外部輸入與兩單元CNN的完全穩(wěn)定性

賀國旗，韓泉葉，陳綏陽

(1.陜西廣播電視大學(xué)，陜西西安 710068;2.西安交通大學(xué)，陜西西安 710049)

外部輸入與兩單元CNN的完全穩(wěn)定性

賀國旗1，韓泉葉1，陳綏陽2

(1.陜西廣播電視大學(xué)，陜西西安 710068;2.西安交通大學(xué)，陜西西安 710049)

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)在圖像處理、模式識別等領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用的基礎(chǔ)取決于對網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)特性的認(rèn)識，尤其是網(wǎng)絡(luò)在什么條件下有極限環(huán)，什么條件下是穩(wěn)定的。研究了一類在沒有外部輸入條件下已經(jīng)被證明是不穩(wěn)定的兩單元細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)在加上外部輸入后的特性。該網(wǎng)絡(luò)在不加外部輸入時的特點(diǎn)是:全局只在0區(qū)存在唯一齊點(diǎn)，并且存在一個圍繞0區(qū)的極限環(huán)。證明:加上外部輸入后，外部輸入在一定的區(qū)域取值，網(wǎng)絡(luò)仍保持這樣的特點(diǎn)，即網(wǎng)絡(luò)仍不是完全穩(wěn)定的，存在一個圍繞0區(qū)的極限環(huán)。這表明，不加外部輸入時的情況只是加外部輸入的一種特例。此外，還給出了這個外部輸入值的取值區(qū)域。這個兩單元細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果有助于進(jìn)一步研究較大規(guī)模細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性動力學(xué)特性，也有助于進(jìn)一步拓展其在函數(shù)逼近、模式識別及圖像處理等方面的應(yīng)用。

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);齊點(diǎn);極限環(huán);穩(wěn)定性

0 引言

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)在圖像處理、模式識別等領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用［1-4］。CNN的完全穩(wěn)定性是其應(yīng)用的基礎(chǔ)［5］，所以，自從CNN理論被提出［3］以來，人們就在不斷地研究它的完全穩(wěn)定性［6-11］，包括嵌入憶阻器的CNN［12-14］。目前，對于不加外部輸入的兩單元CNN(CNN(2))的完全穩(wěn)定性，已經(jīng)比較清楚了［4］。對于不是完全穩(wěn)定的CNN，通過外加輸入使其完全穩(wěn)定是一種有效的方法。實(shí)際上，通過外加輸入不僅可以改變CNN的穩(wěn)定性，而且可以改變飽和區(qū)中穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)的吸引域，甚至可以使飽和區(qū)中的穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)消失或出現(xiàn)，從而完全改變CNN的動態(tài)行為［15］。文中就一類已經(jīng)被證明不是完全穩(wěn)定的CNN(2)［4］，研究其在外加輸入條件下的穩(wěn)定性的變化情況，給出一個仍使CNN(2)不完全穩(wěn)定的取值區(qū)域。

1 狀態(tài)方程與齊點(diǎn)

在帶有外部輸入情況下描述CNN(2)狀態(tài)的微分

1.6 5區(qū)(x1＞1，x2＞1)

由式(1)、(2)、(3)得CNN(2)狀態(tài)的微分方程:

1.7 6區(qū)(x1＜－1，x2＞1)

由式(1)、(2)、(3)得CNN(2)狀態(tài)的微分方程:

1.8 7區(qū)(x1＜－1，x2＜－1)

由式(1)、(2)、(3)得CNN(2)狀態(tài)的微分方程:

1.9 8區(qū)(x1＞1，x2＜－1)

由式(1)、(2)、(3)得CNN(2)狀態(tài)的微分方程:

2 完全穩(wěn)定性

定理1:由式(1)、(2)、(3)描述的滿足條件(4)、(5)的CNN(2)，若全局只在0區(qū)存在唯一的齊點(diǎn)，則它不是完全穩(wěn)定的。

證明:由于齊點(diǎn)在0區(qū)內(nèi)部，有式(8)、(9)成立。

做坐標(biāo)平移:這樣，使齊點(diǎn)的位置成為新坐標(biāo)系v1o＇v2的原點(diǎn)(見圖1)。

o＇只能是不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)或不穩(wěn)定的焦點(diǎn)［16］，所以軌線只能離開o＇趨向0區(qū)的邊界。而在無窮遠(yuǎn)處，描述各區(qū)域有如下的微分方程:

