談高中數(shù)學(xué)《排序不等式》的教學(xué)

◆周海舟

談高中數(shù)學(xué)《排序不等式》的教學(xué)

◆周海舟

《排序不等式》是高中數(shù)學(xué)選修4-5不等式選講教材第三講第三節(jié)的內(nèi)容。不等式選講部分作為每年高考解答題的第24題，為3道選做題中的一道。在2015年“一師一優(yōu)課、一課一名師”網(wǎng)上曬課活動(dòng)中，我選取這部分內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)地教學(xué)以及在數(shù)學(xué)組同仁們的大力支持下，對(duì)本節(jié)課進(jìn)行反復(fù)打磨，取得了一定的教學(xué)效果，并先后被評(píng)為自治區(qū)級(jí)優(yōu)質(zhì)課以及部級(jí)優(yōu)質(zhì)課。現(xiàn)就這部分內(nèi)容的教學(xué)談一下我的認(rèn)識(shí)和看法。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

排序不等式，又稱排序原理：設(shè)a1?a2?…an，b1?b2?…bn為兩組數(shù)c1，c2，…cn是b1，b2，…bn任意一個(gè)排列，則a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1?a1c1+a2c2+…+ancn?a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn.

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn時(shí)，等號(hào)成立。其中：和S=a1c1+a2c2+…+ancn稱為數(shù)組（a1，a2，a3，…，an）和（b1，b2，b3，…，bn）的亂序和，按相同順序相乘所得積的和S1=a1b1+a2b2+…+anbn稱為順序和，按相反順序相乘所得積的和S2=a1bn+a2bn-1+…+anb1稱為反序和。

排序不等式是一個(gè)經(jīng)典的不等式，是均值不等式更一般的表達(dá)形式，為學(xué)習(xí)柯西不等式奠定基礎(chǔ)。排序不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)均成立，適用范圍廣，有現(xiàn)實(shí)生活中較強(qiáng)的實(shí)用性。

二、教學(xué)策略說(shuō)明

1.采取學(xué)案教學(xué)，提高課堂效率

為了講好這部分內(nèi)容，我精心準(zhǔn)備了學(xué)案，并提前一天將學(xué)案發(fā)給學(xué)生們進(jìn)行預(yù)習(xí)，使學(xué)生們?cè)谡n前對(duì)該部分內(nèi)容有一定的認(rèn)識(shí)，從而更好地進(jìn)行課堂學(xué)習(xí)，提高課堂效率。為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，我曾對(duì)本校學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，共發(fā)放227份問(wèn)卷，收回有效問(wèn)卷227份，其中文科學(xué)生問(wèn)卷108份，理科學(xué)生問(wèn)卷119份。經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)只有3.5%的學(xué)生（理科5人，文科3人）經(jīng)常會(huì)在數(shù)學(xué)課前進(jìn)行預(yù)習(xí)，說(shuō)明絕大多少學(xué)生都不主動(dòng)預(yù)習(xí)下節(jié)課要講的內(nèi)容。與學(xué)生進(jìn)行交流，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生不知道該如何預(yù)習(xí)。因此，我采取了提前發(fā)放學(xué)案的方式，告訴學(xué)生們下節(jié)課要講什么，逐漸培養(yǎng)學(xué)生們的預(yù)習(xí)意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。

2.情景引入，集中學(xué)生的注意力

在課堂引入中我采取了情景引入的方式，精心設(shè)計(jì)了問(wèn)題情景：國(guó)慶節(jié)長(zhǎng)假期間，達(dá)瓦和父母一起報(bào)名參加“雪山連北京”旅行團(tuán)去首都北京旅游。在旅游即將結(jié)束的時(shí)候，達(dá)瓦想用自己的零花錢(qián)給自己的爺爺、兩個(gè)姨媽和三個(gè)好朋友分別買(mǎi)一樣紀(jì)念品。達(dá)瓦看中了三樣紀(jì)念品：鳥(niǎo)巢明信片（10元/張）、天壇模型（15元/個(gè)）和長(zhǎng)城紀(jì)念冊(cè)（25元/本）。在父母的建議下，達(dá)瓦決定采取以下的買(mǎi)紀(jì)念品方案：1、不同輩分的紀(jì)念品不同；2、相同輩分的紀(jì)念品相同。達(dá)瓦如何買(mǎi)紀(jì)念品花錢(qián)最少？如何買(mǎi)花錢(qián)最多？情景引入的內(nèi)容緊密結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，學(xué)生容易理解并通過(guò)計(jì)算很快得出花錢(qián)最少的方案和花錢(qián)最多的方案。在達(dá)到引入課堂目的的同時(shí)還滲透了愛(ài)國(guó)主義教育以及尊敬長(zhǎng)輩、合理花錢(qián)的教育。

3.教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活緊密結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

