分?jǐn)?shù)的數(shù)量表征*

孫 玉 司繼偉 黃碧娟

(山東師范大學(xué)心理學(xué)院,濟(jì)南 250358)

分?jǐn)?shù)作為一種重要的數(shù)字類型,無(wú)論在日常生活還是科學(xué)技術(shù)中都扮演著非常重要的角色。一般從小學(xué)三年級(jí)或四年級(jí)開(kāi)始,兒童開(kāi)始正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、理解和使用分?jǐn)?shù)符號(hào)。然而,相對(duì)于整數(shù)學(xué)習(xí),兒童對(duì)分?jǐn)?shù)地掌握顯得困難得多,許多兒童并不能真正理解分?jǐn)?shù)的數(shù)量意義。研究發(fā)現(xiàn),兒童對(duì)分?jǐn)?shù)知識(shí)地掌握存在很大困難,甚至許多中學(xué)生都不能很好地理解分?jǐn)?shù)(Ni&Zhou,2005)。有證據(jù)表明,超過(guò)40%的六年級(jí)學(xué)生不能按數(shù)量大小正確地排列一組分?jǐn)?shù)(Mazzocco&Devlin,2008)?？梢哉f(shuō),這種分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的困難是不同國(guó)家兒童所面臨的一個(gè)普遍問(wèn)題(Isotani,McLaren,&Altman,2010;Mazzocco&Devlin,2008;劉春暉,辛自強(qiáng),2010)。這一困難甚至可能會(huì)一直持續(xù)到成年(Bonato,Fabbri,Umiltà,&Zorzi,2007;Schneider&Siegler,2010;Stigler,Giwin,&Thompson,2010)。分?jǐn)?shù)是繼整數(shù)之后個(gè)體掌握的重要數(shù)學(xué)概念,整數(shù)只能離散地表征數(shù)字,如1、2、3等,而不能表征1～2之間的數(shù)字,但分?jǐn)?shù)的表征是有序的、連續(xù)的,如可以表征1～2之間的任意數(shù)字。因此,分?jǐn)?shù)比整數(shù)有著更高的精確性。分?jǐn)?shù)作為重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程內(nèi)容,分?jǐn)?shù)知識(shí)(特別是概念性知識(shí))與之前或之后習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)密切相關(guān)。近年來(lái)不少研究證實(shí),分?jǐn)?shù)的概念性知識(shí)和程序性知識(shí)與之前習(xí)得的整數(shù)運(yùn)算水平都相關(guān)(Hecht&Vagi,2010;司繼偉,2012)。分?jǐn)?shù)知識(shí)(特別是概念性知識(shí))也能預(yù)測(cè)代數(shù)知識(shí)(Siegler,Thompson,&Schneider,2011)、整體數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)(Bailey,Haord,Nugent,&Geary,2012;Siegler&Pyke,2013)以及數(shù)學(xué)成績(jī)的進(jìn)步幅度(Bailey et al.,2012)。對(duì)數(shù)量的表征則是個(gè)體獲得數(shù)概念以及發(fā)展更高級(jí)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。研究表明,提高個(gè)體的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征能力能促進(jìn)對(duì)分?jǐn)?shù)知識(shí)的理解和掌握(Booth&Newton,2012)。另外,分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的精確性也能夠預(yù)測(cè)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算水平和整體數(shù)學(xué)能力(Siegler&Pyke,2013)。因此,探討分?jǐn)?shù)的數(shù)量表征問(wèn)題有著重要意義。

研究者已發(fā)展了多種實(shí)驗(yàn)任務(wù)來(lái)考察個(gè)體的數(shù)量表征問(wèn)題。Siegler等人(2011)的研究表明適用于研究分?jǐn)?shù)表征的任務(wù)有數(shù)量比較任務(wù)和數(shù)量估計(jì)任務(wù)。在數(shù)量比較任務(wù)中,被試需要判斷呈現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字中哪個(gè)大,或者比較所呈現(xiàn)的數(shù)字與某一固定數(shù)字的大小。相比較的兩個(gè)數(shù)字間數(shù)值差異越大,被試的反應(yīng)越快、正確率越高,這一現(xiàn)象稱為距離效應(yīng)。一般來(lái)說(shuō),該效應(yīng)會(huì)隨著年齡的增長(zhǎng)而減小。距離效應(yīng)越小,說(shuō)明數(shù)量表征越準(zhǔn)確。數(shù)字線的數(shù)量估計(jì)任務(wù)通常包括數(shù)字-位置任務(wù)(簡(jiǎn)稱NP任務(wù))和位置-數(shù)字任務(wù)(簡(jiǎn)稱PN任務(wù))兩種形式。在NP任務(wù)中,要求被試判斷某個(gè)數(shù)在一條標(biāo)有起始點(diǎn)的線段上的位置,而在PN任務(wù)中,則要求被試估計(jì)在一條標(biāo)有起始點(diǎn)的線段上的某條豎線所代表的數(shù)值,被試需將呈現(xiàn)的數(shù)字轉(zhuǎn)換成內(nèi)在的數(shù)量表征。因此,數(shù)量估計(jì)任務(wù)能直接地測(cè)量個(gè)體的數(shù)量表征及其發(fā)展?fàn)顩r(Siegler&Booth,2004)。

本文擬從分?jǐn)?shù)數(shù)量的發(fā)展及不同表征方式、分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與整數(shù)數(shù)量表征的區(qū)別與聯(lián)系、分?jǐn)?shù)與小數(shù)數(shù)量表征的異同方面,對(duì)此領(lǐng)域近十年來(lái)的主要研究進(jìn)展進(jìn)行簡(jiǎn)要回顧和梳理,并在此基礎(chǔ)上,對(duì)該領(lǐng)域未來(lái)的研究做出展望。

