講題的探索

福建省建陽(yáng)二中 黃培憲

講題的探索

福建省建陽(yáng)二中 黃培憲

教師的講題，要引導(dǎo)學(xué)生用科學(xué)的思維方式，數(shù)學(xué)的思想方法，在學(xué)生真正掌握所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的前提下，從問(wèn)題的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)上分析問(wèn)題，講題要有歸納，有小結(jié)，要讓學(xué)生走進(jìn)課堂與走出課堂不一樣，知識(shí)、技能、方法、習(xí)慣、興趣和需要（喚醒或激發(fā)）其中的幾項(xiàng)或全部有新的收獲。講題的過(guò)程不是講，而是導(dǎo)。講題的目的不是解答一題，而是讓學(xué)生通過(guò)參與該題的分析思考得到一次經(jīng)驗(yàn)，有所啟發(fā)，使視野得到擴(kuò)展，并在師生互動(dòng)的過(guò)程中理解多樣的思維方式，借授人以魚達(dá)到授人以漁的目的。

講題 本質(zhì) 結(jié)構(gòu) 分析歸納

無(wú)論什么級(jí)別的考試，都是通過(guò)解題來(lái)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和水平。著名美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞說(shuō)過(guò)：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練。掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題。 南京師范大學(xué)教授單墫認(rèn)為，解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)會(huì)解題。那么怎樣才能培養(yǎng)學(xué)生的解題能力呢？這很大程度上取決于教師在平時(shí)的教學(xué)中如何講題。說(shuō)到講題，有哪位老師不會(huì)講？大家都“會(huì)”，可是收效卻大有區(qū)別。這個(gè)問(wèn)題我們很多教師還沒(méi)有認(rèn)真研究，甚至講題還只停留在解題的框架內(nèi)。那么在課堂上怎樣講題才能收到比較理想的效果呢？下面我來(lái)說(shuō)說(shuō)我的觀點(diǎn)。

數(shù)學(xué)課離不開講題，講例題、講習(xí)題，評(píng)講考題。考試以后我常聽到老師們說(shuō)，這道考題的類似題我們考前都講過(guò)，而且講得很清楚，本以為他們完成得不錯(cuò)，沒(méi)想到還是那么多人不會(huì)?？墒抢蠋焸冇袥](méi)想過(guò)：為什么會(huì)這樣？你是怎么講的？你講的時(shí)候?qū)W生在做什么？你真的講清楚了嗎？

首先我們先弄清楚什么是“講題”，目前很多學(xué)校都開展了教師的說(shuō)題活動(dòng)，這能有效提高教師講題的水平，但說(shuō)題不等同于講題，說(shuō)題是面向教師的，說(shuō)題的內(nèi)容是：1.說(shuō)題目2.說(shuō)學(xué)法3.說(shuō)教法。講題是面對(duì)學(xué)生的，以下是關(guān)于講題的三個(gè)環(huán)節(jié)：1.審題分析：①題目背景：題目的出處、涉及的知識(shí)點(diǎn)。②分析題目的條件、題目的大致意思，特別要注意挖掘題目中的隱含條件。③題目的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)。④學(xué)生學(xué)情分析(學(xué)情分析要客觀，應(yīng)根據(jù)講題所要解決的題目的難點(diǎn)、重點(diǎn)，具體分析學(xué)生已有知識(shí)水平與能力，不要籠統(tǒng)地以“基礎(chǔ)差”、“能力差”來(lái)敷衍)。2.解題的過(guò)程、方法、步驟、解答的格式和表述(方法要符合學(xué)生實(shí)際，不能將后面的知識(shí)往前移)。3.總結(jié)提升：①揭示解題規(guī)律。②題目涉及的數(shù)學(xué)思想方法。③題目變式、引申(視情況而定)。④反思思維過(guò)程、反思解題過(guò)程，指出易錯(cuò)點(diǎn)。

