數(shù)學(xué)之“美”

古希臘偉大的哲學(xué)家亞里士多德早就指出：“認(rèn)為數(shù)學(xué)的科學(xué)全不涉及美或善是錯誤的……數(shù)學(xué)的科學(xué)特別體現(xiàn)秩序、對稱和明確性，而這些正是美的主要形式?！惫P者認(rèn)為數(shù)學(xué)中的美感俯拾即是，在解題教學(xué)中，可嘗試對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美的熏陶。

一、簡潔美

愛因斯坦說過：“美，本質(zhì)上終究是簡單性?！彼€認(rèn)為，只有借助數(shù)學(xué)，才能達(dá)到簡單性的美學(xué)準(zhǔn)則。數(shù)學(xué)解題中的“簡潔美”有很多，以下僅舉一例。

運用整體思想，且用字母代替原題中的兩個式子，復(fù)雜的計算問題解決得簡潔而明快，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題解決中的“簡潔美”。其實，數(shù)學(xué)中最為簡潔的美莫過于歐拉公式V-E+F=2，頂點數(shù)V，棱數(shù)E，面數(shù)F，如此簡單的一個公式，不計其數(shù)的多面體，都必須服從它。需要說明的是數(shù)學(xué)語言本身和數(shù)學(xué)中的許多公式和定理本身就體現(xiàn)了“簡潔美”。

二、異曲同工美

數(shù)學(xué)中的許多問題可以用不同的方法去解決，最后得到的結(jié)果無論在形式上和實質(zhì)上都是一致的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在統(tǒng)一，可謂“異曲同工”。

根據(jù)表中所反映的規(guī)律，猜想第n行（n為正整數(shù)）與第n列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為 ? ? ? ? ? ? ? 。

【方法一】先考察特殊的情形第一行第一列交叉處的數(shù)為1，第二行第二列交叉處的數(shù)為3，第三行第三列交叉處的數(shù)為5，第四行第四列交叉處的數(shù)為7，根據(jù)此規(guī)律這一串?dāng)?shù)為1，3，5，7…所以第n行第n列交叉處的數(shù)為2n-1。

【方法二】考察行列交叉處的數(shù)與行數(shù)和列數(shù)的關(guān)系，這個數(shù)等于行數(shù)與列數(shù)的和減去一。例如，第3行第3列交叉處的數(shù)為5=3+3-1，所以第n行第n列交叉處的數(shù)為n+n-1=2n-1。

實際上方法一中的每行每列交叉處的數(shù)都可以寫成方法二中的形式，兩種不同的方法結(jié)果一致，可謂“殊途同歸”。

三、和諧美

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難如微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。數(shù)學(xué)中數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定的條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。

【例3】，求1+2+3+…+n的值，其中n為正整數(shù)。對于這個求和問題，如果采用純代數(shù)的方法（首尾兩頭加），問題雖然解決了，但在求和的過程中，需對n的奇偶性進(jìn)行討論。

如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實，那會非常直觀?，F(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+…+n的值，方案如下：如圖1，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個小圓圈排列組成的。而組成整個三角形的小圓圈的個數(shù)恰好為1+2+3+…+n的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線的右邊，與原三角形組成一個平行四邊形。此時組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n（n+1）個，因此，組成一個三角形的小圓圈的個數(shù)為，即1+2+3+…+n= ? ?。

（1）仿照上述數(shù)形結(jié)合的方法，設(shè)計相關(guān)圖形，求1+3+5+…+（2n-1）的值，其中n為正整數(shù)。（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說明）

（2）試設(shè)計另外一種圖形，求1+3+5+…+（2n-1）的值，其中n為正整數(shù)。（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說明）

【解析】其中（1）的做法和原題中的方法相類似，這里不再贅述，第（2）小題可畫出如圖2的圖形，第一個直角中有1個小圓圈，第二個直角中有3個小圓圈，第三個直角中有5個小圓圈……第n個直角中有（2n-1）個小圓圈，組成整個正方形的小圓圈的個數(shù)恰好為1+3+5+…+（2n-1）的值，另一方面正方形每行有n個小圓圈，共有n行，所以小圓圈的總數(shù)為n²個，即1+3+5+…+（2n-1）= n²。

這個問題中數(shù)和形是如此的和諧統(tǒng)一，不得不令人驚嘆，在解題中我們深刻感受到了數(shù)學(xué)的美輪美奐。

四、奇異美

解題中的奇異美是指題中得出的結(jié)論或解題方法出人意料，讓人感到詫異和驚奇。例如，最近幾年中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的七巧板拼圖問題，讓學(xué)生盡情領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的奇異之美。用七塊板可以拼成一個最簡單的正方形，也可以拼出千變?nèi)f化的復(fù)雜圖案，如人形、鳥獸、花草、房屋等。學(xué)生所能拼出的圖案之多之美，出人意料。數(shù)學(xué)題有一般的規(guī)律和一般的解題模式，但每道數(shù)學(xué)題也都有各自特殊的性質(zhì)，這些特殊的性質(zhì)構(gòu)成了數(shù)學(xué)的奇異美，根據(jù)數(shù)學(xué)的奇異美。在求解某些數(shù)學(xué)問題時，要打破常規(guī)，突破現(xiàn)成的思維模式，找到別開生面、出奇制勝的解法。

總之，教師在解題教學(xué)中若能把數(shù)學(xué)問題中這些美學(xué)本質(zhì)挖掘出來，必能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的體驗，啟迪學(xué)生的思維，開拓學(xué)生的視野。因此在解題教學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行美的熏陶值得一試。

周凌峰，男，周莊中學(xué)校長、黨支部書記，曾在2011年8月受教育局指派，赴山西省呂梁市離石區(qū)支教。榮獲“江陰市青年教師教學(xué)大比武一等獎”“江陰市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員”“江陰市優(yōu)秀班主任”“江陰市教學(xué)能手”“江陰市優(yōu)秀教育工作者”“離石區(qū)優(yōu)秀班主任”“呂梁市離石區(qū)五一勞動獎?wù)隆薄盁o錫市青年教師評優(yōu)課一等獎”“無錫市優(yōu)秀教育工作者”“無錫市教學(xué)能手”“感動山西特別獎”等稱號。

教科研方面注重實效，參與編輯《初中數(shù)學(xué)知識表解》一書，參與國家級重點課題“創(chuàng)新型教師培養(yǎng)”、江蘇省重點課題“構(gòu)造積極心理場”，獨立主持無錫市教師專項課題“概念圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用”?！肚髮?dǎo)誠可貴，構(gòu)造價更高》《例談數(shù)學(xué)教材中的例題和習(xí)題教學(xué)》《追求“我”的課堂》《探索向量問題求解 彰顯數(shù)學(xué)思想魅力》等論文發(fā)表于《理科考試研究》等雜志，并有多篇文章在全國、無錫市、江陰市各類評比中獲一、二等獎。