1 分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的發(fā)展

從認(rèn)知發(fā)展的角度看,一些學(xué)者認(rèn)為,人類在嬰兒期就能表征兩個(gè)數(shù)量的相對(duì)大小。例如,McCrink和Wynn(2007)的研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)6個(gè)月大的嬰兒習(xí)慣了用藍(lán)色和黃色豆子表示的非符號(hào)比例刺激后,嬰兒會(huì)用更長(zhǎng)的時(shí)間注視新異的比例刺激,從而揭示了嬰兒即擁有表征比例的能力(即非符號(hào)分?jǐn)?shù))。嬰兒在分辨兩個(gè)較大整數(shù)的數(shù)值差異時(shí),往往基于這兩個(gè)數(shù)值之比,也就說(shuō)數(shù)量表征會(huì)受到比例的限制。這種比例限制會(huì)隨著年齡增長(zhǎng)而發(fā)生變化,6個(gè)月的嬰兒只能辨別數(shù)量比例為1:2的兩組物體,而到10個(gè)月時(shí)嬰兒就能辨別出數(shù)量比例為2:3的物體(Xu&Arriaga,2007)。之后,隨著數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和發(fā)展,兒童開(kāi)始能夠表征符號(hào)分?jǐn)?shù)。Siegler等人(2011)采用數(shù)字線估計(jì)任務(wù)和數(shù)量比較任務(wù),研究發(fā)現(xiàn)八年級(jí)學(xué)生比六年級(jí)學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征更精確,而且八年級(jí)學(xué)生數(shù)字線估計(jì)的線性擬合程度也比六年級(jí)學(xué)生的好。Siegler和Pyke(2013)也發(fā)現(xiàn)隨著年齡增長(zhǎng)個(gè)體分?jǐn)?shù)數(shù)量表征能力增強(qiáng)。國(guó)內(nèi)也有類似的研究發(fā)現(xiàn),盧淳、郭紅力、司繼偉和孫燕(2014)的一項(xiàng)關(guān)于六年級(jí)學(xué)生和成人的研究發(fā)現(xiàn),在0～1數(shù)字線任務(wù)上,兒童的分?jǐn)?shù)估計(jì)呈線性表征,且兒童表征的準(zhǔn)確性明顯低于成人。張麗、盧彩芳和楊新榮(2014)指出,五、六年級(jí)兒童對(duì)于分?jǐn)?shù)數(shù)字線估計(jì)的準(zhǔn)確性較三、四年級(jí)有一個(gè)較大的提高,且五、六年級(jí)兒童主要采取了線性表征,而三四年級(jí)兒童沒(méi)有明顯的線性表征或?qū)?shù)表征的傾向。總體來(lái)說(shuō),個(gè)體的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征隨年齡的增長(zhǎng)而不斷發(fā)展。

數(shù)概念是最基本的數(shù)學(xué)概念,是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)概念的基石。曾有研究者探討過(guò)數(shù)量表征與數(shù)概念間的關(guān)系。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn),通過(guò)干預(yù)4歲左右幼兒的數(shù)概念,可以顯著提高幼兒的數(shù)字線估計(jì)成績(jī),并表現(xiàn)出線性表征 (Ramani&Siegler,2008;Siegler&Ramani,2008,2009)。Laski和 Siegler(2007)對(duì)6歲兒童的分類知識(shí)進(jìn)行干預(yù)訓(xùn)練,結(jié)果發(fā)現(xiàn),干預(yù)促進(jìn)了兒童數(shù)字線估計(jì)的發(fā)展。這些研究表明個(gè)體的數(shù)概念能力可以幫助個(gè)體提高數(shù)量表征能力。 但也有研究者認(rèn)為,數(shù)量表征也會(huì)促進(jìn)個(gè)體數(shù)概念能力的發(fā)展(Nieder,2005)。徐華(2011)發(fā)現(xiàn)兒童的數(shù)數(shù)能力、數(shù)概念水平顯著地影響個(gè)體的數(shù)量表征模式和準(zhǔn)確性,個(gè)體的數(shù)數(shù)能力越高、數(shù)概念水平越高,其數(shù)量表征越準(zhǔn)確,越傾向形成線性數(shù)量表征。因此,數(shù)量表征與數(shù)概念之間有密切的聯(lián)系,可能存在相互影響。個(gè)體借助數(shù)量表征過(guò)程來(lái)理解數(shù)概念,而數(shù)概念的掌握又可以幫助個(gè)體進(jìn)行精確的數(shù)量表征(陳英和,2015)。隨著年齡增長(zhǎng),個(gè)體分?jǐn)?shù)數(shù)量表征能力增強(qiáng),同時(shí)也加強(qiáng)了對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解。此外,Stafylidou和Vosniadou(2004)曾提出個(gè)體對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解要經(jīng)歷從低到高的如下三個(gè)層次：第一個(gè)層次,個(gè)體將分?jǐn)?shù)表征為兩個(gè)相互獨(dú)立的自然數(shù);第二個(gè)層次,個(gè)體將分?jǐn)?shù)表征為一個(gè)整體的幾個(gè)部分;第三個(gè)層次,個(gè)體將分?jǐn)?shù)表征為分子與分母的比。劉春暉和辛自強(qiáng)(2010)的研究發(fā)現(xiàn)中國(guó)的兒童對(duì)分?jǐn)?shù)的理解也符合此發(fā)展階段。隨著年級(jí)的升高,低層次上人數(shù)不斷減少,高層次上的人數(shù)不斷增加,即分?jǐn)?shù)概念發(fā)展水平逐步升高。楊伊生和劉儒德(2008)認(rèn)為分?jǐn)?shù)依然是一個(gè)數(shù),不過(guò)需要用兩個(gè)整數(shù)的關(guān)系來(lái)呈現(xiàn)。在個(gè)體數(shù)概念的發(fā)展中,理解分?jǐn)?shù)的概念是個(gè)體數(shù)概念發(fā)展的重要突破,它也使得個(gè)體更好地理解數(shù)的連續(xù)性,從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念掌握的一次實(shí)質(zhì)性擴(kuò)展。

雖然,從認(rèn)知發(fā)展的角度看,分?jǐn)?shù)數(shù)量表征能力會(huì)隨著年齡的增長(zhǎng)而不斷增強(qiáng),但在此發(fā)展過(guò)程中,個(gè)體在表征分?jǐn)?shù)時(shí)存在哪些困難？如何能讓個(gè)體正確地表征分?jǐn)?shù)？近些年來(lái)這些問(wèn)題一直困擾著研究者,而想要解決這些問(wèn)題,首先就要清楚人類究竟是以什么方式表征分?jǐn)?shù)的。

