數(shù)學(xué)形式美的美學(xué)特征研究

宋述剛,鄒 健,李向軍

(長江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

數(shù)學(xué)形式美的美學(xué)特征研究

宋述剛,鄒 健,李向軍

(長江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

運(yùn)用哲學(xué)的觀點(diǎn)與美學(xué)原理，分析與闡述了數(shù)學(xué)的美學(xué)特征，包括數(shù)學(xué)的積累性，抽象性，工具性，藝術(shù)性等。數(shù)學(xué)美分為形式美與內(nèi)在美。本文對數(shù)學(xué)的形式美進(jìn)行了較為系統(tǒng)的論述。數(shù)學(xué)的形式美主要有符號美，對稱美，奇異美。符號美表現(xiàn)在簡明性，科學(xué)性，實(shí)用性；對稱美表現(xiàn)為幾何(圖形)的對稱，公式與定理的對稱，思想方法的對稱；奇異美包含數(shù)(式)的奇，形的奇與理論的奇。數(shù)學(xué)的形式美在自然科學(xué)、文學(xué)藝術(shù)、工藝建筑等領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)美;形式美;內(nèi)在美

美，是一個歷史的、哲學(xué)的、動態(tài)的概念，至今還沒有一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)的定義。這是因?yàn)椋旱谝唬赖氖挛锱c現(xiàn)象具有無限的多樣性與差異性，如引人入勝的自然景色，賞心悅目的藝術(shù)圖畫，美妙動聽的音樂樂章，寓意深刻的詩文小說等都是美的，但難以找出它們的共性；第二，人們對美的感受與評判具有很大的差異性、易變性、時效性、相對性，如不同的民族、不同的地域、不同的性別與年齡，不同的時間對同樣事物美的認(rèn)識，都可能具有很大的不同。這些現(xiàn)象容易掩蓋美的普遍性與客觀性。事實(shí)上，美既具有主觀性，又具有客觀性。在人類文明歷史發(fā)展過程中，形成了從物質(zhì)世界尋找美的唯物主義美學(xué)與從精神世界尋找美的唯心主義美學(xué)以及馬克思主義辯證唯物主義美學(xué)。

在中國，古人以羊大(肥)為美或羊人為美，反映了古人對美的基本要求，即為口腹的物質(zhì)之需與祭祀、慶典的精神之需的極大滿足。今天，在人們的一般觀念中，所謂美，即為符合自然法則與社會主流的事物屬性，包括秩序、色彩、平衡、結(jié)構(gòu)、觀念、流行等。能給人帶來物質(zhì)與精神的愉悅與享受。

按照辯證唯物主義的觀點(diǎn)，勞動創(chuàng)造了美。美是人的自由的表現(xiàn)，是人與自然、個體與社會相統(tǒng)一的表現(xiàn)。美是人在社會實(shí)踐中，通過克服各種困難與障礙，把握客觀世界的規(guī)律，并運(yùn)用于改造世界之中，實(shí)現(xiàn)從必然王國到自由王國的飛躍。其中的自由，不僅限于現(xiàn)實(shí)生活中個人選擇或決定的權(quán)利，而是人們對客觀必然性的認(rèn)識與支配，達(dá)到充分滿足人的物質(zhì)與精神的需求，獲得身心的愉悅與享受。

數(shù)學(xué)正是人類對客觀世界數(shù)與形的必然性的理性認(rèn)識，她能廣泛運(yùn)用于人類的社會生產(chǎn)實(shí)踐。作為科學(xué)的皇后，她對人類文明的發(fā)展與進(jìn)步，產(chǎn)生了久遠(yuǎn)而深刻的促進(jìn)與影響。其中無疑蘊(yùn)含了十分豐富的美學(xué)。關(guān)于數(shù)學(xué)美學(xué)，歷史上曾有許多哲學(xué)家與科學(xué)家作出過論述。例如，古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯(Proclus)曾斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！币獯罄乃噺?fù)興運(yùn)動的先驅(qū)開普勒認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是這個世界之美的原型?！爆F(xiàn)代英國著名哲學(xué)家羅素(B.Russell,1872-1970年)說：“數(shù)學(xué)不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美——一種冷峻嚴(yán)肅的美，即像是一尊雕塑……這種美沒有繪畫和音樂那樣華麗的裝飾，它可以純潔到崇高的程度，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的完美境界?！倍诋?dāng)代，國內(nèi)外已有許多學(xué)者作了相當(dāng)?shù)难芯颗c論述，但大都包含在有關(guān)數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)文化的著作之中。作者認(rèn)為，目前仍未形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)美學(xué)理論。

