基于外加電流源研究梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻

胡菊菊， 柯 強， 嵇英華

(江西師范大學(xué) 物理通信電子學(xué)院， 江西 南昌 330022)

基于外加電流源研究梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻

胡菊菊， 柯 強， 嵇英華

(江西師范大學(xué) 物理通信電子學(xué)院， 江西 南昌 330022)

本文將線性空間的不動點理論與施加雙外加電流注源法相結(jié)合，在探索研究網(wǎng)孔電流的遞歸表達式的基礎(chǔ)上，給出了一種求Z×N級梯形電阻網(wǎng)絡(luò)輸入端任意兩節(jié)點間等效電阻的簡捷計算方法。該計算方法對計算平面電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻不僅有通用性，而且更加方便靈活。

階梯形網(wǎng)絡(luò)；差分矩陣；等效電阻

0 引言

梯形電阻網(wǎng)絡(luò)在工程實踐中有不少的應(yīng)用，是一種重要的物理研究模型。文獻[1]根據(jù)基爾霍夫電路定理，應(yīng)用支路電流法與矩陣變換，求解了2×N階梯形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。由于文中選擇了支路電流作為參變量，導(dǎo)致推導(dǎo)過程有些繁瑣。文獻[2] 通過考慮電橋平衡，給出了2×N階梯形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，方法比較簡便，但解法的通用性受到一些限制。

眾所周知，對于平面電路，將網(wǎng)孔電流作為參變量，可以減少方程的數(shù)量，從而大大地簡化運算。本文基于不動點理論，應(yīng)用雙外加電流源法，給出了求解2×N梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻一種新的通用且簡便的方法。

1 模型與網(wǎng)孔方程

研究圖1所示的2×N階的梯形電阻網(wǎng)絡(luò)，圖中電阻r、r0與r1均為N個。

圖1 2×N階梯形電阻網(wǎng)絡(luò)

采用網(wǎng)孔電流法可以很方便地求解每一支路的電流與電壓。此外，根據(jù)電路理論，計算端口的等效電阻可以采用外加電流源法。

在圖2中，我們將電路網(wǎng)絡(luò)拓展為2×(N+1)階，最左側(cè)網(wǎng)孔的電流即為外加電流源，外加電流源電流記為Is1與Is2。為計算方便，圖2中假設(shè)位于上面一層的網(wǎng)孔電流為I↑mk；位于下面一層的網(wǎng)孔電流為I↓mk(k=1,2,…,N+1 )；每一個網(wǎng)孔電流的繞行方向均取為順時針方向。

圖2 外加雙電流源求解2×N階梯形電阻網(wǎng)絡(luò)

針對虛線框中第k列的上、下二個網(wǎng)孔，列出網(wǎng)孔電流方程為

(2r0+r+r1)I↑mk-r0(I↑mk+1+I↑mk-1)-rI↓mk=0

(1)

(2r0+r+r1)I↓mk-r0(I↓mk+1+I↓mk-1)-rI↑mk=0

(2)

對上面兩個方程進行和與差的重新組合，得到：

(3)

式中

方程式(3)為一個差分矩陣方程。根據(jù)不動點理論，該差分矩陣方程對應(yīng)的特征方程為

x2-ax+1=0

(4)

y2-by+1=0

(5)

兩組特征根(x1,x2)、(y1,y2)分別為

(6)

(7)

2 電流的通項公式

由方程式(3)-式(7)，容易得到第k列上下二層網(wǎng)孔電流和與差的通項公式

(8)

(9)

式中

(10)

利用廣義的基爾霍夫節(jié)點電流定理

(11)

(12)

容易得到如下關(guān)系式：

(13)

(14)

(15)

(16)

聯(lián)立求解方程式(13)-式(16)，得

(17)

(18)

容易得到在外加電流源作用下，通過圖1第一列上下支路電流為

(19)

(20)

3 梯形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻

由式(17)-式(18)，應(yīng)用外加電流源法，可以非常容易得到任意端口上的等效電阻

(1)對端口a-b，令I(lǐng)s2=0，有

(21)

(2)對端口b-c，令I(lǐng)s1=0，有

(22)

這正是文獻[1]給出的結(jié)果，也包含了文獻[2]給出的電橋平衡下的結(jié)果。通過選擇網(wǎng)孔電流為參變量，施加雙外加電流源，使得解法更具有通用性，處理問題更加方便靈活。顯然，如果要計算圖1右側(cè)相應(yīng)點的等效電阻，根據(jù)對稱性，應(yīng)有Ra′b′=Rab，Rb′c′=Rbc。如果要計算上(下)邊相應(yīng)兩點間的等效電阻，也可采用類似的外加電流源法進行推導(dǎo)。

4 結(jié)語

本文應(yīng)用不動點理論，給出了2×N階梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的一般分析方法。從前面的分析計算過程可以看到：選擇網(wǎng)孔電流為參變量，在待求端口施加外加電流源，可以方便地給出端口處的等效電阻。整個求解過程思路簡捷清晰，對同類型的平面電路具有通用性，且能夠推廣應(yīng)用于平面的正弦穩(wěn)態(tài)電路。

[1] 譚志中, 羅禮進. 2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的再研究[J]. 南通: 南通大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010，9(1):86-89

[2] 劉松山. 基于對稱性研究2×n階梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻[J]. 北京: 大學(xué)物理， 2015, 34(1):26-29

Equivalent Resistance of Ladder Resistance Network Based on External Current Source

HU Ju-ju， KE Qiang， JI Ying-hua

(CollegeofPhysicsandCommunicationElectronics,JiangxiNormalUniversity,Nanchang330022,China)

This paper investigates the recursive expressions of mesh current based on fixed point theory of linear space under double external current source, and proposes a simple method to solve the equivalent resistance between arbitrary two input nodes of a Z×N ladder resistance network. The calculation method is general and simple.

ladder network; difference matrix; equivalent resistanc

2015-11-05;

2016-04-06 基金項目：江西省高等學(xué)校教學(xué)改革研究課題(JXJG-14-2-30)

胡菊菊(1979-)，女，博士，副教授，主要從事通信工程專業(yè)課程教學(xué)與激光混沌的研究工作,E-mail:jxnuhjj@126.com

O441

A

1008-0686(2016)05-0050-03