2 分?jǐn)?shù)數(shù)量表征方式

2.1 成分表征

目前有不少學(xué)者認(rèn)為人們?cè)趯?duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行數(shù)量表征時(shí),習(xí)慣以離散量(分母或分子)的方式表征分?jǐn)?shù),即成分表征。Bonato等人(2007)讓被試比較單位分?jǐn)?shù)的大小(如,1/3和1/5哪個(gè)更大),結(jié)果只發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)成分(分子、分母)的距離效應(yīng)和空間數(shù)字反應(yīng)編碼聯(lián)合效應(yīng)(簡(jiǎn)稱SNARC效應(yīng)),并由此得出結(jié)論,被試只通過(guò)分?jǐn)?shù)中的某個(gè)整數(shù)成分(分子或分母)表征分?jǐn)?shù),而不能直接表征分?jǐn)?shù)作為實(shí)數(shù)的值(整體表征)。Thompson和 Opfer(2010)則發(fā)現(xiàn),成人在估計(jì)分?jǐn)?shù)數(shù)值的大小時(shí),主要考慮的是分?jǐn)?shù)的分母。比如,讓被試判斷1/150離1/1近還是離1/1000近時(shí),他們會(huì)認(rèn)為1/150離1/1更近些,但實(shí)際上,雖然150離1比離1000近,但1/150離1/1000較近,而離1/1較遠(yuǎn)。隨后,Liu等人采用SNARC效應(yīng)、距離效應(yīng)和大小效應(yīng)考察了兒童如何表征有共同成分(分子)的分?jǐn)?shù)。實(shí)驗(yàn)中要求兒童完成以實(shí)數(shù)(.2)或分?jǐn)?shù)(1/5)為參照的分?jǐn)?shù)比較任務(wù)。結(jié)果表明,分?jǐn)?shù)參照組(1/5為參照),在目標(biāo)分?jǐn)?shù)和參照分?jǐn)?shù)的分母上,存在顯著相反的SNARC效應(yīng)和距離效應(yīng);在實(shí)數(shù)組中,研究者觀察到了這三種效應(yīng)(Liu,Xin,Lin,&Thompson,2013)。這表明,兒童都使用了心理數(shù)字線來(lái)表征分?jǐn)?shù),而且采用的是成分表征。Zhang等人(2012)在簡(jiǎn)單和復(fù)雜兩種條件下考察了成人如何加工有共同分子的分?jǐn)?shù),在簡(jiǎn)單條件下,只給被試呈現(xiàn)分?jǐn)?shù);在復(fù)雜條件下,包括隨機(jī)的呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)和小數(shù)。兩種條件都要求被試估計(jì)目標(biāo)分?jǐn)?shù)是大于還是小于標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(1/5)。行為數(shù)據(jù)表明,無(wú)論是在簡(jiǎn)單條件還是復(fù)雜條件下,被試都采用了成分表征而不是整體表征,ERP結(jié)果表明在簡(jiǎn)單情況下,被試也進(jìn)行成分表征(Zhang et al.,2012)。

2.2 整體表征

還有一些研究者認(rèn)為個(gè)體能直接表征分?jǐn)?shù)的值,即整體表征。這一觀點(diǎn)也得到了不少研究支持。Schneider和Siegler(2010)考察了當(dāng)比較分?jǐn)?shù)數(shù)值時(shí),成人采用成分表征還是整體表征。在3個(gè)實(shí)驗(yàn)中,要求大學(xué)生比較分子和分母是一位數(shù)和多位數(shù)的分?jǐn)?shù),結(jié)果被試表現(xiàn)出了距離效應(yīng),這表明成人在比較分?jǐn)?shù)數(shù)值時(shí)能夠?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)進(jìn)行整體表征。隨后,Siegler等人采用11～13歲兒童進(jìn)行了分?jǐn)?shù)數(shù)量研究,也發(fā)現(xiàn)了距離效應(yīng)(Siegler et al.,2011)。辛自強(qiáng)和李丹(2013)則以小學(xué)三到六年級(jí)學(xué)生為被試,采用非符號(hào)性分?jǐn)?shù)材料進(jìn)行了探究,以心理數(shù)字線假設(shè)為理論基礎(chǔ),分析了被試完成分?jǐn)?shù)比較任務(wù)的SNARC效應(yīng),結(jié)果表明被試能夠?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)進(jìn)行整體表征。然而,上述這些研究結(jié)果都屬于間接證據(jù)。Faulkenberry和Pierce(2011)在研究中直接詢問(wèn)被試在分?jǐn)?shù)比較的過(guò)程中使用了哪種心理表征,發(fā)現(xiàn)雖然被試使用了多種策略來(lái)比較分?jǐn)?shù),包括只知道答案、使用分?jǐn)?shù)的整體知識(shí)或基于成分的程序來(lái)確定答案。但在所有的策略中,回歸分析表明分?jǐn)?shù)的距離效應(yīng)顯著預(yù)測(cè)了反應(yīng)時(shí),這說(shuō)明被試進(jìn)行了整體表征。這為整體數(shù)量表征提供了更為直接的證據(jù)。

相關(guān)的腦生理機(jī)制研究也支持了這個(gè)觀點(diǎn)。Ischebeck,Schocke和 Delazer(2009)在功能磁共振成像研究中,考察了分?jǐn)?shù)比較的相關(guān)腦區(qū)。結(jié)果發(fā)現(xiàn),盡管在行為數(shù)據(jù)中能觀察到兩種距離效應(yīng)(分子或分母的距離效應(yīng)和分?jǐn)?shù)數(shù)值的距離效應(yīng)),但是在頂內(nèi)溝中只發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)數(shù)值的距離對(duì)激活的調(diào)控。這一結(jié)果說(shuō)明雖然被試采用了成分表征,但在人類大腦中分?jǐn)?shù)是以整體的實(shí)數(shù)值進(jìn)行表征的,而不是分別對(duì)分子和分母的數(shù)值進(jìn)行表征。此外,Jacob和Nieder(2009a)的腦成像研究發(fā)現(xiàn),非符號(hào)形式的比率可以自動(dòng)地在人腦中得到表征,并且在頂內(nèi)溝和前額區(qū)域與整數(shù)表征有著大量重疊。隨后他們又使用了符號(hào)分?jǐn)?shù)進(jìn)行了研究,同樣發(fā)現(xiàn)在頂內(nèi)溝與整數(shù)表征有重疊。而且由于符號(hào)分?jǐn)?shù)有兩種形式——數(shù)字表示的分?jǐn)?shù)和單詞表示的分?jǐn)?shù),還說(shuō)明分?jǐn)?shù)的表征不受其呈現(xiàn)形式的影響(Jacob&Nieder,2009b)。

