幾何直觀

麻炳鈴

[摘 要]幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。在教學(xué)上，通過引導(dǎo)學(xué)生對比多種方法，挖掘幾何直觀內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀 解決問題 能力培養(yǎng)

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）05-076

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于學(xué)生梳理探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。”而在實(shí)際教學(xué)中，部分教師在認(rèn)識上存在著一定的局限性，在課堂教學(xué)中，僅僅重視培養(yǎng)邏輯推理能力，忽視對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。因此，全面地理解幾何教育的價值，重視幾何直觀，使學(xué)生能夠靈活地運(yùn)用“以形助數(shù)”這把“利劍”，巧妙地解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，真正有效地提高學(xué)生的幾何直觀能力，這應(yīng)是一線教師努力的方向。

一、巧用對比，感受幾何直觀價值

心理學(xué)家皮亞杰根據(jù)兒童的認(rèn)知理論將兒童的認(rèn)知分為四個階段：感知運(yùn)動階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段、形式運(yùn)算階段。而小學(xué)階段的學(xué)生正處于第三階段，他們很難理解復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，如果能借助圖形使數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化、簡單化，那么找到解題的方法相對也較容易。要想讓學(xué)生主動地以形助數(shù)，首先應(yīng)該讓其感受幾何直觀的內(nèi)在價值，激起他們內(nèi)在的驅(qū)動力。這就要求教師在平時的教學(xué)中選擇合適的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生感受和領(lǐng)悟圖形的價值。

例如，計算“+++++”時，大部分學(xué)生用通分的方法，比較繁瑣。這時教師就可引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1，輕松得出“要求‘+++++’的和，其實(shí)就是要求出圖中所有陰影部分的面積之和，而‘圖中所有陰影部分的面積=1-空白部分的面積’，空白部分的面積其實(shí)等于最后一個加數(shù)的大小，即，所以+++++=1-=”。

通過對比方法，借助圖形的直觀性特點(diǎn)將抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，在“形”與“數(shù)”的對應(yīng)中，將一道復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成求圖形的陰影部分面積，不僅降低了運(yùn)算的難度，加深了學(xué)生對數(shù)的意義的理解，同時也為學(xué)生對算理的理解打開了一條新的通道。這樣的學(xué)習(xí)過程不僅能讓學(xué)生感受到豁然開朗的輕松愉悅，也能讓學(xué)生萌發(fā)主動應(yīng)用幾何直觀的意識。

二、適時操作，積累幾何直觀經(jīng)驗

直觀，雖然沒有經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯推理，卻能有效促進(jìn)人們對觀察對象的全貌和本質(zhì)的把握。借助幾何圖形的直觀，常常能發(fā)現(xiàn)圖形之間的關(guān)系，甚至?xí)a(chǎn)生對相關(guān)數(shù)量之間關(guān)系的猜想。正如“語感”、“數(shù)感”那樣，學(xué)生也只有在平時的動手操作中不斷地積累，才能逐步提高幾何直觀素養(yǎng)。

例如，新北師版四年級下冊“優(yōu)化”的教學(xué)片斷。

師：要想盡快吃上餅，至少需要多長時間？

生1：只要12分鐘。

生2：只要9分鐘。

師：看來大家有不同的意見。請把老師提供的圓形紙片當(dāng)做餅，先模擬一下烙餅過程，再把你的想法在課堂作業(yè)本上表示出來。（生迫不及待地開始動手操作）

師：誰來說說你是怎么烙餅的？

生3：假設(shè)數(shù)學(xué)書是“鍋底”，這三張圓形紙片是三個“餅”。我是先烙第一個餅的正面和第二個餅的正面，再烙第一個餅的反面和第二個餅的反面，接著烙第三個餅的正面，最后烙第三個餅的反面。所以共需要3×4=12（分鐘）。

生4：我是用圓形紙片表示餅，第一次先烙第一個餅的正面和第二個餅的正面，第二次烙第一個餅的反面和第三個餅的正面，第三次烙第二個餅的反面和第三個餅的反面。所以只要3×3=9（分鐘）。

