翻轉(zhuǎn)課堂在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點體會
——以測控151班級為例

張育藺

（南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院素質(zhì)教育部，江蘇 南京210023）

翻轉(zhuǎn)課堂在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點體會
——以測控151班級為例

張育藺

（南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院素質(zhì)教育部，江蘇 南京210023）

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)法是信息化時代的一種新的教學(xué)方法，是對傳統(tǒng)的課堂教學(xué)教學(xué)方法的完善與補(bǔ)充。本文是在上學(xué)期測控151班級實踐的基礎(chǔ)上，得到的一些教學(xué)體會和心得。旨在通過這種教學(xué)方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率。

翻轉(zhuǎn)課堂；微課；高等數(shù)學(xué)

所圍翻轉(zhuǎn)課堂，就是教師創(chuàng)建視頻，學(xué)生在課外觀看視頻中教師的講解，回到課堂上師生面對面交流和完成作業(yè)的一種教學(xué)形態(tài)。最早是在美國科羅拉多州落基山的一個山區(qū)學(xué)校——林地公園高中，教師們常常被一個問題所困擾：有些學(xué)生由于各種原因，時常錯過正常的學(xué)?；顒樱覍W(xué)生將過多時間花費在往返學(xué)校的巴士上。這樣導(dǎo)致很多學(xué)生由于缺課而跟不上學(xué)習(xí)進(jìn)度。直到有一天，學(xué)校的兩個老師開始使用屏幕捕捉軟件錄制PPT演示文稿的播放和講解、他們把結(jié)合實時講解和PPT演示的視頻上傳到網(wǎng)絡(luò)，以此幫助課堂缺課的學(xué)生補(bǔ)課。后來，兩位教師逐漸以學(xué)生在家看視頻聽講解為基礎(chǔ)，節(jié)省出課堂時間來為在完成作業(yè)或做實驗中有困難的學(xué)生提供幫助。這種教學(xué)方式現(xiàn)在受到越來越多人的關(guān)注，逐漸成為一種新興的教學(xué)模式，這種教學(xué)模式和傳統(tǒng)的課堂教學(xué)方法相結(jié)合，將學(xué)生由被動轉(zhuǎn)為主動，極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率。

本學(xué)期我在課題組的推動下在測控151班級進(jìn)行了翻轉(zhuǎn)課堂的實踐與探索。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，我也不是一刀切地全部運用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，而是選取了幾種特殊的課進(jìn)行嘗試，以此推進(jìn)課程改革。一學(xué)期下來，我發(fā)現(xiàn)收效相當(dāng)?shù)拿黠@，學(xué)生越來越喜歡上數(shù)學(xué)課了。下面介紹幾節(jié)我認(rèn)為比較成功的案例，分別是概念教學(xué)課，典型例題、習(xí)題的教學(xué)課，復(fù)習(xí)指導(dǎo)課。