首先，數(shù)學(xué)為什么是美的呢？這是由于數(shù)學(xué)這門學(xué)科的特征所確定。首先，數(shù)學(xué)具有積累性。在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史上，每一個新理論都是在繼承和發(fā)展原有理論的基礎(chǔ)之上建立起來的。如數(shù)系的演進(jìn)，幾何學(xué)的發(fā)展等等。不像天文學(xué)中“日心說”是對“地心說”的否定，化學(xué)中燃燒現(xiàn)象的“氧化說”是對“燃素說”的否定。數(shù)學(xué)的積累性使得她已成長為一棵分支眾多理論豐富的壯麗、完美的參天大樹。其次，數(shù)學(xué)具有抽象性。數(shù)學(xué)把客觀世界中的數(shù)量及其關(guān)系抽象為數(shù)(系)，函數(shù)，算子等，將客觀世界的形抽象為點(diǎn)、線、面、體，數(shù)與形相聯(lián)系進(jìn)而演繹成各種模式、空間，產(chǎn)生眾多描述客觀世界規(guī)律的公式與定理。數(shù)學(xué)的抽象性還表現(xiàn)為借助特有的符號語言，使其理論呈現(xiàn)出簡明性、普遍性、深刻性、優(yōu)美性。第三，數(shù)學(xué)具有工具性。毫無疑問數(shù)學(xué)不僅僅是人們生活的工具，數(shù)學(xué)更是科學(xué)的鑰匙。當(dāng)今，運(yùn)用數(shù)學(xué)的程度已成為衡量一門學(xué)科是否成熟的標(biāo)志。按照美學(xué)原理，人類生活的世界是由欲望、工具、智慧所構(gòu)成的，而工具的優(yōu)劣與運(yùn)用，直接影響人類的生活品質(zhì)。將數(shù)學(xué)為我所用，滿足人們物質(zhì)與精神生活的需要，實(shí)現(xiàn)人的自由，就是美的享受。第四，數(shù)學(xué)具有藝術(shù)性。藝術(shù)是人們師法自然與社會，進(jìn)而描述、表現(xiàn)、升華自然與社會的一種創(chuàng)造性的活動。數(shù)學(xué)活動無疑具有這種特性。由數(shù)學(xué)所描述的一些美妙的比例，運(yùn)用于音樂，繪畫，甚至文學(xué)創(chuàng)作，給人產(chǎn)生美感。例如黃金分割比首先被意大利著名畫家、數(shù)學(xué)家達(dá)芬奇運(yùn)用于建筑與繪畫藝術(shù)，給我們留下了許多不朽的作品。而18、19世紀(jì)興起的畫法幾何與射影幾何，正是由于西洋繪畫的需要而建立起來的。反過來，她們又指導(dǎo)著現(xiàn)代的藝術(shù)實(shí)踐。此外，數(shù)學(xué)獨(dú)有的邏輯形式與結(jié)構(gòu)，也達(dá)到了一種完美的境界。

其次，數(shù)學(xué)美表現(xiàn)在哪些方面呢？大千世界中，美的事物呈現(xiàn)出豐富多彩的形式，可以按照不同的方式方法進(jìn)行分類。按照美學(xué)原理，美可以分為形式美(或稱外在美)與內(nèi)在美。本文瑾對數(shù)學(xué)的形式美作一些初步的探討。