以上三個(gè)環(huán)節(jié)，是對(duì)講題的一種規(guī)范要求，應(yīng)該是比較全面的，但老師在講題時(shí)不一定面面俱到，不同的題目，不同的年段，不同的班級(jí)，面對(duì)不同的學(xué)生學(xué)情，講的內(nèi)容、方式都有差別，但可以先參考以上環(huán)節(jié)再進(jìn)行取舍，即便是老師自己從備課寫教案到上課之間都有距離，備課的內(nèi)容和實(shí)施的未必一致，何況既定的環(huán)節(jié)？所以要做好學(xué)情分析。講題的目的是讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，而不是停留在老師很賣力地講。我認(rèn)為講題應(yīng)該講本質(zhì)，講結(jié)構(gòu)，注重過(guò)程、分析與歸納。我們有的老師上課心里揣著進(jìn)度，只想這節(jié)課要完成多少題的評(píng)講，走進(jìn)教室開始就一路狂奔，一題接著一題，講題過(guò)程也只是告訴學(xué)生該題怎么解，正確解法是什么，答案是什么，完了接著下一題，下課后再拖幾分鐘，完成進(jìn)度后走出教室，長(zhǎng)舒一口氣，總算講完了。這樣學(xué)生只能通過(guò)大量解題才能憑記憶效仿來(lái)解決類似的問(wèn)題，需要題海戰(zhàn)術(shù)，事倍而功半，一旦遇到題目新穎、不曾相識(shí)的就無(wú)從下手，亂了陣腳，實(shí)在是不可取。都說(shuō)教是為了不教，講當(dāng)然是為了不講，我們講題應(yīng)該把題目作為一個(gè)平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式，數(shù)學(xué)的思想方法，在真正掌握所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的前提下，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，分析問(wèn)題要居高臨下，全面客觀，這樣才能找到破題的鑰匙，為今后的解題提供一個(gè)范例，起到舉一反三的作用。今后學(xué)生看到一個(gè)新的題目不會(huì)茫然而不知所措，而是能夠居高臨下，有條不紊地審題分析，從而解決問(wèn)題。下面舉兩個(gè)例子具體闡述。

例題一：定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足xf'（x）-f（x）=x，且f（1）=1。現(xiàn)給出關(guān)于函數(shù)f（x）的下列結(jié)論：

（3）函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（4）對(duì)于任意x>0，都有f（x）≤x2。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

A.1 B.2 C.3 D.4

本題是2015年福建省高三質(zhì)檢卷第10題，是選擇題中的最后一題，具有一定的難度，學(xué)生能在考場(chǎng)中做對(duì)的很少。本題考查的知識(shí)有對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)公式?？疾閷W(xué)生讀題，提取有效信息，分析提高整合的能力。我在評(píng)講該題時(shí)的做法是：引導(dǎo)學(xué)生，從題目中尋找有效信息確定破題入口：

（1）根據(jù)分析法，引導(dǎo)學(xué)生思考，先從題目的要求看，本題考查的是函數(shù)f（x）的圖像性質(zhì)，所以必須先求函數(shù)f（x）的表達(dá)式。從選項(xiàng)看，該函數(shù)的值含有e，這里提示怎樣的信息？函數(shù)表達(dá)式有自然對(duì)數(shù)?。◤膯?wèn)題的提出，到結(jié)論的給出要給學(xué)生相應(yīng)的時(shí)間，由學(xué)生思考回答，大多問(wèn)題學(xué)生都能得到正確結(jié)論，如有困難，教師再做進(jìn)一步引導(dǎo)，切不可包辦代替，急于給出結(jié)論。下同。）這里老師要說(shuō)的是，選擇題的選項(xiàng)中同樣含有重要信息，不可忽視。