1 概念教學(xué)課

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魂，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、接受新知識的基礎(chǔ)。準(zhǔn)確而又徹底地理解和掌握數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中的概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)及后續(xù)專業(yè)課程的必備條件。但由于概念課比較抽象，學(xué)生普遍感覺比較枯燥，再加上班級學(xué)生的層次良莠不齊，很多概念不能理解，掌握的效果也差強(qiáng)人意，這極大地影響了后面的學(xué)習(xí)。如何能讓學(xué)生在徹底理解的基礎(chǔ)上使學(xué)生把概念記牢，重要的是要把概念翻譯得通俗易懂，能夠舉一反三、融會貫通，從而理解概念的內(nèi)涵和外延。這一點可以利用翻轉(zhuǎn)課堂來實現(xiàn)。要講概念課之前，我們可以先把概念用通俗易懂的語言錄制好視頻，讓學(xué)生可以隨時隨地地回顧概念，對學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念很有幫助。例如函數(shù)的極限定義，非常的抽象，學(xué)生很難理解這種數(shù)學(xué)語言定義的概念，而函數(shù)極限概念又是《高等數(shù)學(xué)》這門課程中一個重要的知識點，在《高等數(shù)學(xué)》中，幾乎所有基本概念（如連續(xù)、微分、積分）都是建立在函數(shù)極限概念的基礎(chǔ)之上,極限的思想方法是研究變量的最基本方法。故極限概念學(xué)習(xí)的好壞直接影響后面知識點的學(xué)習(xí)，這時我們就可以采用翻轉(zhuǎn)課堂的模式來學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。首先在上課前我們先錄一段函數(shù)極限概念講解的微課，微課將分別從函數(shù)極限概念的推導(dǎo)以及使用兩個方面來介紹函數(shù)極限。講到函數(shù)的極限定義時，微課中首先認(rèn)識函數(shù)極限概念的描述性定義，然后通過類比、例題分析引入了函數(shù)極限概念的精確定義，即用定量的數(shù)學(xué)語言來描述無限接近，接下來通過幾何直觀進(jìn)一步闡述函數(shù)極限概念，利用例題及動畫加深對概念的理解，最后總結(jié)了對定義的幾點說明及使用定義證明函數(shù)極限的步驟，加深對函數(shù)極限概念的理解。在教學(xué)平臺上可以寫幾個簡單的例子，先讓學(xué)生熟悉一下解題思路和步驟。到上課的時間先了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，組織學(xué)生進(jìn)行討論，根據(jù)學(xué)生掌握的情況因人制宜地進(jìn)行講解。最后再復(fù)習(xí)總結(jié)。這樣下來學(xué)生對本概念的理解就比較深刻，掌握的效果也會比較好。

2 典型例題、習(xí)題教學(xué)

創(chuàng)設(shè)和選取典型例題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中一個必不可少的重要環(huán)節(jié)。創(chuàng)設(shè)典型的例題是數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)特點，它不但可以收到事半功倍的效果．還可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力。通過典型例題的解題思路學(xué)生還能學(xué)到一些解題技巧，加深對知識點的理解和掌握。這時我們就可以通過翻轉(zhuǎn)課堂的模式實現(xiàn)這一點，首先我們先根據(jù)這一節(jié)的習(xí)題特點選擇幾個典型的例題，錄成微課，學(xué)生在課下完成之后，課上可以根據(jù)他們的做題情況有重點地講解，省下的時間就可以分組比賽等等，通過其他形式的做題目調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，從而達(dá)到較好的學(xué)習(xí)效果。例如在《高等數(shù)學(xué)》下冊部分,二重積分,三重積分,曲線積分,曲面積分放在一起學(xué)習(xí),學(xué)生很容易混淆,感覺學(xué)習(xí)起來很困難,這就可以充分利用習(xí)題課的時間,幫助學(xué)生把知識點串一串。為此我做了一個視頻,先把所有知識點（一）重積分的性質(zhì)；（二）二重積分的計算方法：（1）直角坐標(biāo)（2）極坐標(biāo)；（三）三重積分的計算方法；（四）對弧長的曲線積分的計算方法；（五）對坐標(biāo)的曲線積分的計算方法 （兩類曲線積分之間的關(guān)系）；（六）格林公式、斯托克斯公式；（七）對面積的曲面積分的計算方法；（八）對坐標(biāo)的曲面積分的計算方法（兩類曲面積分之間的關(guān)系）；（九）高斯公式；（十）重積分的應(yīng)用（面積、體積、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力）；（十一）梯度、散度、旋度。羅列出來,各個知識點之間的聯(lián)系,如何應(yīng)用都清楚明了地表達(dá)出來,讓學(xué)生先對內(nèi)容有一個回顧復(fù)習(xí)。比如說，這一章的格林公式和高斯公式學(xué)生不是很理解，不能熟練應(yīng)用。這時我就單獨做了一個小視頻，把格林公式，高斯公式和他們比較熟悉的牛頓——萊布尼茲公式建立聯(lián)系。

眾所周知，設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)，則

這個公式就是大家非常熟悉的牛頓——萊布尼茲公式。它告訴我們：要計算f(x)在區(qū)間[a,b]上積分值，不需要考慮這個區(qū)間的內(nèi)部，只需要考慮區(qū)間的兩個端點a和b，它等于原函數(shù)在兩個端點的函數(shù)值之差，這就大大降低了難度。

