基于云模型的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估

高 龍， 宋太亮， 閆 旭

(1. 裝甲兵工程學(xué)院技術(shù)保障工程系， 北京 100072； 2. 中國國防科技信息中心， 北京 100142)

基于云模型的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估

高 龍1， 宋太亮2， 閆 旭1

(1. 裝甲兵工程學(xué)院技術(shù)保障工程系， 北京 100072； 2. 中國國防科技信息中心， 北京 100142)

針對多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估中存在的不確定性問題，研究了采用云模型表示狀態(tài)概率的隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估方法?；跔顟B(tài)概率云模型進(jìn)一步擴(kuò)展了通用生成函數(shù)(Universal Generating Function ，UGF)，形成了云通用生成函數(shù)(Cloud Universal Generating Function ，CUGF)，并定義了其2種基本運(yùn)算，給出了在給定需求下多狀態(tài)系統(tǒng)可用度的求解步驟以及云模型表示系統(tǒng)可用度的3個(gè)云數(shù)字特征。最后，通過3單元串-并聯(lián)多狀態(tài)系統(tǒng)算例及其與基于概率理論的評估結(jié)果的比較，驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性和可行性。研究成果為多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估中信息或數(shù)據(jù)的不完整性、不精確性及模糊性等的處理提供了新的思路和方法。

多狀態(tài)系統(tǒng)；可靠性評估；云模型；不確定性

多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性研究是近幾年國內(nèi)外研究的主流方向之一。Murchland[1]提出并完善了多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性的基本概念。目前，多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性的相關(guān)概念和理論已廣泛用于機(jī)械[2]、電力[3-4]和網(wǎng)絡(luò)[5-7]等領(lǐng)域。多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估主要基于結(jié)構(gòu)函數(shù)法[8]、隨機(jī)過程法[9]、Monte Carlo仿真[10]以及通用生成函數(shù)法(Universal Generating Function，UGF)[5]4種方法，應(yīng)用這些方法的基本前提條件為：1)構(gòu)成多狀態(tài)系統(tǒng)的單元或子系統(tǒng)的每個(gè)狀態(tài)可利用統(tǒng)計(jì)概率完全表征；2)可精確獲得多狀態(tài)系統(tǒng)的單元或子系統(tǒng)的所有性能水平。但由于數(shù)據(jù)與信息的不精確和不充分等不確定因素，實(shí)踐中很難對狀態(tài)概率和性能水平進(jìn)行處理，進(jìn)而影響了評估結(jié)果的準(zhǔn)確性和可信性。因此，在多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估中需要對單元或子系統(tǒng)的狀態(tài)概率和性能水平的各種不確定性進(jìn)行建模。不確定性可分為隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性[11]，其中隨機(jī)不確定性主要來自部件行為的可變性和隨機(jī)性；認(rèn)知不確定性主要來自知識或數(shù)據(jù)的不完整性和不精確性[12]。Destercke等[13]應(yīng)用信任函數(shù)表示認(rèn)知不確定性并擴(kuò)展了UGF來評估多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性。雖然信任函數(shù)中的概率指派函數(shù)可有效刻畫信息的不完整性，但該方法并不適用于信息具有模糊性的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估。Li等[14]基于模糊集合理論，應(yīng)用隨機(jī)模糊變量綜合考慮隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性,對多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了評估。該方法雖然解決了2種不確定性共存的問題，但卻丟失了單元或子系統(tǒng)的部分細(xì)節(jié)信息,且計(jì)算過程較為復(fù)雜。

根據(jù)單元或子系統(tǒng)的物理特性、歷史數(shù)據(jù)以及專家經(jīng)驗(yàn)等信息，可對多狀態(tài)系統(tǒng)的有關(guān)特性進(jìn)行估計(jì)并給出相應(yīng)的偏好值，則所有信息來源給出的偏好值集合就構(gòu)成了該特性的一個(gè)云，可應(yīng)用云理論對整個(gè)多態(tài)系統(tǒng)的行為進(jìn)行進(jìn)一步研究。雖然單個(gè)偏好值是確定的，但是由偏好值集合構(gòu)成的云卻蘊(yùn)含了單元特性的隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性。筆者基于云理論的基本思想，針對多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估中不確定性問題，應(yīng)用云模型來表示狀態(tài)概率的不確定性，建立云通用生成函數(shù)(Cloud Universal Generating Function ，CUGF)并定義相應(yīng)的運(yùn)算，給出在給定需求下多狀態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度評估步驟以及可用度云的3個(gè)數(shù)字特征值，并通過算例進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基本理論與假設(shè)