一、數(shù)學(xué)的形式美

所謂形式美，是可以從事物的外在屬性例如聲音、顏色、尺度等表現(xiàn)出來的美。這種美往往可以通過人的一般感知即可認(rèn)識與把握。數(shù)學(xué)的形式美主要包括符號美、對稱美、奇異美。

1.符號美

所謂符號，是人們表達(dá)事物與記錄傳遞信息的工具與手段。不同于自然語言，數(shù)學(xué)語言主要是符號語言，她經(jīng)歷了漫長的發(fā)展歷程。以數(shù)為例，在人類社會的早期，人們通過原始繪畫、結(jié)繩、刻痕等方式表達(dá)數(shù)量，之后產(chǎn)生了數(shù)的文字。早期的象形文字就有了數(shù)字符號，例如古埃及的象形數(shù)字，巴比倫的楔形數(shù)字，中國的甲骨文與金文數(shù)字等。中世紀(jì)印度人發(fā)明了現(xiàn)稱阿拉伯?dāng)?shù)字的符號。到了近代出現(xiàn)了字母表示數(shù)以及系列表示數(shù)學(xué)系統(tǒng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)關(guān)系的符號?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)還在不斷發(fā)展完善之中。那么，數(shù)學(xué)符號美在哪里呢？

數(shù)學(xué)中的公式與定理是對客觀規(guī)律的定量描述，它們一般能用簡明的數(shù)學(xué)符號表達(dá)出來。例如，被認(rèn)為最美的數(shù)學(xué)等式

em+1=0

將數(shù)學(xué)中的幾個重要常數(shù)0,1,π,i,e有機(jī)地聯(lián)系在一起了。這些常數(shù)在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中，都曾經(jīng)起過十分重要的作用。

此外，物理學(xué)、化學(xué)等自然科學(xué)與工程技術(shù)中的大量重要公式、定理、規(guī)律都是通過簡明的數(shù)學(xué)符號表達(dá)出來的。這方面的例子不勝枚舉。

其次，數(shù)學(xué)符號具有合理性。一般的，一些重要數(shù)學(xué)符號首先由數(shù)學(xué)大師所使用，之后沿襲并流行開來。這些符號的確都有一定的淵源，往往與其概念的拉丁文、希臘文、英文等有關(guān)。例如，積分號∫由德國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茲首先使用，它是由求和的拉丁文sum的第一個字母S變形而來的，這是因?yàn)榉e分的本意就是求和(一種連續(xù)求和)。而求和號(離散和)∑ 、函數(shù)符號f(x)等由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉所確定，這是因?yàn)楹瘮?shù)的英文function的第一個字母是f的緣故。幾個初等函數(shù)的符號也是這樣。此外，幾何方面常常使用一些象形數(shù)學(xué)符號?？傊瑪?shù)學(xué)符號雖是人工符號，但她不是隨意而為，而是具有來源，合乎情理。

第三，數(shù)學(xué)符號具有實(shí)用性,是實(shí)現(xiàn)高效率的工具與手段。正是由于上述的簡明性與合理性，數(shù)學(xué)符號具有廣泛的實(shí)用性。中國古代哲學(xué)家莊子說“天下之難作于易，天下之大作于細(xì)?！睌?shù)學(xué)就是一門以簡馭繁的科學(xué)。由于使用了笛卡爾的坐標(biāo)，大量復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為了較為簡明的代數(shù)問題迎刃而解；由于皮納爾發(fā)明了對數(shù)，簡化了大量天文數(shù)據(jù)的計算。法國著名科學(xué)家拉普拉斯曾說“對數(shù)可以宿短計算時間，在時效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍。”

當(dāng)今，數(shù)學(xué)語言已成為科學(xué)的語言。在自然科學(xué)、工程技術(shù)、管理科學(xué)、金融理論等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)符號起著關(guān)鍵的作用。特別是伴隨著電子計算機(jī)的不斷發(fā)展與廣泛應(yīng)用，編程與運(yùn)算都離不開簡明、有效的數(shù)學(xué)符號。在當(dāng)今的科學(xué)技術(shù)中，數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)符號正顯示著強(qiáng)大的生命力。