2.3 混合表征

還有一些研究者認(rèn)為,人們?cè)趯?duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行表征時(shí)進(jìn)行了混合表征,也就是說(shuō),人們會(huì)根據(jù)任務(wù)要求,靈活采取成分表征或整體表征。最近幾項(xiàng)研究為分?jǐn)?shù)比較任務(wù)的心理表征實(shí)質(zhì)提供了混合表征的證據(jù)。Meert,Grégoire 和 No?l(2009)認(rèn)為整體表征與成分表征不是相對(duì)立的：個(gè)體在完成同一個(gè)分?jǐn)?shù)比較任務(wù)時(shí),能夠同時(shí)使用這兩種方式表征。隨后他們采用啟動(dòng)范式考察了兒童的分?jǐn)?shù)表征,發(fā)現(xiàn)同分子分?jǐn)?shù)對(duì)(啟動(dòng)刺激,如2/5和2/3)中較大分?jǐn)?shù)(2/3)的反應(yīng)會(huì)延長(zhǎng)被試對(duì)其分母(目標(biāo)刺激,3和 5)中較大數(shù)值(5)的反應(yīng)時(shí)(Meert,Grégoier&No?l,2010a)。也就是說(shuō), 當(dāng)分母值干擾對(duì)分?jǐn)?shù)的表征時(shí),被試就會(huì)抑制對(duì)這個(gè)分母的反應(yīng)。因此,可以認(rèn)為兒童在對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行整體表征的同時(shí)也存在成分表征。另外,他們對(duì)成人的研究也獲得了同樣結(jié)果(Meert,Grégoier&No?l,2010b)。張麗等人通過(guò)使用實(shí)數(shù)值相同但整數(shù)構(gòu)成不同的分?jǐn)?shù)(如1/2與2/4)進(jìn)行考察,發(fā)現(xiàn)被試既進(jìn)行了成分表征,又進(jìn)行了整體表征,具體使用哪種表征與分?jǐn)?shù)的整數(shù)構(gòu)成密切相關(guān)(張麗,辛自強(qiáng), 王琦, 李紅,2012)。Gabriel,Szücs和Content(2013)的研究也得到了同樣的結(jié)果,他們采用物理大小比較和數(shù)字大小比較兩種任務(wù)來(lái)考察成人對(duì)分?jǐn)?shù)數(shù)量的表征是整體表征還是成分表征。結(jié)果表明,被試在數(shù)字匹配任務(wù)中進(jìn)行整體表征,而在物理大小匹配任務(wù)中進(jìn)行成分表征。最近Faulkenberry,Montgomery和Tennes(2015)使用了計(jì)算機(jī)鼠標(biāo)跟蹤技術(shù)對(duì)此問(wèn)題展開(kāi)探究,分析了當(dāng)被試將分?jǐn)?shù)與1/2進(jìn)行比較時(shí)的手動(dòng)軌跡。結(jié)果發(fā)現(xiàn)在得到正確結(jié)果前,成分表征和整體表征之間存在競(jìng)爭(zhēng),但是成分表征的影響發(fā)生得更早些。這些數(shù)據(jù)說(shuō)明了在分?jǐn)?shù)比較中,個(gè)體采用了成分表征和整體表征,只是兩者間存在連續(xù)的競(jìng)爭(zhēng)。

Barraza等人的最新結(jié)果則顯示,成分表征在分?jǐn)?shù)對(duì)出現(xiàn)后會(huì)誘發(fā)左側(cè)額頂葉alpha相的去同步化,而整體表征則分別引起額部和中央頂區(qū)theta波和gamma帶相位同步的增加(Barraza,Gómez,Oyarzún,&Dartnell,2014)。另外,在 400ms左右,整體表征比成分表征在右額部喚起更多的負(fù)事件相關(guān)電位。這種ERP活動(dòng)與theta相同步的增加有關(guān)。這意味著不同功能的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的出現(xiàn)取決于個(gè)體加工分?jǐn)?shù)時(shí)所使用的不同表征。在Zhang等人(2012)的研究中,雖然ERP數(shù)據(jù)表明,在簡(jiǎn)單情況下,使用成分表征的個(gè)體誘發(fā)了P3成分。但是,并沒(méi)有有力的電生理證據(jù)表明他們?cè)趶?fù)雜條件下進(jìn)行成分表征。

3 分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的制約因素

根據(jù)以上論述,不難發(fā)現(xiàn)個(gè)體在對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行表征時(shí),可能會(huì)采用成分表征或整體表征,那么影響個(gè)體進(jìn)行不同表征的因素是什么呢？

首先,刺激呈現(xiàn)方式。Ganor-Stern(2013)的研究發(fā)現(xiàn),如果刺激是相繼呈現(xiàn)而非同時(shí)呈現(xiàn)的情況下,會(huì)減少個(gè)體對(duì)分?jǐn)?shù)的成分表征和整數(shù)偏向。

第二,符號(hào)分?jǐn)?shù)復(fù)雜程度。如果研究者選用的符號(hào)分?jǐn)?shù)相對(duì)簡(jiǎn)單(同分母或同分子分?jǐn)?shù)),被試就可以通過(guò)采用成分表征來(lái)完成分?jǐn)?shù)比較任務(wù),而完全沒(méi)有必要把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)值。但是,當(dāng)分?jǐn)?shù)形式不允許被試采用成分表征時(shí),個(gè)體可能就會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)的實(shí)數(shù)值進(jìn)行整體表征。Bonato等人(2007)使用了0.2或1與目標(biāo)分?jǐn)?shù)比較,而Liu等人(2013)的研究中則使用了1/5或0.2與目標(biāo)分?jǐn)?shù)做比較,兩個(gè)研究都使用了比較簡(jiǎn)單的固定分?jǐn)?shù),結(jié)果被試進(jìn)行了成分表征。然而有些研究則要求被試比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)對(duì),這就使得被試不能簡(jiǎn)單地采用成分表征(如Meert et al.,2009,2010a,2010b;Schneider&Siegler,2010;Sprute&Temple,2011)。Schneider和Siegler(2010)通過(guò)提高符號(hào)分?jǐn)?shù)的復(fù)雜性排除了被試使用成分表征的可能(例如比較4/9和3/5,20/97和3/5),從而證實(shí)了在成分表征無(wú)效時(shí),成人能夠?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)進(jìn)行整體表征。也就是說(shuō),整體表征只在特殊的條件下才能產(chǎn)生。比如,Sprute和Temple(2011)研究表明,當(dāng)分?jǐn)?shù)對(duì)的形式不允許進(jìn)行成分表征時(shí),個(gè)體才會(huì)使用整體表征。同樣的,Obersteiner,van Dooren,van Hoof和Verschaffel(2013)發(fā)現(xiàn),即使是數(shù)學(xué)專家也只有在絕對(duì)必要的情況下(如,當(dāng)沒(méi)有共同成分時(shí))才獲得分?jǐn)?shù)的整體值。