1.1 多狀態(tài)系統(tǒng)理論

1.2 云理論

1.2.1 云的定義

設(shè)U={x}為以精確數(shù)值表示的論域，A為與之對應(yīng)的定性概念，x∈U存在一個(gè)有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)y=μA(x)，并稱之為x對A的隸屬度，隸屬度y在論域U上的分布稱為隸屬云(簡稱“云”)[15]，(x,y)稱為云滴。云是定性概念與定量數(shù)值之間的轉(zhuǎn)換模型，成千上萬的云滴組成云，云滴是對定性概念的定量描述，云滴的產(chǎn)生過程表示了定性與定量之間的相互映射。

1.2.2 云的數(shù)字特征

云通過期望值Ex、熵En和超熵He三個(gè)數(shù)字特征值來定量表示。其中：Ex為論域的中心值，可表示定性概念；En為定性概念模糊程度的測度，反映了在論域中被概念所接受的數(shù)值范圍，En越大，概念的數(shù)值范圍就越大，模糊程度就越大；He為熵的熵，可反映云滴的離散程度，也是隸屬度隨機(jī)性的測度，He越大，表明云滴越厚，離散程度也越大。

1.2.3 正向正態(tài)云發(fā)生器

由數(shù)字特征產(chǎn)生云滴進(jìn)而構(gòu)成云的過程稱為正向云發(fā)生器。由于正態(tài)云模型具有普適性[16]，因此筆者選擇正態(tài)云模型來描述信息的不確定性。設(shè)云滴數(shù)量為m，則產(chǎn)生m個(gè)云滴(xl,μl)(l=1,2,…,m)的正態(tài)云的具體步驟如下：

1.2.4 逆向正態(tài)云發(fā)生器

逆向正態(tài)云發(fā)生器是根據(jù)一定數(shù)量的正態(tài)分布云滴得到云的3個(gè)數(shù)字特征值的過程。逆向正態(tài)云發(fā)生器算法是基于統(tǒng)計(jì)原理，分為包含確定度信息和不包含確定度信息2類。筆者采用Liu等[17]提出的不包含確定度信息的算法。設(shè)有m個(gè)樣本點(diǎn)xl(l=1,2,…,m)，則得到該云的3個(gè)數(shù)字特征值的步驟如下：

1.3 基本假設(shè)

假設(shè)1：單元或系統(tǒng)具有有限個(gè)離散狀態(tài)，且各狀態(tài)都是確定的，即各狀態(tài)相應(yīng)的性能水平不具有隨機(jī)性和模糊性。

假設(shè)2：單元或系統(tǒng)的狀態(tài)概率具有不確定性，可用正態(tài)云模型對其特征進(jìn)行描述。

假設(shè)3：對于每個(gè)狀態(tài)概率，存在多個(gè)與其有關(guān)的信息來源，且每個(gè)來源的信息均能給出一個(gè)偏好值。

2 基于UGF的多狀態(tài)系統(tǒng)評估

可靠性分析的復(fù)雜性隨著單元數(shù)量n的增加呈指數(shù)增長的趨勢，而通用生成函數(shù)通過利用系統(tǒng)模塊化的優(yōu)勢可在一定程度上降低該指數(shù)的增長趨勢。

目前，主要利用所有單元性能水平的概率分布來研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)。當(dāng)給定概率pj時(shí)，單元j的狀態(tài)信息的z變換函數(shù)為

式中：變量z用于提供多項(xiàng)式算子，單元或系統(tǒng)的性能水平信息存貯于指數(shù)項(xiàng)中。整個(gè)系統(tǒng)的UGF為

U(z)=Ωφ(U1(z),…,Un(z))=

由此可以看出：UGF是一種基于z變換和通用合成運(yùn)算的方法。在合成運(yùn)算中，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)φ(g)為整個(gè)系統(tǒng)的性能水平，由不同單元的性能水平構(gòu)成。在可靠性邏輯框圖中，φ(g)通過單元之間的連接形式(串聯(lián)或并聯(lián)等)來嚴(yán)格定義[18]。