師：為什么生4比生3所用的時間少呢？

生5：因為生3在第三次和第四次烙餅的時候，沒有同時烙兩個餅，浪費(fèi)了空間。

師：生4所用的時間會是最少的嗎？

生6：會，因為它每次都烙兩個餅，沒有浪費(fèi)空間。

……

在操作中，學(xué)生用圓形紙片替代餅，再將圓形紙片抽象成圓形符號，經(jīng)歷了“實(shí)物直觀→替代物直觀→符號直觀”的抽象過程。正因為借助直觀圖形，并動手操作，學(xué)生才能輕而易舉地把烙餅過程抽象成圖形符號和數(shù)學(xué)語言，學(xué)生既明白了怎樣烙餅才能更省時間的道理，抽象思維又得到了發(fā)展，在一定程度上積累了幾何直觀經(jīng)驗。

三、挖掘本質(zhì)，凸顯幾何直觀內(nèi)涵

運(yùn)用幾何直觀研究問題，通常要先把研究的“對象”抽象成“圖形”，再把“對象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”，從而把所研究的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于“圖形的數(shù)量或位置關(guān)系”的問題，然后借助圖形進(jìn)行思考、分析，從而找到解題思路。因此，教師應(yīng)在培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀描述與分析問題的意識與能力上下工夫，這就意味著，對幾何直觀的教學(xué)，教師要關(guān)注學(xué)生表述問題的過程，以及表述之后的反思與頓悟。沒有反思與頓悟，學(xué)生可能獲得了幾何的方法，卻未必獲得“幾何直觀”的能力。

例如，教學(xué)“3的倍數(shù)特征”時，大多數(shù)教師都采用“先讓學(xué)生在100以內(nèi)的數(shù)表中圈出是3的倍數(shù)的數(shù)，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察這些數(shù)有哪些共同特點(diǎn)，進(jìn)而探索出3的倍數(shù)特征——各個數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)”。這樣的課給人感覺缺少一點(diǎn)“深度”，即對“3的倍數(shù)特征本質(zhì)”的挖掘。教師不妨再追問學(xué)生兩個問題——

師：為什么3的倍數(shù)的特征是各個數(shù)位上的數(shù)字的和呢？（生表示疑惑）。

師：我們用小棒數(shù)量來表示數(shù)43（4捆小棒加3根小棒），每捆小棒都有10根，3根3根地分，每捆還剩下幾根？

生1：還剩下1根。

師：這樣4捆共剩下幾根？

生2：4根。

師：這時只要把這4根小棒再加上個位上的3根小棒，所以要看43是不是3的倍數(shù)只要看十位數(shù)字與個位數(shù)字的和。

師（再次追問）：如果這個數(shù)是三位數(shù)，你能解釋其中的道理嗎？

生3：也是一樣的道理。百位上的數(shù)字如果是“6”，表示600根，每100根一捆，3根3根地分以后，也還是剩下1根，6捆總共剩下6根，所以只要用百位上的數(shù)字“6”加十位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字，即各個數(shù)位上的數(shù)字的和。

師：這位同學(xué)條理非常清楚，相信同學(xué)們也能用同樣的方法解釋更大的數(shù)。

通過追問學(xué)生兩個數(shù)學(xué)問題：“為什么3的倍數(shù)的特征是各個數(shù)位上的數(shù)字的和？”和“如果這個數(shù)是三位數(shù)，你能解釋其中的道理嗎？”進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。學(xué)生借助直觀的小棒，能夠發(fā)現(xiàn)：“4捆小棒就是表示十位數(shù)中的40，單獨(dú)的3根小棒表示個位的數(shù)字3。緊接著要判斷是不是3的倍數(shù)只要看每捆中剩下的小棒與單獨(dú)小棒的總數(shù)之和?！睂W(xué)生不僅知其然，還能知其所以然，在觀察、分析中學(xué)生的幾何直觀能力得到了提升。

“冰凍三尺，非一日之寒?！迸囵B(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力同樣需要一個長期、循序漸進(jìn)的過程，需要教師在教學(xué)中長期關(guān)注，有意識地滲透，不斷地將學(xué)生的思維引向深處，真正提高學(xué)生的幾何直觀能力。

（責(zé)編 童 夏）