第三,符號(hào)與非符號(hào)分?jǐn)?shù)?；谏鲜龇治?可以發(fā)現(xiàn),個(gè)體在對(duì)符號(hào)分?jǐn)?shù)進(jìn)行表征時(shí),往往可以根據(jù)分?jǐn)?shù)的復(fù)雜程度而靈活地采用成分表征或整體表征。而研究卻發(fā)現(xiàn)在非符號(hào)的分?jǐn)?shù)比較任務(wù)中,個(gè)體能排除整數(shù)成分的干擾,只表現(xiàn)出對(duì)分?jǐn)?shù)值的整體表征。辛自強(qiáng)和李丹(2013)采用非符號(hào)性分?jǐn)?shù)材料考察了小學(xué)生的分?jǐn)?shù)表征,結(jié)果表明被試并沒(méi)有通過(guò)比較分?jǐn)?shù)圖片中的陰影面積來(lái)判斷分?jǐn)?shù)大小,而是對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行了整體表征。最近Matthews和Chesney(2015)的實(shí)驗(yàn)采用了數(shù)量比較任務(wù),實(shí)驗(yàn)1,讓被試比較符號(hào)分?jǐn)?shù)與由離散但不可數(shù)的(在短時(shí)間內(nèi))點(diǎn)組成的比率分?jǐn)?shù)。實(shí)驗(yàn)2,讓被試比較符號(hào)分?jǐn)?shù)與由連續(xù)的圓圈組成的比率分?jǐn)?shù)。實(shí)驗(yàn)3,讓被試比較由點(diǎn)組成的比率分?jǐn)?shù)與由圓圈組成的比率分?jǐn)?shù)。結(jié)果在這3個(gè)實(shí)驗(yàn)中都發(fā)現(xiàn)被試能夠表征非符號(hào)比率分?jǐn)?shù)的整體值。

第四,實(shí)驗(yàn)任務(wù)類型。Gabriel等人(2013)考察了分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)開(kāi)始階段五、六、七年級(jí)的兒童和成人的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征。實(shí)驗(yàn)采用數(shù)字比較任務(wù)和匹配任務(wù)考察整體分?jǐn)?shù)數(shù)量的激活。在分?jǐn)?shù)比較任務(wù)上發(fā)現(xiàn)了整體數(shù)量的距離效應(yīng),但是在匹配任務(wù)上卻未發(fā)現(xiàn)。這說(shuō)明實(shí)數(shù)值的距離效應(yīng)并不是在所有涉及數(shù)量判斷的任務(wù)中自動(dòng)激活的。

第五,實(shí)驗(yàn)背景。Ganor-Stern,Karasik-Rivkin和Tzelgov(2011)考察了單位分?jǐn)?shù)的表征及其受背景影響的程度。通過(guò)使用數(shù)字比較任務(wù),發(fā)現(xiàn)了單位分?jǐn)?shù)整體表征的證據(jù),如果強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)的即時(shí)背景,也就是說(shuō)當(dāng)分?jǐn)?shù)對(duì)包括單位分?jǐn)?shù)也包括0和1時(shí),分?jǐn)?shù)對(duì)比較的語(yǔ)音一致性效應(yīng)以及分?jǐn)?shù)與0和1比較的距離效應(yīng)都表明了整體表征。然而,當(dāng)只是分?jǐn)?shù)間進(jìn)行比較時(shí),并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)整體表征的證據(jù)。這些發(fā)現(xiàn)表明了分?jǐn)?shù)表征具有背景依賴性。最近的一項(xiàng)研究也表明刺激變化和背景干擾顯著地影響了成人和兒童的分?jǐn)?shù)表征。反應(yīng)時(shí)結(jié)果表明成人和兒童采用相同的方式加工分?jǐn)?shù)。在任務(wù)1(比較了標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)1/5與單位分?jǐn)?shù))和任務(wù)3(刺激混合了非單位分?jǐn)?shù)和小數(shù))中只使用了成分表征,而在任務(wù)2(刺激混合了非單位分?jǐn)?shù))中,使用了兩種表征,這說(shuō)明分?jǐn)?shù)變化影響了分?jǐn)?shù)表征,從而導(dǎo)致成人和兒童進(jìn)行整體表征 (Zhang,Fang,Gabriel,&Szücs,2014)。Huber,Moeller和 Nuerk(2014)采用眼動(dòng)技術(shù)考察了個(gè)體對(duì)不同類型分?jǐn)?shù)對(duì)(有共同成分分?jǐn)?shù)對(duì)和無(wú)共同成分分?jǐn)?shù)對(duì))的心理表征。結(jié)果表明,分?jǐn)?shù)表征不但受分?jǐn)?shù)對(duì)類型的影響,也受到實(shí)驗(yàn)背景的影響。當(dāng)呈現(xiàn)不同類型的分?jǐn)?shù)對(duì)時(shí),被試會(huì)采用不同的表征。如果分?jǐn)?shù)對(duì)有共同分子或者分母,被試的注視點(diǎn)會(huì)集中于相關(guān)成分來(lái)表征分?jǐn)?shù),因此表征速度比沒(méi)有共同成分的分?jǐn)?shù)對(duì)更快。同時(shí),被試也會(huì)使得分?jǐn)?shù)表征適應(yīng)實(shí)驗(yàn)背景。當(dāng)被試知道下一個(gè)要出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)對(duì)類型時(shí),成分表征會(huì)占主要地位,被試會(huì)轉(zhuǎn)變他們初始注視點(diǎn)位置到相關(guān)成分上。而且,在一個(gè)組塊的試次內(nèi),隨著實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行,被試能夠減少對(duì)非相關(guān)成分的注視次數(shù)。

