基于魯棒微分器的全階非奇異終端滑模再入姿態(tài)控制

賴汝， 金震， 盛永智， 劉向東

(北京理工大學 自動化學院，北京 100081)

基于魯棒微分器的全階非奇異終端滑模再入姿態(tài)控制

賴汝， 金震， 盛永智， 劉向東

(北京理工大學 自動化學院，北京 100081)

針對飛行器再入段的強耦合和非線性的問題，提出了一種基于魯棒微分器(robust exact differentiator， RED)的全階非奇異終端滑?？刂?full-order nonsingular terminal sliding mode control， FONTSMC)方法. 首先，設計了一種新的全階非奇異終端滑模函數(shù)，保證在控制器中不存在帶有分數(shù)次冪項的狀態(tài)量的導數(shù)，同時證明了跟蹤誤差可以在有限時間內收斂到0；然后，針對該滑模運動方程存在誤差二階導數(shù)的特殊情況，引入了超螺旋算法(super-twisting algorithm， STA)作為魯棒微分器(RED)，避免了由直接采用普通微分器引入的干擾噪聲. 進一步為了避免滑?？刂频亩墩駟栴}，采用邊界層技術與低通濾波技術共同消除控制量的抖振. 最后，仿真結果驗證了所設計的控制器可以實現(xiàn)有限時間姿態(tài)跟蹤控制，且具有較好的魯棒性.

全階終端滑模；非奇異；抖振抑制；魯棒微分器；姿態(tài)控制

飛行器的再入過程會呈現(xiàn)出較為嚴重的非線性特性. 這些因素導致了對飛行器的姿態(tài)進行控制變得異常復雜.

滑?？刂品椒閷崿F(xiàn)模型不確定系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題提供了一套系統(tǒng)的解決方案[1]，這使得該方法被廣泛應用于飛行器姿態(tài)控制中. Wang等[2]針對飛行器的姿態(tài)控制問題，利用反饋線性化進行解耦，對三通道分別設計了指數(shù)時變滑模控制器. Geng等[3]針對可重復使用的飛行器控制問題設計了有限時間終端滑?？刂破? Sun等[4]設計了一個全新的有限時間滑模函數(shù)，實現(xiàn)了對高超聲速飛行器巡航段的有限時間控制. Yu等[5]提出了終端滑模控制(terminal sliding mode control， TSMC)的概念. 與傳統(tǒng)滑模控制器相比，終端滑模有限時間收斂的性質為控制器提供了更多的優(yōu)勢. 比如，更快的收斂速度、更高的控制精度以及更強的魯棒性[6]. 然而，終端滑?？刂品椒ㄈ匀淮嬖谥鴥蓚€主要問題：控制輸出奇異與抖振問題.

針對控制量輸出奇異問題，眾多的專家學者都提出了相應的解決方法. 這些方法具體可以分為兩類：一類是間接方法，如文獻[7-8]中提出的終端滑模與傳統(tǒng)滑模之間切換控制或將系統(tǒng)跟蹤軌跡轉化到一個事先定義的開區(qū)域等方法，然而該方法會增加原終端滑模的收斂時間；另一類是文獻[9]中提出的非奇異終端滑?？刂品椒?，屬于直接方法.

為了避免上面方法的缺陷，本文引入了全階滑模的概念. 在傳統(tǒng)的滑?？刂浦?，滑模函數(shù)的階次低于系統(tǒng)狀態(tài)空間的階次，通常稱此類滑模運動是降階的. 近年來，Ackermann[10]、Ha等[11]提出了全階滑?？刂破鞯母拍?，即滑模面的階次與系統(tǒng)狀態(tài)方程的階次相同. 將該思想用于終端滑模控制器設計中，可以有效避免控制輸出的奇異問題. 然而，當采用全階滑模思想設計終端滑模時，需要在滑模面中引入狀態(tài)的二階導數(shù)信息，該信息在實際中是不可測得的. 針對該問題，Levant[12]提出了超螺旋算法 (STA)，該算法可以用作控制器、狀態(tài)估計器和魯棒微分器(RED)，文獻[12-13]中對其進行了詳細分析. 當超螺旋算法作為魯棒微分器對系統(tǒng)中某些狀態(tài)的導數(shù)信息進行估計時，可以避免傳統(tǒng)微分器存在的放大測量信號中的干擾噪聲的問題. 同時可以保證估計誤差在有限時間內收斂到0.

