一個新混沌系統(tǒng)的脈沖魯棒鎮(zhèn)定與魯棒同步

程　杰

(重慶師范大學 數(shù)學學院,重慶 401331)

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一個新混沌系統(tǒng)的脈沖魯棒鎮(zhèn)定與魯棒同步

程杰

(重慶師范大學 數(shù)學學院,重慶 401331)

摘要：考慮了一個新混沌系統(tǒng)，利用脈沖控制的方法，給出了不確定擾動的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定到平衡點的一個充分條件。同時，考慮了存在擾動的兩個混沌系統(tǒng)同步問題，得到了充分判據(jù)。最后，給出了數(shù)值例子說明本文算法的有效性。

關鍵詞：脈沖控制；魯棒鎮(zhèn)定；魯棒同步；混沌系統(tǒng)

0引言

混沌同步在物理、保密通信、生物系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡等領域中有著廣泛的應用前景。近年來，脈沖控制被廣泛應用于混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定與同步中[1-6]，該控制方法有以下優(yōu)點：控制器的設計較簡單，控制裝置所需成本低，控制時所需能量少。

自從發(fā)現(xiàn)洛侖茲系統(tǒng)以來，越來越多的混沌系統(tǒng)被構造出來，文獻[7]提出了一個新的混沌系統(tǒng):

(1)

其中：x1,x2,x3是狀態(tài)變量，當參數(shù)a=10,b=1,c=5,d=-1,h=-5,k=-6且x1(0)=1,x2(0)=-1,x3(0)=-3時，系統(tǒng)(1)是混沌的。

文獻[8]研究了系統(tǒng)(1)的脈沖控制與完全同步問題，但沒考慮系統(tǒng)工作過程中外界干擾對系統(tǒng)性能的影響。本文主要研究了在有外界擾動的前提下，如何利用脈沖控制的方法來實現(xiàn)系統(tǒng)(1)的魯棒鎮(zhèn)定及魯棒同步[9]。在脈沖間隔變化的情況下，得到了保證脈沖控制的有擾動的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定到平衡點的一些判據(jù)。最后，給出數(shù)值例子說明本文算法的有效性。

1基本定義與預備知識

一個脈沖微分系統(tǒng)描述如下：

(2)

為得到系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的充分條件，首先介紹下列定義：

定義1設V:R+×Rn→R+，則稱V屬于V0類，如果

(Ⅱ)V在x是局部Lipschitz的。

定義2對(t,x)∈(τi-1,τi]×Rn，定義

定義3 設V∈V0，且

D+V(t,x)≤g(t,V(t,x)),t≠τi;

V(t,x+Ui(x))≤ψi(V(t,x)),t=τi,

其中:g:R+×R+→R連續(xù);ψi:R+→R+非降。則下列系統(tǒng)

(3)

稱作系統(tǒng)(2)的比較系統(tǒng)。

定義4一個函數(shù)α(x)屬于K類是指：α∈C[R+,R+],α(0)=0,α(x)是嚴格單調(diào)遞增的。

下面介紹本文所需文獻[10]中的兩個定理。

定理1假設下列3個條件滿足：

(Ⅰ)V:R+×Sρ→R+,ρ>0,V∈V0,D+V(t,x)≤g(t,V(t,x)),(t≠τi);

(Ⅱ)存在ρ0>0,使得x∈Sρ0時，對所有的i有x+Ui(x)∈Sρ0；對x∈Sρ0,t=τi有V(t,x+Ui(x))≤ψi(V(t,x));

(Ⅰ)存在r>1，使得λ(τk+1)+ln(rdk)≤λ(τk)(k=0,1,…)成立;

2新混沌系統(tǒng)的脈沖魯棒鎮(zhèn)定

把系統(tǒng)(1)所提出的混沌系統(tǒng)的線性部分與非線性部分分開，重寫如下：

(4)

(5)

施加脈沖控制的系統(tǒng)可描述為：

(6)

