(jì)；監(jiān)界渠道；優(yōu)化設(shè)計(jì)

0 前 言

渠道設(shè)計(jì)可能涉及到一個(gè)現(xiàn)有的流的穩(wěn)定或調(diào)整，或可能是一個(gè)全新的渠道創(chuàng)新。有各種各樣的來源和技術(shù)設(shè)計(jì)穩(wěn)定的渠道。這些技術(shù)可能會(huì)集中在各種開放式通道的設(shè)計(jì)工作上。然而，這些技術(shù)需要運(yùn)用到適當(dāng)?shù)臈l件和流類型上。沖積河流具有由水和沉積物相互作用形成的自身的通道。因此，提出了一種新的流體流動(dòng)問題，其中一個(gè)要求就是不僅確定在一個(gè)給定的“容器”的流量，而且要求“容器”本身最優(yōu)的幾何形狀。一般問題是穩(wěn)定的和形態(tài)活躍的河流渠道斷面設(shè)計(jì)，例如，一個(gè)可以傳輸大部分自己河床上的渠道物質(zhì)?？梢岳米钚∧芎脑砗妥畲竽芎脑韥矶x渠道斷面的幾何形狀，并最終獲得合理斷面形狀設(shè)計(jì)。通過對(duì)各種渠道情況進(jìn)行分析研究表示穩(wěn)定的渠道需要考慮河岸侵蝕與河岸沉積的動(dòng)態(tài)平衡，建立求解穩(wěn)定渠道斷面形狀極值問題。所謂穩(wěn)定渠道斷面就是一個(gè)河床的邊界泥沙剪應(yīng)力處處等于泥沙臨界運(yùn)動(dòng)剪應(yīng)力。一般國內(nèi)外研究中，將它稱為臨界渠道。美國研究者研究出了利用余弦型曲線表示的穩(wěn)定渠道斷面形狀，國外學(xué)者對(duì)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行改進(jìn)。Parker在考慮剪應(yīng)力作用下的泥沙起升力的基礎(chǔ)上，得到邊坡的穩(wěn)定渠道的橫截面形狀如下：

(1)

式中：β為水流對(duì)渠道內(nèi)泥沙的托舉力與拖曳力的比值。當(dāng)β=0時(shí)，與美國學(xué)者研究的相同。

在研究中，重點(diǎn)在于對(duì)河床上的橫向分布剪切應(yīng)力。使用數(shù)學(xué)多項(xiàng)式近似給定了渠道水深沿河寬的分布及寬度與深度比值的公式：

(2)

(3)

式中：c5、c4、c2為多項(xiàng)式的系數(shù)；b為渠道斷面的寬度。Yu和Knight利用Shiono和Knight研究的渠道水深平均的水流運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，研究得到了用數(shù)值計(jì)算方法實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定渠道斷面設(shè)Cao和Knight沒有考慮剪應(yīng)力的影響，利用最大熵原理和變分的方法了給出一個(gè)穩(wěn)定的渠道拋物線截面形狀：

(4)

文章正是利用Cao和Knight不考慮床面切應(yīng)力來研究穩(wěn)定渠道斷面設(shè)計(jì)。

1 穩(wěn)定渠道斷面形狀設(shè)計(jì)的模型

對(duì)稱的明渠渠道斷面形狀中,y是從所研究渠道中心位置沿水面方向指向渠道岸邊坐標(biāo)，z為垂向向上坐標(biāo)，h(y)為渠道水深。明渠渠道均勻流的方程表達(dá)式如下所示：

(5)

式中：Q為渠道的流量；A為過水?dāng)嗝娴拿娣e大?。籆為謝才系數(shù)；R為渠道水力半徑；J為渠道水力坡度，對(duì)渠道均勻流即為渠道底部坡的坡道；n為渠道粗糙率；x為渠道濕周。

圖1 渠道斷面形狀示意圖

由此可以得出過水?dāng)嗝婷娣e大小：

(6)

式中：b為渠道的斷面寬度，相應(yīng)的渠道濕周為：

(7)

式中：h′(y)是h(y)的導(dǎo)數(shù)。

如果渠道邊坡土壤泥沙摩擦力為μ=tanφ，φ為水下休止角。保證邊坡穩(wěn)定性需要[10]：

|dh(y)/dy|≤μ

(8)

由最小能耗原理[11]得單位長度水流所消耗的能量為：

E=γQJ

(9)

式中：E為能耗量；γ為水的比重；J為水力梯度，均勻流時(shí)為渠道底面。由上式得：

(10)

公式(5)、(8)和(10)組成了封閉的求解穩(wěn)定渠道斷面尺寸大小的基本方程組，由方程(8)和(10)就可以得到穩(wěn)定渠道斷面形狀，在求得斷面形狀后再由方程式(5)確定公式的參數(shù)b。