（2）根據(jù)綜合法，由f（x）滿足xf'（x）-f（x）=x，這個(gè)條件所提供的信息是什么？如果從它的本質(zhì)屬性和結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析有什么結(jié)論？根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平不難得到：等式左邊像商的導(dǎo)數(shù)公式，但沒(méi)有分母x2，所以就此路不通，不會(huì)了，很多學(xué)生就放棄了。很遺憾！我對(duì)學(xué)生說(shuō)：其實(shí)有很多似是而非，似非而是的題，只要你看準(zhǔn)了，如果條件不夠或者多余、變形等等，可以自己創(chuàng)造條件以達(dá)到想要的目標(biāo)，當(dāng)然你的創(chuàng)造必須合理，一旦達(dá)成，就是一片新天地！（這才是教師所要教給學(xué)生的，對(duì)今后的解題具有指導(dǎo)意義?。┍绢}從本質(zhì)，從結(jié)構(gòu)看，函數(shù)導(dǎo)數(shù)就是考查要點(diǎn)，如果題中給出分母x2，那就少了一項(xiàng)重要的考查內(nèi)容，難度就降低了，現(xiàn)在知道要怎么做了嗎？學(xué)生很快就知道等式兩邊同除以x2，結(jié)果是多完美的結(jié)論??！那么什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于呢？自然對(duì)數(shù)！這個(gè)結(jié)論從選項(xiàng)中含有e得到佐證，選項(xiàng)也是信息源，選項(xiàng)提供的信息同樣很重要，顯然是c(這里有一部分學(xué)生不知道+c，這是對(duì)導(dǎo)數(shù)的公式的本質(zhì)理解不清晰，沒(méi)有考慮常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零，暴露學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠好，在這里特別強(qiáng)調(diào)類似的問(wèn)題，今后要特別注意)。 所以 f(x)=x(ln x+c)，本題解到這里，前提是大家對(duì)導(dǎo)數(shù)公式及其結(jié)構(gòu)特征很熟悉，并學(xué)會(huì)從條件的本質(zhì)結(jié)構(gòu)中分析問(wèn)題，目標(biāo)一旦確立，沒(méi)有條件創(chuàng)造條件也要上！這就是我選例題的意義所在。由條件f(1)=1，易得到C=1；所以f(x) =x(ln x+1)；接下來(lái)就是對(duì)函數(shù)f(x)的圖像性質(zhì)的考查。

下面，我從老師們?cè)诮虒W(xué)中的一個(gè)困惑，繼續(xù)闡述怎樣從本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、注重過(guò)程、分析與歸納來(lái)講題。問(wèn)題是“初中數(shù)學(xué)完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2看似很簡(jiǎn)單，上課也沒(méi)發(fā)現(xiàn)什么特別的障礙，可學(xué)生運(yùn)用起來(lái)卻錯(cuò)誤很多。老師是怎么講這個(gè)公式的，具體都什么樣的題出錯(cuò)無(wú)需列舉。我想，要從公式的源頭上解決問(wèn)題，首先，應(yīng)該從平方運(yùn)算的本質(zhì)是兩個(gè)相同因式的積入手，讓學(xué)生計(jì)算：（1）（a+b）2=（a+b）（a +b）=a2+2ab+b2；（2）（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）=（a2+2ab+b2）（a+b）=……=a3+3a2b +3ab2+b3；（3）（a+b+c）2=（a+b+c）（a+b+c）=……=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac。學(xué)生通過(guò)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的過(guò)程，加深了對(duì)公式的本質(zhì)理解，還鍛煉了學(xué)生的運(yùn)算能力。引導(dǎo)學(xué)生觀察（1）、（3）式的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，探究結(jié)構(gòu)特征：①展開后分別是四項(xiàng)和九項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后結(jié)果是三項(xiàng)和六項(xiàng)；②每項(xiàng)都是二次，都含有展開前括弧內(nèi)任兩項(xiàng)的乘積的2倍項(xiàng)，對(duì)稱美觀。比較（1）式和（2）式，其結(jié)構(gòu)特征是：①展開式分別為三項(xiàng)和四項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)比次數(shù)多一；②各項(xiàng)是由二項(xiàng)式中的前項(xiàng)按降冪排列，后項(xiàng)按升冪排列的積，各項(xiàng)系數(shù)分別是1，2，1和1，3，3，1。教師還可以介紹4，5次方二項(xiàng)展開式的排列方式，結(jié)構(gòu)相同，系數(shù)為“楊輝三角”（列出圖形），讓學(xué)生感受到驚奇，賞識(shí)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美，有利于加深學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)知與記憶。（2），（3）式的提出不是要學(xué)生學(xué)會(huì)這個(gè)公式，而是通過(guò)它們讓學(xué)生從公式的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)上去認(rèn)識(shí)完全平方公式，從數(shù)學(xué)的體系來(lái)說(shuō)，完全平方公式只是二項(xiàng)式定理的最簡(jiǎn)單形式。這不是后面知識(shí)的前移，是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和好奇心的喚醒或激發(fā)，對(duì)今后學(xué)習(xí)會(huì)充滿期待，具有積極的作用，符合教學(xué)的遠(yuǎn)效性需要！整個(gè)過(guò)程除了教師介紹4，5次方二項(xiàng)展開式的排列方式，系數(shù)為“楊輝三角”外，學(xué)生要全程參與，師生互動(dòng)，共同完成，對(duì)公式的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)有了深刻的過(guò)程體驗(yàn)，今后就不易含糊不清了。教師如果一味灌輸往往會(huì)徒勞無(wú)功，讓學(xué)生參與推導(dǎo)，不乏分析，歸納，類比等數(shù)學(xué)思想方法，可以培養(yǎng)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。加上老師們精心設(shè)計(jì)的例題，練習(xí)題，讓學(xué)生在運(yùn)用公式的過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)其結(jié)構(gòu)特征，做到心領(lǐng)神會(huì)，今后的錯(cuò)誤自然就減少了。