系統(tǒng)性能水平和需求w之間的關(guān)系通常利用系統(tǒng)狀態(tài)滿足指標(biāo)ri的情況來確定，即ri=gi-w。當(dāng)且僅當(dāng)ri≥0時(shí)，狀態(tài)i是一個(gè)可接受的狀態(tài)。通常，多狀態(tài)系統(tǒng)的可用度可定義為多狀態(tài)系統(tǒng)的性能水平大于需求的概率，即

對于給定的U(z)和w，應(yīng)用運(yùn)算δA可獲得多狀態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度，即

3 云模型表示不確定性的CUGF

由上述基于概率論的評估過程可以看出：定義在空間狀態(tài)gj上的概率pj描述了單元狀態(tài)出現(xiàn)的隨機(jī)不確定性。然而，確定單元狀態(tài)概率pj的值需要大量的數(shù)據(jù)，特別是在各種不確定性同時(shí)存在的情況下，如數(shù)據(jù)缺失或不精確、小樣本以及專家意見等，概率論難以對這些不確定性進(jìn)行建模。因此，筆者應(yīng)用云模型來表示狀態(tài)概率的不確定性。

應(yīng)用云模型表示單元狀態(tài)概率不確定性時(shí)，若給定單元j的概率云Cpj(Ex,En,He)時(shí)，則單元信息的z變換函數(shù)為

式中：變量z用于提供多項(xiàng)式算子，單元的性能水平信息存貯于指數(shù)項(xiàng)中，這與UGF相類似。整個(gè)系統(tǒng)的CUGF為

U(z)=Ωφ(U1(z),…,Un(z))=

設(shè)Cp1(Ex1,En1,He1)和Cp2(Ex2,En2,He2)為任意2個(gè)正態(tài)概率云，其運(yùn)算結(jié)果為正態(tài)概率云Cp(Ex,En,He)，則依據(jù)文獻(xiàn)[19]定義運(yùn)算規(guī)則如下：

1)當(dāng)Cp(Ex,En,He)=Cp1(Ex1,En1,He1)+Cp2(Ex2,En2,He2)時(shí)，有

2)當(dāng)Cp(Ex,En,He)=Cp1(Ex1,En1,He1)×Cp2(Ex2,En2,He2)時(shí)，有

得到多狀態(tài)系統(tǒng)基于云模型的CUGF后，便可應(yīng)用運(yùn)算δA計(jì)算出多狀態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度，即

4 算例分析

φ(G1(t),G2(t),G3(t))=

φS(φP(G1(t),G2(t)),G3(t))=

min((G1(t)+G2(t)),G3(t)),

式中：φS為串聯(lián)運(yùn)算；φP為并聯(lián)運(yùn)算。整個(gè)系統(tǒng)的UGF為

U(z)=Ωφ(u1(z),u2(z),u3(z))=

ΩφS(ΩφP(u1(z),u2(z)),u3(z))。

圖1 流體傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

4.1 基于概率的穩(wěn)態(tài)可用度

A(1.5)=δA(U(z),1.5)=δA(0.56gz3.5+0.23gz3

+…+0.009 6gz1+0.049 6gz0,1.5)=

0.067 2+0.096+0+0=0.940 8。

4.2 基于云模型的穩(wěn)態(tài)可用度

設(shè)單元j的每個(gè)狀態(tài)有200個(gè)信息來源，每個(gè)信息來源可給出一個(gè)狀態(tài)概率偏好值，則所有偏好值構(gòu)成樣本集合X={x1,x2,…,x200}，采用1.2.4節(jié)中不包含確定度信息的逆向正態(tài)云生成器算法，求得每個(gè)概率云的3個(gè)數(shù)字特征值Ex、En和He，如表1所示。采用1.2.3節(jié)中的正向正態(tài)云發(fā)生器算法求得3個(gè)單元概率云的云滴以及正態(tài)云圖，如圖2-4所示。

表1 云概率的數(shù)字特征值

圖2 單元1的狀態(tài)概率正態(tài)云

圖3 單元2的狀態(tài)概率正態(tài)云

圖4 單元3的狀態(tài)概率正態(tài)云

(0.77,0.124 6,0.023 78)gz1.5+

(0.14,0.062 3,0.006 92)gz1+

(0.68,0.114 5,0.031 42)gz2+

(0.21,0.076 5,0.010 62)gz1.5+

(0.94,0.201 3,0.034 12)gz4+

(0.06,0.036 7,0.008 32)gz0。

為了方便編程，應(yīng)用矩陣來表示各個(gè)具有多狀態(tài)的單元變換函數(shù)，其中矩陣的列依次分別為單元各個(gè)狀態(tài)的Ex、En和He，具體如下：