所以軌線都是向內(nèi)縮進(jìn)的，則由Poincarè-Bendixson定理知必存在環(huán)繞0區(qū)極限環(huán)，所以系統(tǒng)不是完全穩(wěn)定的。

定理2:當(dāng)外部輸入(u1，u2)同時滿足條件(67)、(68)時(即在圖2所示的矩形區(qū)域中取值)，CNN(2)只在0區(qū)存在唯一齊點(diǎn)，而在其他區(qū)域沒有齊點(diǎn)。

證明:思路其實(shí)很簡單，就是驗(yàn)證各區(qū)域齊點(diǎn)存在的條件是否滿足。首先驗(yàn)證它滿足0區(qū)齊點(diǎn)存在的條件(8)、(9)。

實(shí)際上:

由式(69)、(70)知條件(8)滿足，同理可證條件(9)滿足。證明1區(qū)存在齊點(diǎn)的條件式(15)不滿足。

由上式知式(15)不滿足，所以1區(qū)沒有齊點(diǎn)。同樣可以一一驗(yàn)證2、3、4、5、6、7、8區(qū)中都沒有齊點(diǎn)。

由定理1和定理2可知:當(dāng)外部輸入(u1，u2)在圖2所示的矩形區(qū)域中時，由式(1)～(5)所描述的CNN(2)不是完全穩(wěn)定的。

3 結(jié)束語

滿足條件(4)、(5)的不加外部輸入的CNN(2)是全局只在0區(qū)存在唯一齊點(diǎn)，且不是完全穩(wěn)定。其實(shí)，它只不過是滿足條件(4)、(5)且?guī)в型獠枯斎?u1，u2) 的CNN(2)在(0，0)點(diǎn)的特例，外部輸入(u1，u2)在圖2所示的矩形區(qū)域中，CNN(2)全局只在0區(qū)存在唯一齊點(diǎn)，且不是完全穩(wěn)定的。這個結(jié)果對于細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的啟示意義在于:如果要應(yīng)用CNN(2)，應(yīng)該嘗試通過增加外部輸入使其穩(wěn)定，這需要進(jìn)一步研究。

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Complete Stability of Two-cell Cellular Neural Networks with External Inputs

HE Guo-qi1，HAN Quan-ye1，CHEN Sui-yang2
(1.Shaanxi Radio＆TV University，Xi’an 710068，China;2.Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，China)

Cellular neural networks have been widely used in image processing，pattern recognition and other fields.The base of the applications is the realization of the dynamics，especially when there will be a limit cycle and how the network is stable.In this paper，a case of two-cell cellular neural networks with external inputs is studied which has been proved it is not completely stable without external inputs. The feature of the network without external inputs is that there is only one fixed point in region 0 and there is a limit cycle around region 0.It will prove that with external inputs and their values in given domain，the network still has the feature that it is not completely stable and there is a limit cycle around region 0.This indicates the CNN(2)without external inputs is only a special sub-case of that with external inputs.The domain of the external inputs values is also given.The result has expanded the understandings about the dynamics of the CNN(2).He results on two-cell cellular neural networks will help to further study the nonlinear dynamics of large-scale cellular neural networks，and will also help to further expand its applications in function approximation，pattern recognition，image processing，and others.

CNN;fixed point;limit cycle;complete stability

TP391

A< class="emphasis_bold">文章編號:16

1673-629X(2016)09-0167-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.09.037

2015-12-16

2016-04-08< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間:

時間:2016-08-23

陜西省2014年重大科技創(chuàng)新項(xiàng)目(2014ZKC03-18);陜西省2014年度信息化重點(diǎn)建設(shè)項(xiàng)目(陜工信發(fā)〔2014〕199號)

賀國旗(1968-)，男，副教授，研究方向?yàn)閳D形圖像處理、網(wǎng)絡(luò)技術(shù);陳綏陽，教授，博導(dǎo)，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)軟件、計(jì)算方法。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20160823.1359.066.html