設計脈沖控制器為△x(tk)=uk(φ(x(tk)))=-ξ△tkx(tk)。

定理3設q是AT+A的最大特征值，dk=(1-ξ△tk)2，M是混沌系統(tǒng)的一個界，p=q+1+L2+6M，系統(tǒng)(1)是脈沖魯棒穩(wěn)定的，如果存在γ>1 使得:

證明取Liapunov函數(shù)V(t,x)=xTx,則當t≠tk時，

D+V(t,x)=xT(AT+A)x+φT(x)x+xTφ(x)+xTw(t)+wT(t)x≤

qxTx+6MxTx+xTx+L2xTx≤(q+6M+1+L2)V(t,x)=pV(t,x)。

當t=tk時，有 V(tk,x+uk(y))=(x-ξ△tkx)T(x-ξ△tkx)=(1-ξ△tk)2xTx=(1-ξ△tk)2V(tk,x)≤dkV(tk,x)。

故取ψk(ω)=dkω。由文獻[10]中定理可得到與系統(tǒng)(6)具有相同穩(wěn)定性的比較系統(tǒng)：

(7)

由于p△tk+ln(γdk)≤0，可得ptk+1+ln(γdk)≤ptk。

根據(jù)文獻[10]中定理可得：受擾動的系統(tǒng)(6)是魯棒鎮(zhèn)定的。

3新混沌系統(tǒng)的脈沖魯棒同步

在同步構造模型中，驅動系統(tǒng)由式(4)確定，受驅系統(tǒng)為：

(8)

(9)

那么，同步誤差系統(tǒng)為：

(10)

設計脈沖控制器為△e(tk)=uk(φ(e(tk)))=-ξ△tke(tk)。

定理4設q是AT+A的最大特征值，dk=(1-ξ△tk)2，M是混沌系統(tǒng)的一個界，p=q+1+L2+4M2+12M，系統(tǒng)(8)與系統(tǒng)(4)的脈沖魯棒同步是漸近穩(wěn)定的，如果存在γ>1 使得：

證明取Liapunov函數(shù)V(t,e)=eTe,則當t≠tk時，

qeTe+2(2M2eTe+6MeTe)+eTe+L2eTe=(q+1+L2+4M2+12M)V(t,e)=pV(t,e)。

當t=tk時，有V(tk,e+uk(y))=(e-ξ△tke)T(e-ξ△tke)=(1-ξ△tk)2eTe=(1-ξ△tk)2V(tk,e)≤dkV(tk,e),故取ψk(ω)=dkω。由文獻[10]中定理可得到與系統(tǒng)(10)具有相同穩(wěn)定性的比較系統(tǒng)：

(11)

由于p△tk+ln(γdk)≤0，可得ptk+1+ln(γdk)≤ptk。

根據(jù)文獻[10]中定理可得：受擾動的系統(tǒng)(10)是漸近穩(wěn)定的。

4數(shù)值例子

例1q=2×3.660 3,M=6,選取L=1,γ=2,ξ=25,△t1=△t2=…=△tk=…=0.03，則設計的脈沖控制器為uk(φ(x(tk)))=-0.92x。

例2q=2×3.660 3,M=6,選取L=1,γ=1.1,ξ=46,△t1=△t2=…=△tk=…=0.02，則設計的脈沖控制器為uk(φ(e(tk)))=-0.92e。

5結論

本文研究了一個新的混沌系統(tǒng)在脈沖控制下的脈沖魯棒鎮(zhèn)定與魯棒同步問題，在脈沖間隔變化的情況下，得到了保證脈沖控制系統(tǒng)同步的一些充分判據(jù)，也得到了脈沖區(qū)間△的上界估計。

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[10]LAKSHMIKANTHAM V,BAINOV D D,SIMEONOV P S.Theory of impulsive differential equations[M].Singapore:World Scientific,1989.

文獻標志碼：A

中圖分類號：O415.5

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.02.020

文章編號：1672-6871(2016)02-0096-04

收稿日期：2015-05-26

作者簡介：程杰(1990-),男,重慶開縣人,碩士生,研究方向為微分方程與動力系統(tǒng).

基金項目：重慶市自然科學基金項目(2011jjA00003)