各矩陣之間的運(yùn)算采用根據(jù)前文所定義的運(yùn)算規(guī)則下的特定運(yùn)算。由于單元1和單元2是并聯(lián)的，所以采用并聯(lián)結(jié)構(gòu)函φP來進(jìn)一步獲得二者的CUGF，即

ΩφP(u1(z),u2(z))=

由于單元1和單元2所組成的子系統(tǒng)與單元3是串聯(lián)，因此整個(gè)系統(tǒng)的CUGF為

U(z)=ΩφS(ΩφP(u1(z),u2(z)),u3(z))=

為簡化計(jì)算，計(jì)算過程中可將指數(shù)相同的項(xiàng)先合并，然后再計(jì)算，但為了程序處理方便，筆者采用先計(jì)算后合并的方式。當(dāng)w=1.5時(shí)，該多狀態(tài)系統(tǒng)的可用度為

(0.502 7,0.157 8,0.033 2)+(0.155 2,0.069 9,0.010 7)+

(0.081 3,0.049 4,0.008 1)+(0.091 4,0.047 5,0.007 0)+

(0.028 2,0.017 3,0.002 2)+(0.058 8,0.038 3,0.008 9)+

(0.018 1,0.013 2,0.002 8)=(0.937 8,0.024 1,0.003 6)。

由此可見：在給定需求的情況下，該多狀態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度云的期望值為0.935 7，與概率情況下該系統(tǒng)的可用度0.940 8相比稍小，但非常接近且都大于所要求的可用度0.9。采用1.2.3節(jié)中的正向正態(tài)云發(fā)生器算法可求出該可用度的云滴，其正態(tài)云如圖5所示。

圖5 多態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度正態(tài)云

在本算例中，評估得到的穩(wěn)態(tài)可用度云為(0.937 8,0.024 1,0.003 6)，對該結(jié)果判定如下：

Ex-3En=0.937 8-3×0.024 1=0.865 5，

Ex+3En=0.937 8+3×0.024 1=1.010 1，

故當(dāng)A=0.9時(shí)，

Ex-3En≤A≤Ex+3En。

5 結(jié)論

針對多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估中的不確定性建模問題，提出了應(yīng)用云模型表示單元或子系統(tǒng)狀態(tài)概率的隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性。在概率云模型的基礎(chǔ)上擴(kuò)展了通用生成函數(shù)，并給出了多狀態(tài)系統(tǒng)在給定需求下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的求解過程以及可用度云的3個(gè)數(shù)字特征值。得出的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度云不僅能夠定量描述系統(tǒng)可用度，同時(shí)還保留了系統(tǒng)可用度的更多細(xì)節(jié)信息，評估結(jié)果準(zhǔn)確、可信。筆者提出的研究思路和方法為存在信息或數(shù)據(jù)的不完整性、不精確性及模糊性的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估提供了一定的借鑒，但在研究中主要考慮了狀態(tài)概率的不確定性問題，并未涉及單元和子系統(tǒng)的狀態(tài)存在不確定性的情況，下一步研究將同時(shí)考慮單元和子系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)概率的不確定性。

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(責(zé)任編輯:王生鳳)

Reliability Assessment of Multi-state Systems Based on Cloud Model

GAO Long1, SONG Tai-liang2, YAN Xu1

(1. Department of Technical Support Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China； 2. Defense Science Technology Information Center, Beijing 100142, China)

This paper studies the method of reliability evaluation of the multi-state systems aimed at the problems of uncertainties, in which the uncertainties of aleatory and epistemic of the state probability are presented by the cloud model. The Universal Generating Function (UGF) is further expanded on the basis of the cloud probability model, then a Cloud Universal Generating Function (CUGF) is formed, its two kinds of operations are defined, and the process of the solution and three cloud digital features of the cloud model of the availability for the multi-state systems in a given demand are provided. Finally, the accuracy and feasibility are verified by the examples of series-parallel multi-state system of the 3-unit and comparision of the assessment result based on probability theory. The research provides a new thought and method to deal with the incomplete, inaccuracy, fuzzy information and data in reliability evaluation of the multi-state systems.

multi-state systems; reliability evaluation; cloud model; uncertainty

1672-1497(2016)05-0100-07

2016-06-13

軍隊(duì)科研計(jì)劃項(xiàng)目

高 龍(1988-)，男，博士研究生。

TB114.3

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2016.05.021