此外,研究還發(fā)現(xiàn),訓(xùn)練個(gè)體學(xué)習(xí)將分?jǐn)?shù)值與一個(gè)任意的圖形相聯(lián)系,就能使得個(gè)體自動(dòng)加工新圖形的分?jǐn)?shù)值,而如果分?jǐn)?shù)用常規(guī)形式表示,則不能進(jìn)行自動(dòng)加工(Kallai&Tzelgov,2012)。這表明,若消除了分?jǐn)?shù)成分的影響,那么個(gè)體就能將獨(dú)立的分?jǐn)?shù)表征在長(zhǎng)時(shí)記憶中。

4 分?jǐn)?shù)與整數(shù)數(shù)量表征的區(qū)別與聯(lián)系

分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與整數(shù)數(shù)量表征存在明顯區(qū)別。首先,分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的發(fā)展比整數(shù)數(shù)量表征的發(fā)展晚。Zhou等人曾發(fā)現(xiàn),一般情況下,兒童從幼兒園大班開(kāi)始就能將整數(shù)表征在心理數(shù)字線上(Zhou et al.,2007)。而汪運(yùn)起(2013)則發(fā)現(xiàn),中國(guó)小學(xué)生直到四年級(jí)還不能將分?jǐn)?shù)表征在心理數(shù)字線上。其次,研究發(fā)現(xiàn),在0～1000數(shù)字線的整數(shù)估計(jì)任務(wù)中,美國(guó)小學(xué)四年級(jí)兒童的PAE(percent absolute error,簡(jiǎn)稱PAE)約為 10%～13%,而且線性回歸方程對(duì)整數(shù)估計(jì)值變異的解釋比例為98%和99%(Booth&Siegler,2006;Opfer&Siegler,2007);而汪運(yùn)起(2013)采用 0～1和 0～5數(shù)字線的數(shù)量估計(jì)任務(wù)考察美國(guó)小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的分?jǐn)?shù)估計(jì),發(fā)現(xiàn)兒童分?jǐn)?shù)估計(jì)的PAE為24%,而線性回歸方程對(duì)分?jǐn)?shù)估計(jì)值變異的解釋比例僅為53%。因此,分?jǐn)?shù)數(shù)量表征不僅在精確性上不及整數(shù)數(shù)量表征,而且其線性程度也相對(duì)較低。

此外,分?jǐn)?shù)與整數(shù)數(shù)量表征之間是有聯(lián)系的。Thompson和Opfer(2008)曾讓一至三年級(jí)學(xué)生完成數(shù)字線估計(jì)任務(wù),結(jié)果發(fā)現(xiàn)兒童整數(shù)大小估計(jì)的準(zhǔn)確性和分?jǐn)?shù)大小估計(jì)的準(zhǔn)確性呈負(fù)相關(guān)。而Siegler,Fazio,Bailey和Zhou(2013)對(duì)五年級(jí)兒童的研究卻顯示二者存在顯著正相關(guān)。張麗等人(2014)也曾就此問(wèn)題進(jìn)行考察,他們以155名三至六年級(jí)兒童為被試,采用了0～1的分?jǐn)?shù)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)和0～1000的整數(shù)數(shù)字線估計(jì)任務(wù),結(jié)果表明整數(shù)數(shù)量表征和分?jǐn)?shù)數(shù)量表征呈顯著正相關(guān)。顯然,Thompson和Opfer(2008)與后兩者的研究結(jié)果存在很大差異,這可能是因?yàn)檠芯克捎玫谋辉嚹挲g不同。但是這3個(gè)研究都說(shuō)明了個(gè)體的整數(shù)數(shù)量表征與分?jǐn)?shù)數(shù)量表征確實(shí)是存在相關(guān)的。相關(guān)腦成像研究也支持了這一觀點(diǎn)。Jacob和Nieder(2009b)發(fā)現(xiàn),不管用數(shù)字還是單詞表示的分?jǐn)?shù)都能調(diào)控人類大腦的額-頂葉皮質(zhì)的神經(jīng)元。在BOLD信號(hào)適應(yīng)了常量分?jǐn)?shù)后,當(dāng)呈現(xiàn)新異刺激時(shí),信號(hào)又恢復(fù)了,而且是新異分?jǐn)?shù)和適應(yīng)分?jǐn)?shù)之間數(shù)字距離的函數(shù)。距離效應(yīng)并不會(huì)因采用數(shù)字或單詞來(lái)呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)而發(fā)生變化,而且這種效應(yīng)在頂內(nèi)溝是最強(qiáng)烈的,這又是整數(shù)加工的關(guān)鍵腦區(qū)。這些發(fā)現(xiàn)說(shuō)明,人類大腦使用相同的類比數(shù)量編碼來(lái)表征絕對(duì)數(shù)量和相對(duì)數(shù)量。

此外,分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與整數(shù)數(shù)量表征沿著相似的路徑發(fā)展。隨著年齡的增長(zhǎng),一般情況下,兒童的整數(shù)數(shù)量表征會(huì)由對(duì)數(shù)表征向線性表征發(fā)展并且線性表征會(huì)逐漸增強(qiáng)(Opfer&Siegler,2007;Thompson&Opfer,2010)。但后來(lái) Siegler等人(2011)并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)數(shù)量表征從對(duì)數(shù)表征向線性表征的發(fā)展變化,這可能是因?yàn)樗麄兯玫谋辉囀橇昙?jí)和八年級(jí)的學(xué)生,而這些被試已經(jīng)能夠?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)的數(shù)量進(jìn)行線性表征。