格林公式和高斯公式呢？是高維時的情況。格林公式：設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y)與Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

其中L是D的取正向的邊界曲線。很容易可以看出：類似于牛頓——萊布尼茲公式，格林公式是把區(qū)域D上的二重積分轉(zhuǎn)化到其邊界曲線L上去進(jìn)行，與區(qū)域內(nèi)部沒有關(guān)系。同時它也把二重積分降為定積分去計算，這就大大降低了計算的難度。

同理，對于高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域Ω是由光滑或分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數(shù)P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

這里Σ是Ω的整個邊界曲面的外側(cè)。它把空間區(qū)域Ω上的三重積分轉(zhuǎn)化到邊界曲面Σ上去進(jìn)行，與區(qū)域內(nèi)部無關(guān)，同時它也把三重積分降為二重積分去計算，這也降低了計算的難度和工作量。綜上所述，這三個定理本質(zhì)上是一樣的，都是把區(qū)域或區(qū)間上的定積分轉(zhuǎn)化為其邊界或端點去考慮。這樣一講，學(xué)生就能對格林公式和高斯公式加深了理解，掌握起來就相對容易多了。

接下來羅列出一些基本的典型例題,讓學(xué)生課下先討論解決,到上課的時間就讓學(xué)生自己講解自己做的題目和遇到的困難,在師生共同參與下完成對重積分的復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)。最后可以再列舉一些有梯度的題目,讓學(xué)生課后根據(jù)自己的情況認(rèn)真完成。這樣下來,學(xué)生普遍感覺有信心多了,對知識點的掌握也更牢固。并且這些視頻到最后復(fù)習(xí)考試的時間,也非常的有用。

3 復(fù)習(xí)指導(dǎo)

在總復(fù)習(xí)時，我們也會遇到很多的問題,但主要是時間少、內(nèi)容多。學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊，復(fù)習(xí)迎考的態(tài)度也是千差萬別。如何讓每位學(xué)生在復(fù)習(xí)階段都有所提升，都能考取自已理想的成績是我們每個老師都要面臨的問題。如何能在最短的時間使每個學(xué)生都能提高復(fù)習(xí)效率，我在上學(xué)期的期末復(fù)習(xí)時嘗試了翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的嘗試?！陡叩葦?shù)學(xué)》下冊期末考試知識點多，并且比較難，有不少學(xué)生在學(xué)習(xí)的時間就沒掌握太好，復(fù)習(xí)的時間又非常短。針對這種特點，我首先做了一個視頻，把這一學(xué)期的框架圖及主要知識點告訴學(xué)生，讓他們在復(fù)習(xí)的時間有的放矢，不至于沒有目標(biāo)。接下來針對每個知識點及考試的要求模擬幾套試卷，讓學(xué)生在課下單獨完成，自己發(fā)現(xiàn)問題。到上課的時間互評，自評相結(jié)合，找出自己的問題，解決問題，在老師和同學(xué)們的幫助下，每個同學(xué)都達(dá)到了自己的預(yù)期，效果很好。

以上是我在上學(xué)期測控151班級《高等數(shù)學(xué)》翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)探索中比較成功的案例，雖說達(dá)到了一定的效果，但也不是特別滿意，還有很大的進(jìn)步空間和要改善的地方。希望翻轉(zhuǎn)課堂能以信息技術(shù)作為外在條件，完善傳統(tǒng)教學(xué)的一些弊端，喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，讓學(xué)生真正愛上學(xué)習(xí)。

［1］夏大峰,等.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社,2013.

［2］胡鐵生.微課:區(qū)域教育信息資源發(fā)展的新趨勢[J].電化教育研究,2011.

［3］張金磊.翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式研究[J].遠(yuǎn)程教育雜志,2012.

［4］卜彩麗.翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在我國高等院校應(yīng)用的可行性分析[J].軟件導(dǎo)刊, 2013.

［責(zé)任編輯：朱麗娜］

江蘇省高等教育教改研究課題（批準(zhǔn)號：2015JSJG381）。