淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

鄒映濤

（四川省犍為縣羅城中學(xué) 四川樂(lè)山 614400）

淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

鄒映濤

（四川省犍為縣羅城中學(xué) 四川樂(lè)山 614400）

二次函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，深入掌握其基本概念和性質(zhì)，才能在數(shù)學(xué)解題中加以靈活應(yīng)用。通過(guò)二次函數(shù)的解題練習(xí)能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

二次函數(shù) 解題應(yīng)用 高中數(shù)學(xué)

二次函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，只有在深入掌握其基本概念和它的基本性質(zhì)后，才能在數(shù)學(xué)解題中加以靈活應(yīng)用。［1］

一、真正理解函數(shù)實(shí)質(zhì)，打牢函數(shù)解題基礎(chǔ)

二次函數(shù)的知識(shí)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，學(xué)好它對(duì)解答函數(shù)習(xí)題非常重要。要掌握二次函數(shù)的解題方法和運(yùn)用技巧，就要真正理解函數(shù)的本質(zhì)。特別是要掌握函數(shù)的定義域和值域這兩個(gè)非常重要的概念及其內(nèi)涵。只有在理解了定義域和值域概念的基礎(chǔ)上，才能更好地運(yùn)用好二次函數(shù)解答有關(guān)習(xí)題。二次函數(shù)其實(shí)質(zhì)可以說(shuō)是集合B中的元素y與集合A的元素x按照ax2+bx+c法則進(jìn)行對(duì)應(yīng)，又可理解為：定義域中的元素x在值域y中的象。只有對(duì)二次函數(shù)的概念的實(shí)質(zhì)有了深入理解掌握后，才可以進(jìn)行求解函數(shù)習(xí)題。

例一：已知 ?（x）= 9x2+3x+4，求函數(shù)?（x+1）的表達(dá)式。在進(jìn)行該題目解答的時(shí)候，許多學(xué)生沒(méi)有真正理解函數(shù)的實(shí)質(zhì)，只是簡(jiǎn)單地把函數(shù)?（x+1）中的x用x+1來(lái)代替求函數(shù)表達(dá)式，這種解法不正確。正確思路方法應(yīng)是把x+1整體看成是函數(shù)的自變量，以此來(lái)求函數(shù)表達(dá)式。 解題過(guò)程如下：?（x）= 9x2+3x+4= ［3（x+1）］2-15（x+1）+10=9x2-15x+10。［2］

例二：設(shè)?（x+1）=4x2－8x+3，求?（x）的函數(shù)表達(dá)式。進(jìn)行求解該類型習(xí)題時(shí)，要根據(jù)函數(shù)定義，把4x2－8x+3看成是定義域中的元素x+1的象，從而再進(jìn)一步求出元素x的象，此題的根本和關(guān)鍵是求函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系?？梢杂脙煞N方法來(lái)解答此類型習(xí)題：

（1）把?（x+1）=4x2－8x+3表達(dá)式換成x+1的表達(dá)式。解題過(guò)程如下：?（x+1） = 4x2－8x+3=4（x+1）2－16（x+1）+15，然后再用x來(lái)代換多項(xiàng)式中x+1后得到 ?（x）=4x2－16x+15。

（2）進(jìn)行變量代換。此法應(yīng)用范圍廣，對(duì)解答一般函數(shù)問(wèn)題都可采用。解題過(guò)程如下：令t=x+1，可求出x=t-1，則?（t）=4（t-1）2－8（t-1）+3=4t2－16t+15，再把t換成x，求解出 函數(shù)表達(dá)式為：?（x）= 4x2－16x+15。

二、靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，掌握函數(shù)解題方法

在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，其單調(diào)性、圖像、最值是二次函數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，在高中階段學(xué)習(xí)二次函數(shù)，就要對(duì)其函數(shù)性質(zhì)能夠進(jìn)行靈活運(yùn)用，才能掌握解題的方法。如，要判斷函數(shù)單調(diào)性，就要掌握二次函數(shù)在不同區(qū)間（－∞，－b/2a］及［－b/2a，+∞）上的性質(zhì)。此外還要掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，學(xué)生在全面掌握二次函數(shù)的性質(zhì)后，才能對(duì)二次函數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行靈活地應(yīng)用，從而全面掌握二次函數(shù)的知識(shí)。