排序不等式的教學(xué)過(guò)程中，我精心設(shè)計(jì)了例題1和練習(xí)1。

例題1：5個(gè)人各拿一只水桶到一個(gè)水龍頭處排隊(duì)接水，如果水龍頭注滿這5個(gè)人的水桶需要的時(shí)間分別是40秒，80秒，60秒，100秒，50秒。那么如何安排這5個(gè)人接水的順序，才能使他們等待的總時(shí)間最少？

分析：這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，需要將它數(shù)學(xué)化，即轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.設(shè)第i一個(gè)接水的人需要ti秒，則5人都接滿水所需的等待總時(shí)間是S=5t1+4t2+3t3+2t4+t5

根據(jù)排序不等式可知，要使總和最小，則應(yīng)使t1，t2，t3，t4，t5按照從小到大排列。

練習(xí)1：若某網(wǎng)吧的3臺(tái)電腦同時(shí)出現(xiàn)了故障，對(duì)其維修分別需要45min，25 min和30 min，每臺(tái)電腦耽誤1 min，網(wǎng)吧就會(huì)損失0.05元。在只能逐臺(tái)維修的條件下，按怎么樣的順序維修，才能使經(jīng)濟(jì)損失降到最小？

分析：要使損失最小就應(yīng)使等待的總時(shí)間最小，應(yīng)該采取反序和，即先修第二臺(tái)，然后修第三臺(tái)，最后修第一臺(tái)。

例題1和練習(xí)1均基于現(xiàn)實(shí)生活，同樣的還可以適用于超市排隊(duì)付賬等情況，使學(xué)生們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活并可以用于解決生活中的問(wèn)題。在解答的過(guò)程中，將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子，適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)建模的思想，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題的能力。另外，還與生活中的排序問(wèn)題相結(jié)合，對(duì)學(xué)生進(jìn)行有序排隊(duì)的社會(huì)公德意識(shí)教育。

4.做到條理清晰，詳略得當(dāng)，重點(diǎn)突出

基于排序不等式作為一個(gè)數(shù)學(xué)定理，本節(jié)課沿用了大部分?jǐn)?shù)學(xué)定理“發(fā)現(xiàn)規(guī)律—?dú)w納、猜想—證明—應(yīng)用”的教學(xué)過(guò)程，采取特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)教師的引導(dǎo)使學(xué)生們總結(jié)出排序不等式，并進(jìn)行不等式的應(yīng)用講解和練習(xí)。

排序不等式的文字表達(dá)、數(shù)學(xué)表達(dá)以及應(yīng)用均在學(xué)生的可接受范圍內(nèi)。不等式本身的定理證明對(duì)于區(qū)內(nèi)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度較大，但教材上有詳細(xì)的證明過(guò)程，有興趣的學(xué)生可以進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，有不懂的地方可以問(wèn)同學(xué)和老師。本節(jié)課我將主要精力放在發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納猜想以及不等式的應(yīng)用上，對(duì)排序不等式本身的證明上采取了弱化處理，只是告訴學(xué)生們這個(gè)不等式已經(jīng)被證明，可以放心使用。同時(shí)告訴學(xué)生們猜想只有經(jīng)過(guò)證明才能被稱為定理，例如著名的哥德巴赫猜想因?yàn)槲茨鼙蛔C明，只能稱為猜想。使學(xué)生們了解數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性。

5.培養(yǎng)學(xué)生一題多解的意識(shí)

在例題2的教學(xué)中，我進(jìn)行了一題多解訓(xùn)練。

例2：已知a、b、c、d∈R，證明a2+b2+c2+d2≥。

ab+bc+cd+da

解法1：不等式左邊可以看成順序和，右邊看成亂序和。由要證不等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≤b≤c≤d，由排序不等式順序和≧亂序和得；

a?a+b?b+c?c+d?d≥a?b+b?c+c?d+d?a

∴a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da

解法2：

∵a2+b2≥2ab

b2+c2≥2bc c2+d2≥2cd

d2+a2≥2da

同向不等式相加得：

2（a2+b2+c2+d2）≥2（ab+bc+cd+da）

兩邊同時(shí)除以2得：

a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da

解法3：

∵a2+b2+c2+d2-（ab+bc+cd+da）

∴a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da

6.按螺旋式上升理念安排內(nèi)容

在進(jìn)行排序的過(guò)程中，與排列組合相關(guān)知識(shí)相結(jié)合，在螺旋式上升中加深學(xué)生對(duì)排列組合相關(guān)知識(shí)的理解，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)中螺旋式上升的理念。

7.布置分層作業(yè)

讓學(xué)生們根據(jù)自身的情況選擇要完成的作業(yè)，既可以調(diào)動(dòng)學(xué)困生的學(xué)習(xí)積極性，又可以使學(xué)優(yōu)生更上一層樓，滿足了大部分學(xué)生的求知欲，使學(xué)生們分別體驗(yàn)到成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。

西藏山南市第一高級(jí)中學(xué)
責(zé)任編輯：周朝坤