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    費(fèi)馬大定理之絕妙證明

    2021-02-22 07:20:26何海浪
    關(guān)鍵詞:作差正整數(shù)

    何海浪

    【摘要】通過等比數(shù)列求和對(xn-yn),(xn +yn)一類式子進(jìn)行因式分解.分析方程xn+yn=zn中數(shù)的特點(diǎn),利用二項(xiàng)式的n次方展開式作差,結(jié)合正整數(shù)的n次方特點(diǎn),再利用分析法、反證法來法證明費(fèi)馬大定理.

    【關(guān)鍵詞】二項(xiàng)式的n次方展開式;作差;正整數(shù);正整數(shù)解

    17世紀(jì),法國費(fèi)馬提出了費(fèi)馬大定理,這以后,許多人想證明它并取得了一定的成就,1995年,英國懷爾斯證明了它并得到了公認(rèn).

    費(fèi)馬大定理的內(nèi)容:關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn,當(dāng)n>2時,沒有正整數(shù)解.這是一個含多個未知數(shù)的n次不定方程的解的問題,該方程有四個未知數(shù):x,y,z,n,最高項(xiàng)次數(shù)為n.如果正整數(shù)x,y,z含大于1的公因數(shù),那么方程兩邊可以約去公因數(shù);如果正整數(shù)x,y,z為方程xn+yn=zn的解且x,y,z中的任意兩個數(shù)含大于1的公因數(shù),那么第三個數(shù)一定含這個公因數(shù),則方程兩邊可以約去這個公因數(shù),所以,我們只要證明約去公因數(shù)后的方程沒有正整數(shù)解即可.我們用反證法來證明:假設(shè)費(fèi)馬大定理是不成立的,即關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn,當(dāng)n>2時,有正整數(shù)解且正整數(shù)x,y,z相互間不含大于1的公因數(shù).

    我們看方程xn+yn=zn的解:

    一、n=1

    如果x為正整數(shù)、y為正整數(shù),那么z為正整數(shù),所以方程x+y=z有正整數(shù)解.

    二、n=2

    由x2+y2=z2經(jīng)移項(xiàng)后因式分解,得:

    y2=(z-x)·(z+x)

    =(z-x) 2·[(z+x)/(z-x)]

    兩邊開平方,得:

    y=(z-x)·(z+x)/(z-x)

    如果方程x2+y2=z2有正整數(shù)解,那么x為正整數(shù)、y為正整數(shù)、z為正整數(shù)、(z-x)為正整數(shù)、(z+x)為正整數(shù)、(z+x)/(z-x)為正有理數(shù).

    令p2=(z+x)/(z-x) (p為正有理數(shù)).

    解得:

    x=[(p2-1)/(p2+1)]·z

    y=[2p/(p2+1)]·z

    所以,凡是滿足x=[(p2-1)/(p2+1)]·z,y=[2p/(p2+1)]·z的正整數(shù)x,y,z都為方程x2+y2=z2的解,或者凡是滿足x=[2p/(p2+1)]·z,y=[(p2-1)/(p2+1)]·z的正整數(shù)x,y,z都為方程x2+y2=z2的解,所以方程x2+y2=z2有正整數(shù)解.

    三、n>2

    如果某數(shù)列為:1,y/x,(y/x)2,(y/x)3,…,(y/x)n-1,則該數(shù)列為公比是(y/x)的等比數(shù)列;如果某數(shù)列為:1,-y/x,(-y/x)2,(-y/x)3,…,(-y/x)n-1,則該數(shù)列為公比是(-y/x)的等比數(shù)列.

    根據(jù)等比數(shù)列的求和公式,我們得到:

    1+y/x+(y/x)2+(y/x)3+…+(y/x)n-1

    =[1-(y/x)n ]/(1-y/x)

    1+(-y/x)+(-y/x)2+(-y/x)3+…+(-y/x)n-1

    =[1-(-y/x)n ]/[1-(-y/x)]

    變形為:

    [1-(y/x)n ]

    =(1-y/x)×[1+y/x+(y/x)2+(y/x)3+…+(y/x)n-1]

    [1-(-y/x)n]

    =[1-(-y/x)][1+(-y/x)+(-y/x)2+(-y/x)3+…+(-y/x)n-1]

    當(dāng)n為正整數(shù)時,我們將[1-(y/x)n ]=[1-y/x]×[1+(y/x)+(y/x)2+

    (y/x)3+…+(y/x)n-1]的兩邊都乘xn并化簡得到(x n-y n)分解的因式為:

    x n-y n

    =(x-y)×(xn-1+xn-2y+…+xy n-2+y n-1)

    當(dāng)n為偶數(shù)時,我們將[1-(-y/x)n]=[1-(-y/x)][1+(-y/x)+(-y/x)2+(-y/x)3+…+(-y/x)n-1]的兩邊都乘xn并化簡得到(x n-y n)分解的因式為:

    x n-y n

    =(x+y)×(x n-1-x n-2y+…+xyn-2-y n-1)

    當(dāng)n為奇數(shù)時,我們將[1-(-y/x)n]=[1-(-y/x)+(-y/x)2+(-y/x)3+…+(-y/x)n-1]的兩邊都乘xn并化簡得到(x n+y n)分解的因式為:

    x n+y n

    =(x+y)×(x n-1-xn-2y+…-xyn-2+y n-1)

    所以(xn-y n)可以分解為(x-y)乘若干個正整數(shù)的和或分解為(x+y)乘1個正整數(shù),因?yàn)?不可以分解為1個正整數(shù)乘若干個正整數(shù)的和,所以,如果x,y為正整數(shù)且x>y,那么xn-y n>1.因此,方程x n+yn=zn如果有正整數(shù)解,那么x>1,y>1,z>1.

    當(dāng)x=y時,方程x n+yn=zn的解為:

    x=(n(1/2))×z

    y=(n(1/2))×z

    如果z為正整數(shù),那么x,y不可能為正整數(shù),所以x,y都相等時,方程x n+yn=zn無正整數(shù)解,因此,方程x n+yn=zn的正整數(shù)解x,y,z中必有一個最小、一個最大,z必為最大.我們假設(shè):y=k2x+s,z=k3x+t,|s|為正整數(shù),且|s|與x無1以外的公因數(shù)且|s|≤t,t為正整數(shù),且t與x無1以外的公因數(shù),且t≥|s|,k2為0或正整數(shù),且k2≤k3,k3為正整數(shù)且k3≥k2,我們將方程xn+yn=zn變形為zn-yn=xn,如果xn可以分解為若干個數(shù)的乘積,那么每個數(shù)含有的質(zhì)因數(shù)一定為x的質(zhì)因數(shù),則:

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