公式(10)是屬于求極值的問題，而公式(8)是求此極值問題的約束條件。要解此極值問題，不能直接求出，而須采用變分原理。由變分法的基本原理得公式(10)是一個(gè)二階微分方程，積分后可以得到:

(11)

式中：b為圓的半徑；y0屬于積分常數(shù)，當(dāng)y=0時(shí)曲線的斜率等于零，這樣顯然有y0=0。所以方程的解為：

(12)

式中：b可根據(jù)極值問題的約束條件式(8)來確定設(shè)定。如渠道水面處的梯度等于渠道泥沙休止角，這樣就可以滿足渠道邊坡穩(wěn)定性的要求。由圖1的幾何關(guān)系得：

(13)

最后得穩(wěn)定渠道斷面形狀與泥沙靜摩擦系數(shù)有關(guān)的圓弧形曲線為如下形式：

(14)

當(dāng)渠道邊界材料的強(qiáng)度足夠大時(shí)，即μ=tanφ=∞時(shí)，上式可簡化為：

(15)

它表示的渠道斷面為半圓形形狀。

下面介紹一下渠道圓弧形斷面形狀的一些水力學(xué)參數(shù)，過水?dāng)嗝娴拿娣e：

(16)

濕周為：

(17)

水力半徑為：

(18)

水深為：

(19)

渠道斷面形狀中心處的最大水深值為：

(20)

寬度與最大水深比為：

(21)

當(dāng)渠道邊坡土質(zhì)比較堅(jiān)硬時(shí)，渠道寬度與斷面最大水深的比值最小為2，與水力學(xué)的結(jié)果是相同的[12]。

2 穩(wěn)定渠道斷面的設(shè)計(jì)步驟

當(dāng)Q、d、μ已知時(shí)，需要求解的是J、hc、b和斷面形狀。具體的計(jì)算過程和步驟如下[13]：

1)設(shè)定渠道最大的水深hc初值；

4)由式(21)計(jì)算渠道水面寬度b,并根據(jù)公式(15)計(jì)算穩(wěn)定渠道的斷面形狀;

5)由式(19)計(jì)算得到渠道過水?dāng)嗝婷娣eA，由Q=VA計(jì)算渠道的流量，若計(jì)算得到的流量等于先前給定的流量，則計(jì)算停止。

圖2是在不同μ值情況下，根據(jù)文章方法計(jì)算得到的結(jié)果，隨著μ值的不斷增大，渠道邊坡土質(zhì)質(zhì)量越好，其寬深的比值也相應(yīng)變小，當(dāng)μ→∞時(shí)渠道斷面形狀為半圓形曲線，這與水力最佳斷面相同。圖3是在d=0.8mm且μ=0.5的條件下，不同渠道流量時(shí)基于最小能耗原理計(jì)算得到的渠道斷面形狀。從計(jì)算結(jié)果可以看出，基于最小能耗原理計(jì)算得到的渠道斷面是非常符合工程實(shí)際的。

圖2 在不同μ值時(shí)的比較結(jié)果

圖3 不同流量時(shí)文章方法的計(jì)算結(jié)果

3 結(jié) 論

渠道斷面設(shè)計(jì)涉及到全新的渠道斷面創(chuàng)新，有各種各樣的技術(shù)來設(shè)計(jì)穩(wěn)定的渠道斷面。這些技術(shù)可能會(huì)集中在各種開放式通道的設(shè)計(jì)工作上。然而，這些技術(shù)需要運(yùn)用到適當(dāng)?shù)臈l件和流類型上。沖積河流具有由水和沉積物相互作用形成的自身的通道。因此，它們提出了一種新的流體流動(dòng)問題，其中一個(gè)要求就是不僅確定在一個(gè)給定的“容器”的流量，而且要求“容器”本身最優(yōu)的幾何形狀。對(duì)于水力學(xué)與河流動(dòng)力學(xué)的研究，有兩個(gè)令人困惑的假設(shè)：最小能耗原理和最大能耗原理，文章在理論上證明了能量極值假說的存在性與可解性，描述了能量假設(shè)極值與一個(gè)已知的最小和最大的條件之間的關(guān)系，并將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。通過文章方法的計(jì)算結(jié)果可以看出基于最小能耗原理的渠道斷面形狀設(shè)計(jì)是切實(shí)可行的，完全可以用來指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)。

[1]黃才安,龔敏飛,陳志昌，等.基于最小能耗原理的穩(wěn)定渠道斷面形狀[J].水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展，2005,20(02):189-195.

1007-7596(2016)12-0053-03

2016-12-02

熊昊冠(1984-)，男，江西南昌人，工程師，從事水利工程施工管理工作；劉小平(1973-)，男，江西南昌人，工程師，從事水利工程施工管理工作。

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