淺議單調有界函數的極限

鄧 敏

（湖南交通職業(yè)技術學院 湖南長沙 410004）

淺議單調有界函數的極限

鄧 敏

（湖南交通職業(yè)技術學院 湖南長沙 410004）

本文闡述、舉例說明了由“單調有界數列必有極限”不能得到“單調有界函數必有極限”這一結論的理由，并進一步討論了單調有界函數極限存在的條件。

單調有界 數列 函數 極限 極限過程

一、引言

“單調有界數列必有極限”是微積分學的基本定理之一，是《高等數學》中證明第二個重要極限公式的一個重要預備定理，因為數列是一種特殊函數，所以很多學生就想當然的認為“單調有界函數必有極限”，甚至有些教師在講到函數的極限時，也利用“單調有界數列必有極限”這個結論得出“單調有界函數必有極限”的結論，那么“單調有界函數”是否真的就“必有極限”呢?如果結論是否定的，那么“單調有界函數”的極限到底是怎樣的呢？其極限和什么因素相關呢?

二、單調有界數列的極限

數列是定義在自然數集上的一類特殊函數，數列的極限比較簡單，因為其自變量的變化過程只有一個，即 ∞→n （實際上是n→+∞），所以其極限僅取決于它的“單調性”和“有界性”，“單調有界數列必有極限”這一定理就是對數列極限情況的具體詮釋。

關于“單調有界數列必有極限”，很多《高等數學》教材上雖然沒有給出完整的證明卻都有具體表述如下：“1.如果數列{Xn}是單調遞增有上界的數列，則該數列一定有極限，且如果M是其最小上界（即上確界），則當 ∞→n 時，數列{Xn}收斂于M；2.如果數列{Xn}是單調遞減有下界的數列，則該數列一定有極限，且如果m是其最大下界（即下確界），則當 ∞→n 時，數列{Xn}收斂于m。

“單調有界數列必有極限”的描述已經包含了極限過程是 ∞→n，所以我們只要說求某個數列的極限（不必說n是怎么變化的），大家都明白的。

三、單調有界函數的極限

1.單調有界函數的極限

函數的極限相比于數列的極限就復雜多了，其極限是由函數本身的解析表達式、函數滿足的一些條件以及極限中自變量的變化趨勢共同決定的。因此，在討論函數的極限時，我們既要考慮函數本身，例如函數的解析表達式、函數滿足的一些條件等，還要考慮極限中自變量的變化趨勢。而一般自變量的變化趨勢又有以下兩大類

“單調有界函數”的描述只強調了函數本身所具有的性質——單調、有界，并沒有給出自變量的變化過程。不像“單調有界數列必有極限”的描述中已經包含了極限過程是 ∞→n ，所以我們不能由“單調有界數列必有極限”得到“單調有界函數必有極限”的結論。[1]

下面的“例1”說明：單調有界函數，對于不同的自變量的變化過程，其極限可能存在，也可能不存在。

2.對“單調有界函數”的極限問題，一般結論就是單調有界連續(xù)函數一定有極限”?！皢握{有界函數不一定每點都有極限，但是每點都有單側極限“。[2]即設函數是或內的單調遞增函數，則在或內每一點x都有單側極限，更確切些就是此外如果那么關于單調遞減的函數，顯然有類似的結果。[3]

下面的“例2”就說明：在各定義區(qū)間內單調有界的函數，因為在定義域內某點不連續(xù)，所以函數在該點的極限不存在。

[1] 羅鐵山，王榮.單調有界函數必有極限嗎？[J].唐山學院學報，2007年，20卷（4期）：103.

[2] 徐小湛.單調有界函數的極限[[DB/OL].http：//xuxzmail. blog.163.com/blog/static/251319162015191173764/.2015年2月，

[3]Rudin編著.數學分析原理（下）[M].北京：高等院校出版社.1992.