基于概率論與微積分的知識關聯(lián)的教學研究

宋殿霞

(上海海洋大學信息學院數(shù)學基礎教學部,上海201306)

0 引言

概率論與微積分是數(shù)學的兩個重要的分支,它們之間有著本質的區(qū)別,但是又有緊密的聯(lián)系。高等數(shù)學是學習概率的基礎,其極限、連續(xù)、導數(shù)、積分、級數(shù)等重要的概念和數(shù)學思想在概率論中都有著充分的體現(xiàn);而概率的思想方法又可以反過來為微積分中一些比較復雜的問題提供了方法。

1 高數(shù)是概率的基礎

1.1 集合論是概率論公理化體系的基礎

隨機事件的定義及事件間的關系和運算,采用了集合的觀點,將集合賦予了概率的含義,從而事件之間的運算其實是集合之間的運算,進而概率的公理化定義是以集函數(shù)的方式給出的。從教學的角度,微積分中求函數(shù)定義域的課題應加以強調與考核。

1.2 隨機變量的引入,使微積分思想與級數(shù)思想得到充分的應用

分布函數(shù)的定義及性質,連續(xù)型隨機變量的概率密度的定義及性質,是以極限與連續(xù)的概念及變上限積分與廣義積分作為工具的。有了分布函數(shù)、概率密度作為工具,求概率的問題,實際就轉化為了計算積分的問題,在求概率的積分方法中,用的最多的是湊微分法與分部積分法;離散型隨機變量的定義與性質和數(shù)列密切相關,其性質與有關概率計算會用到無窮級數(shù)求和。而概率密度和分布函數(shù)之間的關系,是被積函數(shù)與原函數(shù)的關系,涉及到將變上限積分求導問題與求變上限積分表達式的問題。

因此從教學上,為了使微積分更好地為概率論服務,應該把函數(shù)的左右極限、左右連續(xù)、變上限積分等概念作為考查重點,特別地,諸如求分段函數(shù)分段點處的極限值、討論連續(xù)性,求變上限積分表達式等要重點講解與考查,例如形如：

1.3 大數(shù)定律與中心極限定理體現(xiàn)了極限的思想和作用

極限的思想,解釋了自然界與社會中的大部分隨機現(xiàn)象穩(wěn)定性的本質?？傊?微積分的重要思想和方法及其知識點在研究概率時,起著重要的作用,使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計可以用系統(tǒng)的數(shù)學分析的方法來解決概率問題。概率論就是用微積分的知識作為基礎和工具的一門學科。特別是定積分、反常積分、二重積分、極限等知識的熟練掌握能大大提高學習概率的效率。

2 微積分中的概率論方法

下面簡略地以舉例的形式說明概率論對于解決微積分中的問題所起的作用。

解：構造如下概率模型,設ξ1、ξ2,…,為一列獨立的隨機變量且均服從參數(shù)為1的泊松分布,則根據(jù)泊松分布的可加性服從參數(shù)為 n的泊松分布,從而有：

另一方面,由中心極限定理及標準正態(tài)分布函數(shù)的性質有：

概率模型解決微積分問題的技巧有很多,在這里不再贅述,僅提供幾個例子體會。

3 結語

本文重點研究微積分知識對概率教學的影響,并對影響進行了詳細的分析。高等數(shù)學的重要思想和方法及其知識點在研究概率時,起著重要的作用,使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計可以用系統(tǒng)的數(shù)學分析的方法來解決概率問題。概率論就是用高等數(shù)學的知識作為基礎和工具的一門學科。特別是定積分、反常積分、二重積分、極限等知識的熟練掌握能大大提高學習概率的效率。另外,以舉例的方式簡單地闡述了概率對微積分問題的解決提供了巧妙的概率模型。關于二者關系的分析還可以更深入的討論,有待于進一步研究。

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