講題，對(duì)不同的題型，不同的學(xué)情，側(cè)重點(diǎn)不同，方法也不一樣。但目的是一樣的，就是要讓學(xué)生走進(jìn)課堂與走出課堂不一樣，知識(shí)、技能、方法、習(xí)慣、興趣和需要（喚醒或激發(fā)）其中的幾項(xiàng)或全部有新的收獲。講題的過(guò)程不是講，而是導(dǎo)。講題的目的不是解答一題，而是讓學(xué)生通過(guò)參與該題的分析思考得到一次經(jīng)驗(yàn)，得到啟發(fā)，視野得到擴(kuò)展，在師生互動(dòng)的過(guò)程中理解多元化的價(jià)值觀和多樣的思維方式，借授人以魚達(dá)到授人以漁的目的。

3.以檢查促進(jìn)預(yù)習(xí)的執(zhí)行力。教師可以在課堂上用提問(wèn)的方式檢查學(xué)生課前自學(xué)情況，或者運(yùn)用班級(jí)學(xué)習(xí)小組的管理體系進(jìn)行監(jiān)督。

預(yù)習(xí)是培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力的重要環(huán)節(jié)，抓住了這一環(huán)節(jié)，就等于學(xué)生從被動(dòng)的學(xué)開始轉(zhuǎn)化為主動(dòng)的學(xué)。學(xué)生帶著問(wèn)題聽課，可以更快地把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的要點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)的效率。

四、教師課堂關(guān)注自主學(xué)習(xí)，關(guān)鍵是學(xué)生的參與度

通過(guò)課前的預(yù)習(xí)、自學(xué)，學(xué)生對(duì)新課的內(nèi)容有了一定的了解。學(xué)生帶著問(wèn)題聽課，依然要以學(xué)生作為主體參與教學(xué)過(guò)程為特點(diǎn)，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)習(xí)慣和主動(dòng)獲取知識(shí)的能力。

1.建立小組競(jìng)爭(zhēng)課堂模式，但不拘泥于“模式”，抓住課堂的根本：學(xué)生的主動(dòng)參與。首先我做的是把班級(jí)合理地劃分為八個(gè)小組，建立一套可行的小組評(píng)價(jià)機(jī)制和小組監(jiān)督機(jī)制。數(shù)學(xué)課堂主要以小組為依托展開教學(xué)。一堂課把評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)嫁在小組上，使得小組的同學(xué)積極思考和發(fā)言，為小組爭(zhēng)取榮譽(yù)。

2.問(wèn)題的開放性設(shè)置。要在課堂上對(duì)學(xué)生進(jìn)行自學(xué)能力的培養(yǎng)，教師可以對(duì)一些有思考價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題的提問(wèn)方式進(jìn)行改造。

3.人人可做小老師，方法結(jié)論都共享。課堂上，老師不妨把一部分時(shí)間交給學(xué)生，讓學(xué)生來(lái)講基本的知識(shí)；讓學(xué)生來(lái)點(diǎn)評(píng)學(xué)生的黑板演練；讓學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題，進(jìn)行多種方法的講解；讓學(xué)生來(lái)進(jìn)行一堂課內(nèi)容的總結(jié)。這種方式促使了學(xué)生對(duì)自身能力的要求，實(shí)施一定的時(shí)間后，確實(shí)收到了理想的效果。

4.教師點(diǎn)撥，深化探究。這是課堂教學(xué)活動(dòng)的最高境界，老師利用課堂上學(xué)生掌握的新知識(shí)，去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，既可以對(duì)課堂上所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行深化，同時(shí)又可以將學(xué)生的思維帶入一個(gè)更高的層次。