針對滑?？刂戚敵龆墩駟栴}，相關學者從不同角度提出了解決方法，其中有邊界層技術[14]、高階滑模法[15]和濾波器法[16]等. 目前常用的方法是引入邊界層，采用飽和函數(shù)或相應連續(xù)函數(shù)近似代替非連續(xù)的符號函數(shù)，該方法對于消除抖振方面具有一定的作用. 高階滑模方法是將不連續(xù)的切換函數(shù)項轉移到控制器的高階導數(shù)中去，得到連續(xù)的動態(tài)滑?？刂坡桑行У亟档土硕墩? 濾波器方法是通過對控制器輸出進行平滑濾波以達到消除抖振的目的.

1 再入飛行器數(shù)學模型及簡化處理

本文采用文獻[17]中提供的再入飛行器的模型，為簡化在線計算以及控制器的設計，在建立數(shù)學模型時考慮如下假設：① 在建模時忽略地球的角速度；② 忽略了飛行器位移運動的影響；③ 由于再入過程中采用BTT控制策略，因此滿足條件：β≈0.

將文獻[17]中的非線性方程組寫成多輸入多輸出的非線性仿射系統(tǒng)的形式，如下所示

(1)

式中：

對系統(tǒng)(1)進行反饋線性化處理，可得

式中：F(x)，E(x)由反饋線性化得到，且

det(E(x))=-1/I*Izz≠0，

因此控制器可以設計為

(2)

由此可得

(3)

式中：v=[v1v2v3]為引入的輔助變量，Δv為系統(tǒng)中的聚合擾動.

2 姿態(tài)控制器設計

本節(jié)給出基于魯棒微分器(RED)的全階非奇異終端滑模(FONTSMC)姿態(tài)控制器設計方法. 首先考慮如下引理：

引理1[18]對于系統(tǒng)(3)，當采用如下式的狀態(tài)反饋控制律(FDC)，則可以保證系統(tǒng)(3)的狀態(tài)量在有限時間內收斂到0.

(4)

2.1 滑模面設計

為了避免傳統(tǒng)終端滑模中的奇異問題，設計如下的全階終端滑模面

(5)

式中：S(t)=[s1(t)s2(t)s3(t)]T，一旦系統(tǒng)狀態(tài)到達理想滑模面S(t)=0，則系統(tǒng)(3)將會變?yōu)橛邢迺r間穩(wěn)定的雙積分系統(tǒng)，由引理1可知，系統(tǒng)誤差將在有限時間內收斂到0.

(6)

式中：ldmin，kdmin為矩陣ld，kd中非0元素的最小值，且有矩陣

ld=diag[ld1ld2ld3]，

kd=diag[kd1kd2kd3].

(7)

式中：θ的取值范圍與式(3)相同；η=diag[η1η2η3]為切換增益矩陣.

證明 選擇如下Lyapunov函數(shù)

對上式求導可得

(8)

將式(7)中的v帶入式(5)的S(t)中，可得

(9)

對式(9)求導可得

將此式帶入式(8)，可得如下關系式

解上面的微分方程可知，Vs收斂到0所用的時間為

(10)

因此，S(t)將會在有限時間內收斂到0. 證畢.

本文為了減弱滑?？刂破鞴逃械亩墩駟栴}，在切換控制中引入了一階低通濾波器以達到消抖的作用(為了推導方便采用積分環(huán)節(jié)代替，效果相同). 進一步，為了使控制器的輸出更加平滑，采用飽和函數(shù)代替切換控制中的符號函數(shù)，則等效控制項可重新表示為如下形式

式中φj為邊界層厚度.

2.2 魯棒微分器(RED)

在本節(jié)中將引入魯棒微分器，對滑模函數(shù)中的姿態(tài)角二階導數(shù)信息進行估計.

Levant在文獻[19]中提出了魯棒微分器的構造原理，下面將其引入到本文中.

(11)

為了使觀測誤差在有限時間內趨近于0，設計的魯棒微分器如下

式中：a>0，b>0為超螺旋增益；z為姿態(tài)角二階導數(shù)的估計值.

至此可以得到本文設計的全階終端滑模姿態(tài)控制器如下所示

(12)

3 仿真驗證

仿真時，初始高度30 km，初始飛行速度是2 800 m/s，初始姿態(tài)角Ω(0)=[0° 1° 0°]T，姿態(tài)角給定指令Ωc=[3° 0° 2°]T，初始姿態(tài)角速度p(0)=q(0)=r(0)=0(°)/s. 舵面偏轉角限制在±30°. 為進一步驗證所設計的姿態(tài)控制器在受擾時的魯棒性，設大氣密度攝動±20%，轉動慣量攝動±10%，并外部干擾力矩為

[1+sin(πt)+sin(0.5πt)][111]T×105N·m.