例三：通過(guò)畫函數(shù)圖象來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性

（1）y=|2x2－3|，（2）y=4x2+6|x|－8，對(duì)于此種類型的習(xí)題，要讓學(xué)生必須知道這些分段函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)二次函數(shù)的差異性和相互聯(lián)系。要能把含有絕對(duì)值函數(shù)會(huì)用分段函數(shù)來(lái)表示，正確列出表達(dá)式后，就容易畫出函數(shù)圖象，從而能夠判斷函數(shù)單調(diào)性。

例四：設(shè)函數(shù)?（x）=2x2－4x－3在 ［t，t+1］ 區(qū)間上有最小值g（t）。求：g（t）函數(shù)表達(dá)式。解答此題方法如下：?（x）=2x2－4x－3=2（x－1）2－5，從函數(shù)表達(dá)式看出，在x=1時(shí)函數(shù)取最小值－5。由此可求出g（t）函數(shù)，它是一個(gè)分段函數(shù)，表達(dá)式如下：

當(dāng)1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=－5；

當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=?（t）=2t2－4t－3；

當(dāng)t＜0時(shí)，g（t）=?（t+1）=2t2－8t+3

從此題解答中看出，在一般情況下，二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合上，要么只有最小值，要么只有最大值，二者只能有一個(gè)。但當(dāng)函數(shù)定義域發(fā)生變化時(shí)，函數(shù)取得最小值或最大的情況也就會(huì)隨之變化。

三、學(xué)好二次函數(shù)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)

由于二次函數(shù)是普通高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，它也是高中數(shù)學(xué)中最常用、最基本的冪函數(shù)。二次函數(shù)的知識(shí)中包含著豐富的內(nèi)涵和外延，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過(guò)程中，要經(jīng)?？偨Y(jié)解題過(guò)程中，它所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維。要全面靈活掌握二次函數(shù)的所有知識(shí)，并以二次函數(shù)的學(xué)習(xí)方法為基礎(chǔ)，來(lái)學(xué)習(xí)其它函數(shù)的知識(shí)，會(huì)取得事半功倍的效果。另外，還可以把函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行綜合運(yùn)用，以此來(lái)進(jìn)行解答靈活多變的二次函數(shù)的綜合數(shù)學(xué)題目，從解題的過(guò)程中可以來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，尤其是從解答綜合性的函數(shù)習(xí)題中能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

例五：假設(shè)二次函數(shù)?（x）=ax2+bx+c（a≠0），在二次函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)a、b、c符合下列條件a+b+c=0及9a-3b+c=0。求證：該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是一條直線。解題過(guò)程分析如下：這個(gè)類型的習(xí)題是二次函數(shù)習(xí)題中典型的求證類的題目，在解答或求證該類型題目時(shí)，需要綜合應(yīng)用二次函數(shù)的基本知識(shí)，而且還要應(yīng)用其它知識(shí)來(lái)解答此類題目，在解題的過(guò)程 中要用到一些數(shù)學(xué)思維和方法，才能來(lái)解答此題?？梢园岩阎獥l件a+b+c=0及9a-3b+c=0再代入到函數(shù)中，能夠求出a=-1/3，b=-2/3，將這兩個(gè)值代入到二次函數(shù)的對(duì)稱軸的表達(dá)式x=-b/2a可求出x=-1，即由此得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸是一條x=-1的直線，此題得到證明。

總之，二次函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，它的圖象和表達(dá)式、性質(zhì)等體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)好它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力非常重要。

［1］劉蒙.淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用［J］.中國(guó)校外教育.2011（13）

［2］唐蜜.淺談 二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用［J］.科學(xué)咨詢（教育科研）.2010（02）