Siegler等人(2011,2013)進(jìn)一步提出了數(shù)量發(fā)展的整合理論,不但強(qiáng)調(diào)了分?jǐn)?shù)和整數(shù)知識(shí)的區(qū)別,還強(qiáng)調(diào)了二者發(fā)展的聯(lián)系。該理論認(rèn)為所有的實(shí)數(shù)都能在數(shù)字線上排序且每個(gè)實(shí)數(shù)都有其特定的位置,也就是說(shuō),所有實(shí)數(shù)都能通過(guò)數(shù)字線聯(lián)系起來(lái)。Ganor-Stern(2012)發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)和單位分?jǐn)?shù)具有不同的表征方式。當(dāng)正數(shù)(使用的正數(shù)為整數(shù))與單位分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較時(shí)發(fā)現(xiàn)了距離效應(yīng),而當(dāng)與負(fù)數(shù)進(jìn)行比較時(shí)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)距離效應(yīng),這說(shuō)明正數(shù)與單位分?jǐn)?shù)而非負(fù)數(shù)一起表征在心理數(shù)字線上。Ganor-Stern(2013)的研究顯示,個(gè)體能將分?jǐn)?shù)和小數(shù)像整數(shù)一樣表征在心理數(shù)字線上。最近,Matthews和Chesney(2015)的研究表明,人類可能擁有本能的感知基礎(chǔ)來(lái)獲得抽象的分?jǐn)?shù)數(shù)量,而且從知覺(jué)上獲得的數(shù)量可以很容易地與符號(hào)表征的分?jǐn)?shù)相比較。也就是說(shuō),人類可以通過(guò)感知路線加工非符號(hào)比率數(shù)量,不依賴于有意識(shí)的符號(hào)運(yùn)算法則,這類似于整數(shù)數(shù)量的加工。這也暗示分?jǐn)?shù)在某種意義上可能是與整數(shù)一樣的自然數(shù),從而支持了數(shù)量發(fā)展整合理論。

5 分?jǐn)?shù)與小數(shù)數(shù)量表征的異同

分?jǐn)?shù)和小數(shù)是比率數(shù)字的兩種不同表示形式,但又是有聯(lián)系的,比如分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間能相互轉(zhuǎn)換。那么分?jǐn)?shù)和小數(shù)在數(shù)量表征上有著怎樣的異同呢？首先看兩者的不同點(diǎn),小數(shù)數(shù)量表征的發(fā)展要早于分?jǐn)?shù),而且小數(shù)的數(shù)量表征也比分?jǐn)?shù)的數(shù)量表征更精確(汪運(yùn)起,2013)。此外,分?jǐn)?shù)和小數(shù)有獨(dú)立的實(shí)數(shù)表征機(jī)制(王琦,2012)。先前的研究表明,人們?cè)诩庸し謹(jǐn)?shù)時(shí)會(huì)分為兩步,首先將分?jǐn)?shù)置于小于1的數(shù)字線位置上,然后再對(duì)分?jǐn)?shù)做進(jìn)一步的精確數(shù)量表征加工(Kallai&Tzelgov,2012)。但對(duì)于小數(shù),只要個(gè)體在知覺(jué)上辨識(shí)出小數(shù)符號(hào),便可以直接判斷出其數(shù)量的大小(Cohen,2010)。

雖然分?jǐn)?shù)與小數(shù)的數(shù)量表征間存在區(qū)別,但是也有相似之處。首先,在分?jǐn)?shù)和小數(shù)的數(shù)量比較任務(wù)中,被試的速度和正確率都隨年齡的增長(zhǎng)而提高,并且分?jǐn)?shù)和小數(shù)數(shù)量表征的線性程度也隨年齡的增長(zhǎng)逐漸提高(汪運(yùn)起,2013)。其次,分?jǐn)?shù)和小數(shù)都能進(jìn)行成分表征和整體表征,而且都可以根據(jù)不同的任務(wù)選擇進(jìn)行不同的表征(Meert et al.,2009;Cohen,2010)。此外,分?jǐn)?shù)和小數(shù)的數(shù)量表征都存在符號(hào)特異性和符號(hào)非特異性的雙重特性(王琦,2012)。陳敏、王琦和張麗(2013)通過(guò)采用數(shù)量比較的分類范式測(cè)定了14名大學(xué)生完成任務(wù)時(shí)的事件相關(guān)電位,表明分?jǐn)?shù)和小數(shù)的特異性加工主要源于知覺(jué)辨別、符號(hào)意義的提取、數(shù)量大小表征和分類反應(yīng)關(guān)聯(lián)階段的差異。任務(wù)范式和意識(shí)加工水平會(huì)影響數(shù)量的符號(hào)特異性表征,并且在不同意識(shí)水平下,分?jǐn)?shù)和小數(shù)數(shù)量表征發(fā)生改變。另外,單純和混合兩種情境對(duì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)這兩種符號(hào)數(shù)字的特異性加工也有不同影響,分?jǐn)?shù)受情境影響顯著,而小數(shù)不受情境影響。最近有研究采用ERP技術(shù)探究了分?jǐn)?shù)和小數(shù)加工的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)(Zhang,Wang,Lin,Ding,&Zhou,2013)。13名被試在兩種條件下完成了數(shù)量匹配任務(wù)。在分?jǐn)?shù)條件下,要求判斷非符號(hào)分?jǐn)?shù)是否與分?jǐn)?shù)數(shù)量匹配;在小數(shù)條件下,判斷非符號(hào)分?jǐn)?shù)與小數(shù)是否匹配。行為結(jié)果表明,條件和數(shù)量距離主效應(yīng)顯著,但是二者之間沒(méi)有顯著的交互作用。電生理數(shù)據(jù)表明,相比非符號(hào)分?jǐn)?shù)與小數(shù)比較,當(dāng)非符號(hào)分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)比較時(shí),顯示出了更大的N1和P3振幅。這個(gè)發(fā)現(xiàn)表明,在兩種條件下,非符號(hào)分?jǐn)?shù)的視覺(jué)識(shí)別是不同的。對(duì)于符號(hào)分?jǐn)?shù),在N1和P3成分上有條件效應(yīng),這說(shuō)明有刺激特異性的視覺(jué)識(shí)別加工。在兩種條件下的P2,N3和P3成分上都發(fā)現(xiàn)了數(shù)量距離效應(yīng)。然而,兩種條件下的距離效應(yīng)是不同的,表明分?jǐn)?shù)和小數(shù)刺激特異性語(yǔ)音加工。

6 小結(jié)與展望

總體來(lái)說(shuō),隨著社會(huì)認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的發(fā)展,不管在行為層面還是腦神經(jīng)基礎(chǔ)層面,人們對(duì)個(gè)體分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的理解取得了一定進(jìn)展,但仍存在較大的探索空間。