仿真中的參數(shù)設置如下.

控制器參數(shù)：θ=0.6，d=20，η=3，kd=kT=1. 魯棒微分器參數(shù)：a=2，b=4.

3.1 情況A

為了比較本文所提出的滑?？刂扑惴ㄅc原有限時間控制算法在魯棒性方面的改進，仿真分為以下兩種情況(此時的切換控制項采用的是邊界層加濾波器技術消抖的方法)：

① 在未加任何擾動時，分別對控制器(4)和控制器(12)進行仿真；

② 系統(tǒng)中存在參數(shù)攝動以及外部干擾，分別對控制器(4)和控制器(12)進行仿真.

圖1給出了在沒有外界擾動和參數(shù)攝動時分別使用控制器(4)和(12)進行仿真的姿態(tài)角跟蹤曲線和舵面偏轉角曲線. 由圖1可知，此時兩個控制器的控制效果一樣，均使姿態(tài)角誤差在有限時間內收斂到0，保證了跟蹤精度.

圖2給出了在情況 A的第2種情況下分別使用控制器(4)和(12)進行仿真的姿態(tài)角跟蹤誤差曲線. 由圖2可知，存在外界擾動以及內部參數(shù)攝動時，本文設計的控制器式(12)具有更好的跟蹤效果以及控制精度.

3.2 情況B

為了比較本文所用的抑制滑模控制器輸出抖振的方法的有效性，進行如下仿真：

① 切換控制項使用飽和函數(shù)，未加濾波器；

② 切換控制項使用飽和函數(shù)加濾波器.

圖3，圖4分別是在情況 B的情形下進行的仿真. 由圖3，圖4可知，當滑模切換控制項使用符號函數(shù)時控制舵面的輸出會存在較為劇烈的抖振，且在控制初始階段存在控制量跳變；而當切換控制項使用飽和函數(shù)加濾波器時，控制舵面的輸出效果最好，即控制輸出較為平滑. 因此，本文采用邊界層與濾波器技術相結合的方法有效抑制了滑?？刂浦写嬖诘亩墩駟栴}.

4 結 論

本文對再入飛行器的姿態(tài)角跟蹤控制問題進行了分析以及討論. 通過對其模型進行簡化處理以及輸入輸出線性化，得到了一個易于分析的對象模型. 在此基礎上，完成了以下的工作：① 設計了新的終端滑模面，基于此滑模面提出了一種全階非奇異終端滑模姿態(tài)控制算法，保證了姿態(tài)角跟蹤誤差在有限時間內收斂到0；② 所設計的新的終端滑?？刂扑惴ū苊饬藗鹘y(tǒng)終端滑模中存在的控制輸出奇異的問題，提高了控制系統(tǒng)的性能；③本文通過將邊界層技術與低通濾波器相結合，由仿真可知該算法消除了滑?？刂浦泄逃械亩墩駟栴}.

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(責任編輯：李兵)

Robust Exact Differentiator Based Full-Order Nonsingular Terminal Sliding Mode for Re-Entry Attitude Control

LAI Ru， JIN Zhen， SHENGYong-zhi， LIU Xiang-dong

(School of Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Considering the reentry vehicle with strong inherent coupling and highly nonlinear, a full-order nonlinear terminal sliding mode control scheme was proposed based on terminal sliding mode and robust exact differentiator (RED). Firstly, a novel full-order nonsingular terminal sliding mode control function was designed so that the derivatives of terms with fractional powers could not appear in the controller. Thus the control singularities could be avoided. Moreover, the tracking errors could be converged to 0 in finite time. Then, to obtain the derivatives of the angular velocity signal in the sliding mode manifold, a super-twisting algorithm (STA) was applied as robust exact differentiator. The interfering noise magnified with the common differentiator could be avoided because of the robustness of the RED. Furthermore, the filter and boundary layer technique were combined to alleviate chattering of the sliding mode controller. Finally, simulations were provided for the reentry vehicle with uncertain parameters and external disturbances to illustrate the effectiveness and robustness of the attitude control system.

full-order terminal sliding mode; singularity elimination; chattering alleviation; robust exact differentiator (RED); attitude control

2015-08-03

國家自然科學基金資助項目(11402020，11372034)

賴汝(1962—)，女，博士，副教授，E-mail：lairu@bit.edu.cn；金震(1990—)，男，碩士，E-mail：2120130929@bit.edu.cn.

TP 273

A

1001-0645(2016)12-1264-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.12.011