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    關(guān)于“模m剩余類(lèi)群”的教學(xué)探究

    2016-02-22 09:40:32楊波
    科技視界 2016年4期

    楊波

    【摘 要】主要針對(duì)模m剩余類(lèi)加群和模m剩余類(lèi)乘群的講授方法作了探討,在加群部分重點(diǎn)對(duì)加群中負(fù)元的求法作了說(shuō)明;在乘群部分重點(diǎn)對(duì)模m剩余類(lèi)中的非零元可以作成群的條件作了解釋。

    【關(guān)鍵詞】群;模m剩余類(lèi);逆元;負(fù)元

    0 引言

    近世代數(shù)是一門(mén)研究不同的代數(shù)系統(tǒng)的學(xué)科,其中會(huì)涉及許多抽象的定義和性質(zhì),這就使初學(xué)者很難正確理解這些抽象的定義與性質(zhì)。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,我們可采用不同的教學(xué)方法來(lái)提高近世代數(shù)的教學(xué)效果。例如,對(duì)模m剩余類(lèi)加群的同態(tài)關(guān)系的探究[3];對(duì)模m剩余類(lèi)加群的性質(zhì)進(jìn)行了分析[4]。本文就針對(duì)有關(guān)模m剩余類(lèi)的教學(xué)方法作一些初步探究。

    1 模m剩余類(lèi)

    為了講清楚什么是模m剩余類(lèi),需要給出一些預(yù)備知識(shí)。

    定理1[1]:設(shè)R是A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,對(duì)a∈A,令:

    [a]={xx∈A,xRa}

    則A的子集族:

    S={[a]a∈A}

    是A的一個(gè)分類(lèi)。其中,[a]稱為A的一個(gè)包含a的R等價(jià)類(lèi),a稱為代表。

    定理2[2]:對(duì)任一整數(shù)a,b(b≠0),存在一對(duì)整數(shù)q和r滿足:

    a=bq+r,0≤r

    而這樣的q和r是唯一的。r稱為a被b除的余數(shù)。

    有關(guān)模m剩余類(lèi)定義的引入,我們采用以下方法。首先,設(shè)A=Z,

    m∈N,令:

    Rm={(a,b)a,b∈Z,ma-b}

    由等價(jià)關(guān)系Rm的規(guī)定知:

    [a]=[b]?圳ma-b

    下面,我們用m分別與a,b作除法,由定理2知,存在q1,r1和q2,r2滿足:

    a=mq1+r1,0≤r1

    a=mq2+r2,0≤r2

    當(dāng)r1>r2時(shí),a-b=(q1-q2)m+(r1-r2),0

    當(dāng)r1

    由以上的討論可知,當(dāng)a與b分別與m作除法它們的余數(shù)相等時(shí),就有[a]=[b]。我們把模m剩余類(lèi)組成的集族記為Zm,即:

    Zm={[0],[1],[2],...,[m-1]}

    2 模m剩余類(lèi)作成的加群

    在這一部分的教學(xué)中,我們首先要解釋一下,模m剩余類(lèi)加群是怎么構(gòu)造的,其次,還要重點(diǎn)說(shuō)明模m剩余類(lèi)加群中負(fù)元的求法。為了討論清楚模m剩余類(lèi)作成的加群,我們首先需要引入群的定義。

    定義1[1]:設(shè)(G,0)是一個(gè)有單位元的半群,若G的每一個(gè)元素都是可逆元,則稱G是一個(gè)群。

    下面,我們通過(guò)例題來(lái)解釋一下模m剩余類(lèi)作成的加群。

    例1:在Zm={[0],[1],[2],...,[m-1]}中規(guī)定:

    [a]+[b]=[a+b],?坌a,b∈Z

    則(Zm,+)作成加群。

    針對(duì)上例等價(jià)類(lèi)[-a]中所含元素的特征,可作如下解釋?zhuān)涸O(shè)存在q1,r1滿足:

    a=mq1+r1,0

    所以:

    -a=-mq1-r1=-(q+1)m+(m-r),0

    這說(shuō)明,用m分別與a和-a作除法,它們的余數(shù)之和恰好等于m。

    3 模m剩余類(lèi)作成的乘群

    這一部分主要討論Zm中的元素滿足什么條件才能作成乘群。

    定理3[1]:在Zm={[0],[1],[2],...,[m-1]}中規(guī)定:

    [a]·[b]=[ab],?坌a,b∈Z

    設(shè)[0]≠[a]∈Zm,則[a]是可逆元?圳(a,m)=1。

    此定理說(shuō)明,Zm中的非零元素[a]是否為可逆元,取決于代表a和m是否互素,可以看出,當(dāng)m是素?cái)?shù)時(shí),就能保證Zm中的非零元素都是可逆元,因此,利用Zm中所以的非零元素就可以作成群。比如:

    例2:在Z7中,規(guī)定:

    [a]·[b]=[ab],?坌a,b∈Z

    則所有非零元構(gòu)成的集合{[1],[2],[3],[4],[5],[6]}作成一個(gè)群。

    證明:易知,集合{[1],[2],[3],[4],[5],[6]}按給定的代數(shù)運(yùn)算作成一個(gè)半群,[1]是單位元,并且在Z7中有下式:

    [2]·[4]=[1]

    [3]·[5]=[1]

    [6]·[6]=[1]

    成立。進(jìn)而[2],[3],[4],[5],[6]都是可逆元,因此命題得證。

    而當(dāng)m是合數(shù)時(shí),就不能保證Zm中的非零元素都是可逆元??聪吕?/p>

    例3:在Z6中,以非零元構(gòu)成的集合{[1],[2],[3],[4],[5]},不能作成一個(gè)群。

    證明:因?yàn)椋?/p>

    [2]·[3]=[6]=[0]

    而[0]不在{[1],[2],[3],[4],[5]}中,所以不能作成一個(gè)群。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    本文主要針對(duì)模m剩余類(lèi)的定義和模m剩余類(lèi)群的教授方法作了討論,并對(duì)模m剩余類(lèi)加群中的負(fù)元和模m剩余類(lèi)乘群中逆元的存在性與求法作了重點(diǎn)說(shuō)明。近幾年來(lái),筆者按上述方法講解模m剩余類(lèi)群,學(xué)生反映,對(duì)模m剩余類(lèi)群理解的很透徹,在后面對(duì)環(huán)和域的學(xué)習(xí)中,再遇到與模m剩余類(lèi)有關(guān)的問(wèn)題,都感到簡(jiǎn)單易懂,不再恐懼了。當(dāng)然筆者還會(huì)在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索更簡(jiǎn)單、直觀的授課方法,調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)近世代數(shù)課程的學(xué)習(xí)興趣。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]朱平天,李伯葓,鄒園.近世代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2011:19-76.

    [2]聶靈沼,丁石孫.代數(shù)學(xué)引論[M].北京:高等教育出版社,2007:8-11.

    [3]李曉毅,黃鳳琴.循環(huán)群中剩余類(lèi)加群的討論[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào),2003.7,21(3):169-171.

    [4]齊蓮敏.模n剩余類(lèi)加群的性質(zhì)分析[J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2009,8(4):30-31.

    [責(zé)任編輯:王楠]

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