首先,關(guān)于分?jǐn)?shù)數(shù)量表征個(gè)體差異的研究還較少。現(xiàn)有研究證據(jù)表明個(gè)體差異對(duì)分?jǐn)?shù)數(shù)量表征是有影響的。比如,Faulkenberry(2011)通過(guò)分?jǐn)?shù)比較的方法發(fā)現(xiàn),那些高數(shù)學(xué)焦慮的個(gè)體或日常經(jīng)常使用計(jì)算器的個(gè)體,分?jǐn)?shù)的數(shù)字距離效應(yīng)比低數(shù)學(xué)焦慮或較少使用計(jì)算器的個(gè)體更小,也就是說(shuō),這些個(gè)體的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征發(fā)展較差。Gómez,Jiménez,Bobadilla,Reyes和 Dartnel(2015)最新研究探究了兒童的一般數(shù)學(xué)成績(jī)、分?jǐn)?shù)比較能力和抑制間的關(guān)系,結(jié)果表明,抑制控制與分?jǐn)?shù)比較的正確性有很強(qiáng)的相關(guān),在分?jǐn)?shù)比較上,個(gè)體必須抑制由那些組成分?jǐn)?shù)的自然數(shù)提供的潛在誤導(dǎo)信息(如,2/3〉4/7, 盡管 2〈4 且 3〈7), 但這種相關(guān)要受到一般數(shù)學(xué)成績(jī)的調(diào)節(jié)。而與視覺(jué)啟動(dòng)相關(guān)的加工過(guò)程,預(yù)測(cè)了兒童可能通過(guò)比較分?jǐn)?shù)成分(分子或分母)來(lái)解決分?jǐn)?shù)比較問(wèn)題,而且這種相關(guān)并沒(méi)有受一般數(shù)學(xué)成績(jī)的調(diào)節(jié)。這說(shuō)明抑制和分?jǐn)?shù)比較精確性的關(guān)系與啟動(dòng)和分?jǐn)?shù)比較精確性的關(guān)系是由不同原因造成的。因此,關(guān)于分?jǐn)?shù)表征的個(gè)體差異還需進(jìn)一步深化。

第二,關(guān)于分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的跨文化研究尚少。關(guān)于數(shù)學(xué)能力國(guó)際差異的跨文化比較,先前研究主要集中于整數(shù)方面,而最近也出現(xiàn)了對(duì)分?jǐn)?shù)的研究。如汪運(yùn)起(2013)發(fā)現(xiàn),中美兒童在分?jǐn)?shù)表征的線性程度方面存在顯著差異,美國(guó)兒童的分?jǐn)?shù)表征水平顯著比中國(guó)同齡兒童高。而最新研究表明,中國(guó)六年級(jí)和八年級(jí)學(xué)生在分?jǐn)?shù)數(shù)字線估計(jì)、分?jǐn)?shù)數(shù)量比較以及分?jǐn)?shù)算術(shù)任務(wù)上,其精確性都要比美國(guó)同齡兒童高很多(Torbeyns,Schneider,Xin,&Siegler,2015)。那么造成這種相反研究結(jié)果的原因是什么呢？顯然這一問(wèn)題還有待進(jìn)一步探究。此外,這兩個(gè)研究都表明中美兒童在分?jǐn)?shù)理解和分?jǐn)?shù)數(shù)量表征上存在差異,造成這一現(xiàn)象的潛在因素很多,如文化、教師(培訓(xùn)、經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)數(shù)量等)、學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)方法、教學(xué)工具、分?jǐn)?shù)的使用頻率或語(yǔ)言等方面的差異。但目前還沒(méi)有研究考察究竟是哪些因素導(dǎo)致了中美兒童在分?jǐn)?shù)數(shù)量表征方面的差異。

最后,未來(lái)應(yīng)進(jìn)一步將分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的相關(guān)研究成果應(yīng)用到分?jǐn)?shù)教學(xué)和學(xué)習(xí)活動(dòng)中,提高研究成果的實(shí)用價(jià)值。研究表明,分?jǐn)?shù)的數(shù)量表征會(huì)隨年齡的增長(zhǎng)而發(fā)展(Siegler&Ramani,2009;Wang,Geng,Hu,Du,&Chen,2013; 盧淳等,2014)?，F(xiàn)有的研究資料還表明,適當(dāng)?shù)亩唐谟?xùn)練甚至反饋也能提高分?jǐn)?shù)的數(shù)量表征。如郭紅力(2010)就對(duì)被試進(jìn)行了反饋實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)反饋后兒童分?jǐn)?shù)估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性要高于反饋前,這意味著分?jǐn)?shù)估算成績(jī)通過(guò)一定的反饋訓(xùn)練會(huì)有所提高。汪運(yùn)起(2013)曾將四年級(jí)和五年級(jí)的被試分別隨機(jī)分配到三個(gè)組(數(shù)字線訓(xùn)練組、圓訓(xùn)練組、課本閱讀組),結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)字線訓(xùn)練比其他兩種訓(xùn)練能更好地提高兒童對(duì)分?jǐn)?shù)數(shù)量的表征水平,這種訓(xùn)練的效果在數(shù)量估計(jì)和數(shù)量比較兩種任務(wù)中都能體現(xiàn)出來(lái)。辛自強(qiáng)和劉春暉(2013)通過(guò)數(shù)字線任務(wù)和離散物體任務(wù)對(duì)擁有錯(cuò)誤整數(shù)偏向的兒童進(jìn)行干預(yù),再施測(cè)分?jǐn)?shù)比較任務(wù),結(jié)果表明,離散物體組兒童雖然在干預(yù)中表現(xiàn)較好,而且在分?jǐn)?shù)比較任務(wù)中得分也顯著高于數(shù)字線組兒童,但反應(yīng)時(shí)要慢于數(shù)字線組兒童。與此同時(shí),國(guó)外研究者也進(jìn)行了相似的干預(yù)和訓(xùn)練,Fuchs及其同事(2013)對(duì)具有分?jǐn)?shù)理解和算術(shù)困難的四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了12周的干預(yù),一周3次,一次30分鐘,結(jié)果證明強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)數(shù)字線理解的干預(yù)比傳統(tǒng)的強(qiáng)調(diào)部分—整體分?jǐn)?shù)理解的教學(xué)更有效。這些研究結(jié)果都證明,短期干預(yù)確實(shí)可以提高個(gè)體分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的水平,但目前的干預(yù)和訓(xùn)練方法比較單一,而且國(guó)內(nèi)外相關(guān)的研究也比較少。未來(lái)應(yīng)關(guān)注兒童對(duì)分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的干預(yù)和訓(xùn)練,以提高其整體數(shù)學(xué)成績(jī)。

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