一題多解一例

徐丹

摘 要：學(xué)生一題多解的能力體現(xiàn)了他的思維能力及水平.現(xiàn)在的高考注重高效，即在有限的時(shí)間內(nèi)盡可能準(zhǔn)確地完成試題. 本文就高中數(shù)學(xué)解幾中的一例常見題，引出一題多解的有效性和必要性，希望學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不要一味追求結(jié)果，而是更加注重解出的過程，并加以提煉解法的優(yōu)劣，對(duì)今后的學(xué)習(xí)有所幫助.

關(guān)鍵詞：高考；一題多解

高考，對(duì)于重點(diǎn)知識(shí)的理解、調(diào)動(dòng)、應(yīng)用能力要求很高，學(xué)生能否在短時(shí)間內(nèi)找到最適合的一種方法和方向是學(xué)生在考試時(shí)能否取得成功的關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)的問題從解法來分就是兩類：一類方法唯一，多題一解；一類方法兩種或兩種以上，一題多解. 不管哪種情況，都建立在對(duì)知識(shí)的理解透徹、掌握內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上. 本文就一道簡(jiǎn)單的小題入手來分析其所蘊(yùn)涵的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)、多種解法，來體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系與其數(shù)學(xué)魅力，以及對(duì)于有關(guān)問題的簡(jiǎn)單延伸，提升學(xué)生知識(shí)的選擇運(yùn)用能力、剖析學(xué)生解題的困難點(diǎn).

題例：已知過點(diǎn)P（1，8）的直線l與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求：

①S△AOB的最小值；

②直線l在x軸正半軸、y軸正半軸上截距之和的最小值；

③AP·BP的最小值；

④距離AB的最小值.

由于篇幅問題，在此僅例舉問題①的五種解法.

其次：法一、法二是求①常規(guī)解法.這兩種方法還用在②③；法三使用①、③，屬平幾解法；法四和法五實(shí)質(zhì)是一樣的，θ與α互補(bǔ). 但求①法四簡(jiǎn)單，法五煩瑣. 求解①的過程各方法全部用到基本不等式求最值，特別是法二求解時(shí)特別體現(xiàn)了“乘1法”和“拆湊法”.

再次：碰到④，基本不等式甚至二次函數(shù)法都不能解決了，現(xiàn)行教材導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)就解決了以前求解AB長(zhǎng)度的困難.五種設(shè)法都要用到求導(dǎo)的方法.對(duì)于理科班的學(xué)生可以通過法五來理解直線的參數(shù)方程，總的比較起來，后兩法（用角度設(shè)法）比前兩法簡(jiǎn)潔，設(shè)長(zhǎng)度其次.

導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容進(jìn)入高中，在原來以二次函數(shù)區(qū)間上求最值及基本不等式求最值、三角函數(shù)求最值的基礎(chǔ)上，添上了亮彩的一筆！很多原來比較困難的問題，或簡(jiǎn)潔或迎刃而解. 而直角三角形有關(guān)問題可用設(shè)其中一個(gè)銳角來表示其他量！

引例是一道常見的基本的解幾直線問題. 新教材、考試大綱對(duì)直線和圓部分的要求是C級(jí)——掌握. 新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)掌握、應(yīng)用、遷移的解釋是掌握、導(dǎo)出、分析、推導(dǎo)、證明、研究、討論、選擇、決策、解決問題，也就是能進(jìn)行綜合應(yīng)用.在平面解析幾何初步的教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的過程：首先可考慮將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題并處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題.這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.

本文舉的基礎(chǔ)例子是結(jié)合了代數(shù)（三角、向量）、解析幾何，平面幾何的和諧統(tǒng)一的一個(gè)小題. 當(dāng)然從填空題的角度來說，有時(shí)特殊值法也是很好的方法. 方法的選擇會(huì)便于學(xué)生找到解題的捷徑，節(jié)約大量的時(shí)間，避免繁雜的運(yùn)算，亦可以觸類旁通，達(dá)到多題一解的效果. 解題過程是思維活躍的過程，是智慧火花閃耀的過程. 在實(shí)踐中使學(xué)生不怕解題，敢于解題，善于解題是我們應(yīng)該重視的.

下面舉例體會(huì)方法的選擇對(duì)于解題和學(xué)生成功的幫助.

例如：過已知過點(diǎn)P（1，8）的直線l與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則距離AB的最小值為__________.（選自鎮(zhèn)江市2009屆高三第三次調(diào)研測(cè)試—14）

簡(jiǎn)析：不管是學(xué)生求解還是評(píng)講的時(shí)候，學(xué)生都對(duì)點(diǎn)斜式和截距式敬而遠(yuǎn)之，其中帶根號(hào)的運(yùn)算和煩瑣的AB的表達(dá)式讓他們望而卻步.

比如用解法一可得AB=+，

之后的處理對(duì)學(xué)生來說比較困難：被開方數(shù)寫成多項(xiàng)式形式；求導(dǎo)分解因式（即的得出）. 因?yàn)閗<0，所以k=-，可證得它是極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)，得到AB最小值為8.

但若用法四，則較易化簡(jiǎn)：AB=g（θ）=+，對(duì)θ求導(dǎo)得：g′（θ）= -+，易得極小值點(diǎn)即最小值點(diǎn)tanθ=，θ=，進(jìn)而得結(jié)果.

若用AC=x（x>0），則根號(hào)所產(chǎn)生的解題困難就消失了：

AB2=

2+（x+9）2=不再出現(xiàn)，接下來的處理同點(diǎn)斜式法，當(dāng)x=3時(shí)AB取得最小值8.

又如：在直角三角形ABC中，斜邊AB長(zhǎng)為1，E為AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于D.

（1） 求證：△CDE的面積不大于. （2）求（·）·（·）的最大值.

雖考試中現(xiàn)已很少要求一題多解，但實(shí)際上在學(xué)習(xí)的過程中一題多解的思路萬不能少. 我們應(yīng)熟練掌握某種題型的多種解法，特別是一些通法，這樣在解題的過程中才能更好地比較優(yōu)劣，更好地思考，在以后的解題中能有很多的經(jīng)驗(yàn)，試一種不成功能馬上轉(zhuǎn)換另一種甚至更多種. 當(dāng)然多種解法還能檢驗(yàn)?zāi)氵x擇的某種方法是否正確與最優(yōu).

一題多解能力的養(yǎng)成也并不一蹴而就，需要平時(shí)的積累、思考和感悟. 這樣，你的邏輯思維能力在量到質(zhì)的影響下應(yīng)能速速提高.