2.對稱美

對稱是客觀世界普遍存在的現(xiàn)象。例如，我們?nèi)梭w基本上就是關(guān)于從上到下的一條中心線(或一個面)左右對稱的。生物界許多動物、植物也具有相應(yīng)的對稱性，在宇宙世界中，小到基本粒子的運(yùn)動，大到星體的運(yùn)行，其形體與運(yùn)動軌道都具有某種對稱性。在生物的繁衍與社會的演化中，也存在某些對稱性。這應(yīng)該是大自然的鬼斧神工按照美的原則逐步進(jìn)化而來的。

對稱也是常用的藝術(shù)表現(xiàn)方法與手段。在繪畫、書法、音樂等純粹藝術(shù)與建筑、裝潢設(shè)計、剪紙等實(shí)用藝術(shù)領(lǐng)域，大量運(yùn)用對稱的形式或圖式。這種自然的與人工的對稱物給我們帶來賞心悅目的美感。

數(shù)學(xué)研究客觀世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系，研究現(xiàn)實(shí)中的各種模式。必然要描述大量的對稱性，當(dāng)然存在豐富的對稱美。那么，數(shù)學(xué)的對稱美包含哪幾個方面呢？

首先，數(shù)學(xué)中有形的對稱。包括關(guān)于點(diǎn)的對稱，線(或稱軸)的對稱和面的對稱。例如，矩形，等邊三角形，橢圓等關(guān)于中心點(diǎn)對稱；正弦曲線，拋物線，雙曲線，矩形等關(guān)于軸線對稱；長方體，橢球體等關(guān)于面對稱。有些幾何體同時具有上述對稱性。這些具有對稱性的幾何形體顯得勻稱、平衡、和諧，給人美感。圖1給出了兩個例子， 四葉玫瑰線關(guān)于極點(diǎn)對稱，單頁雙曲面關(guān)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對稱。

圖1 (1)四葉玫瑰線

圖1 (2)單頁雙曲面

其次，數(shù)學(xué)中有數(shù)或式的對稱。例如，一些神奇的數(shù)字寶塔就具有很好的對稱性，如圖所示

又如描述二項(xiàng)式定理系數(shù)變化規(guī)律的楊輝三角，西方稱為帕斯卡三角，其數(shù)字圖如下

其優(yōu)美性與規(guī)律性有機(jī)結(jié)合起來了。此外數(shù)學(xué)中的一些概念，表達(dá)式也具有一定的對稱性。例如對稱多項(xiàng)式，對稱函數(shù)，對稱群，拉普拉斯算子等，它們刻畫了現(xiàn)實(shí)世界中一類特殊的具有對稱美的數(shù)量關(guān)系或數(shù)學(xué)系統(tǒng)。

最后，數(shù)學(xué)中還有思想方法的對稱。例如在二次函數(shù)y=ax2+bx+c及其圖像的討論中，a>0的情形與a<0的情形是對稱的，因此，當(dāng)我們掌握了前者之后，后者便一目了然了。又如在射影幾何中，點(diǎn)與線經(jīng)常處于對稱的地位，一個關(guān)于“點(diǎn)”、“直線”的定理，作一定交換之后，可以得到一個關(guān)于“直線”、“點(diǎn)”的對偶定理。例如因?yàn)橛邪退箍ǘɡ恚簷E圓的任意內(nèi)接六邊形，其三組對邊的交線共線。所以對稱的有布良雄定理：橢圓的任意外切六邊形，其三組對頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。這一思想方法在射影幾何中稱為“對偶原理”。數(shù)學(xué)思想方法的某些對稱性，可以簡化我們的學(xué)習(xí)研究，帶給我們輕松愉悅之美。

