具有媒體報道的傳染病模型穩(wěn)定性

劉俊利，劉璐菊

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048；2.河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 洛陽 471023)

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具有媒體報道的傳染病模型穩(wěn)定性

劉俊利1，劉璐菊2

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048；2.河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 洛陽 471023)

摘要：研究了一類具有媒體報道和潛伏期的傳染病模型，得到了模型的基本再生數(shù)。利用線性化方法和Liapunov函數(shù)，分析了無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性和正平衡點的局部漸近穩(wěn)定性。如果不考慮疾病引起的死亡率，則正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。最后，模型的持久性也得以證明。

關(guān)鍵詞：媒體報道；全局穩(wěn)定性；基本再生數(shù)；持久性

0引言

1建立模型

把總?cè)丝贜(t)分成3個倉室：易感者S(t)，潛伏者E(t)和染病者I(t)。假設(shè)：A為常數(shù)輸入率;μ為自然死亡率因數(shù)；σ為從潛伏者到染病者的轉(zhuǎn)化因數(shù)；δ為染病者的恢復(fù)率因數(shù)；α為因病死亡率因數(shù)。β(I)為接觸率，β(I)=μ1-μ2f(I)，其中，μ1為易感者與染病者的最大接觸率，μ2為由于大眾媒體對染病者的報道而減少最大接觸率，假設(shè)μ1≥μ2且

(1)

(2)

顯然，總?cè)丝贜(t)滿足方程：

(3)

因而

從生物學(xué)角度考慮,僅在集合

中研究模型(2)。易證集合D為模型(2)的正向不變集。

2無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

證明模型(2)在P0處的特征方程為：

(λ+μ)[λ2+(2μ+δ+α+σ)λ+(μ+σ)(μ+δ+α)-σμ1]=0。

(4)

顯然，2μ+δ+α+σ>0成立。且當R0<1時，有(μ+σ)(μ+δ+α)-σμ1>0，無病平衡點P0局部漸近穩(wěn)定；當R0>1時，有(μ+σ)(μ+δ+α)-σμ1<0，特征方程(4)有正根，無病平衡點P0不穩(wěn)定。

下面證明當R0≤1時，無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的。構(gòu)造Liapunov函數(shù)：

L(t)=σE+(μ+σ)I，

則有

當R0≤1時，則L′(t)≤0，當且僅當I=0時，L′(t)=0。由Lasalle不變集原理[10]可知：P0為全局漸近穩(wěn)定的。

3正平衡點的穩(wěn)定性及模型的持久性

假設(shè)模型(2)存在正平衡點P*(S*,E*,I*)，令模型右邊等于0，解得：

證明通過計算，模型(2)在正平衡點P*(S*,E*,I*)處的特征方程為:

即

λ3+c1λ2+c2λ+c3=0，

(5)

(6)

因此，

m1m2m3-σδm4-μm2m3=m4(m2m3-σδ)>0。

經(jīng)過計算和化簡得:

c1c2-c3=(μ+m5)[m2m3+m1(m2+m3)+μm5]+

(m2+m4)[m1(m2+m3)+μm5]+

m3m5(m3+m4+m5)+m3(m1m3+μm5)+

(7)

由Bendixson-Dulac定理知：系統(tǒng)(7)在第一象限不存在閉軌線，所以(E*,I*)全局漸近穩(wěn)定。由模型(2)的第一個方程得S(t)的極限方程為：

利用文獻[10]中的結(jié)果可以證明模型(2)的持久性，證明過程與文獻[11]類似。

4結(jié)論

本文研究了一類具有媒體報道和潛伏期的傳染病模型，得到了模型的基本再生數(shù)R0。R0完全決定了模型的動力學(xué)行為：當R0≤1時，無病平衡點全局漸近穩(wěn)定；當R0>1時，無病平衡點不穩(wěn)定，正平衡點局部漸近穩(wěn)定，且模型持久。如果不考慮染病者的因病死亡因素，則正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。

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文獻標志碼：A

中圖分類號：O175.1

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.02.018

文章編號：1672-6871(2016)02-0088-04

收稿日期：2015-05-06

作者簡介：劉俊利(1981-),女,河南濮陽人,副教授,博士,碩士生導(dǎo)師,主要從事傳染病動力學(xué)等方面的研究.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(11101323,11101127)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃基金項目(2014JQ1038)