3.奇異美

所謂奇異美，是指奇怪、異常、突發(fā)，出乎意料之外的事物，給人帶來驚訝、興奮、激動的感覺，令人身心愉悅，產(chǎn)生美感。大自然進(jìn)化的鬼斧神工，人類社會發(fā)展的奇象異態(tài)，演繹多少具有美感的奇異事物，構(gòu)成了富含奇異之美的大千世界。哲學(xué)家培根指出：“沒有一樣極美的東西不是在調(diào)和中存在著某種奇異?！睂τ谖粗澜绲暮闷嫘拇偈谷祟悓κ挛锲娈惷赖目释c追求。

數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實(shí)世界的精確描寫，必然包含豐富的奇異之美。正如數(shù)學(xué)的對稱美一樣，數(shù)學(xué)的奇異美也可分為數(shù)(式)與形及思想方法這幾個方面。

關(guān)于形的奇，幾何中許多圖形都有很多奇妙的性質(zhì)。例如二次曲線中的圓被古希臘人認(rèn)為是最美的平面曲線。而一般的橢圓則更為神奇。早在17世紀(jì)上半葉，德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒就公布了行星運(yùn)動三大定律，第一條即為：行星運(yùn)動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點(diǎn)上。現(xiàn)代物理學(xué)研究表明，在原子中，電子圍繞質(zhì)子運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道也是(近似)橢圓。在幾何學(xué)中，橢圓有著豐富有趣的性質(zhì)定量。如射影幾何中相互對偶的巴斯卡定理與布良雄定理。又如現(xiàn)代分形幾何、混沌理論中的一些奇特曲線、曲面，無不使人覺得匪夷所思，奇妙無比。

數(shù)學(xué)的奇異美是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要動力之一。例如，在數(shù)系的發(fā)展過程中，人們剛開始僅認(rèn)識離散的有理數(shù)，然而幾何量則是連續(xù)的，古希臘畢達(dá)哥拉斯成員發(fā)現(xiàn)：單位正方形對角線與邊長不可通約，即對角線不是有理量。無理數(shù)或不可通約幾何量的發(fā)現(xiàn)嚴(yán)重觸犯了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，沖擊了當(dāng)時希臘人的普遍見解，這種奇異性的結(jié)果導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。隨著數(shù)系的擴(kuò)張，危機(jī)消除了，數(shù)學(xué)得到了新的發(fā)展。

二、結(jié)語

數(shù)學(xué)的形式美在自然科學(xué)與工程技術(shù)、文學(xué)藝術(shù)、建筑、工藝等方面有著廣泛的應(yīng)用。

首先，數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)語言現(xiàn)已成為科學(xué)的語言。憑借數(shù)學(xué)的符號美，自然科學(xué)與工程技術(shù)才可以簡明地表達(dá)普遍的、深刻的原理、法則、規(guī)律。這種數(shù)學(xué)表達(dá)，不僅成就科學(xué)之美，而且還可促進(jìn)科學(xué)的發(fā)展。例如，麥克斯韋方程組，分為積分形式：

與微分形式：

這組公式完美的統(tǒng)一了電磁場理論，它融合了電與磁的麥克斯韋定理、法拉第定律及安培定理，成為近現(xiàn)代電磁學(xué)理論的基礎(chǔ)。同時，麥克斯韋正是由這組公式預(yù)言了電磁波的存在，對近現(xiàn)代物理學(xué)及相關(guān)工程技術(shù)影響巨大。

又如簡明的薛定諤方程：

卻描述了微觀世界基本粒子的變化規(guī)律，它是物理學(xué)、化學(xué)中應(yīng)用最廣泛的公式。

其次， 數(shù)學(xué)的對稱美、奇異美在自然科學(xué)，特別是建筑、工藝美術(shù)中的應(yīng)用廣泛，更是不勝枚舉。

數(shù)學(xué)還有著更為深刻的內(nèi)在美，我們將另文討論。數(shù)學(xué)的形式美與內(nèi)在美相互表現(xiàn)、相互促進(jìn)與融合，呈現(xiàn)出絢麗的科學(xué)之美。

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2095-4654(2016)12-0003-05

2016-10-25 基金項(xiàng)目:長江大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(JY2014007)

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