微諧振器縱向振動(dòng)熱彈性耦合分析

李長(zhǎng)龍， 高世橋， 牛少華， 劉海鵬

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

微諧振器縱向振動(dòng)熱彈性耦合分析

李長(zhǎng)龍， 高世橋， 牛少華， 劉海鵬

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

對(duì)微諧振器在縱向振動(dòng)時(shí)的熱彈性耦合進(jìn)行分析，以懸臂梁為基礎(chǔ)，在環(huán)境溫度為300 K時(shí)，對(duì)熱彈性本構(gòu)方程進(jìn)行數(shù)值求解，對(duì)在縱向振動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的溫度、受熱彈性耦合的影響產(chǎn)生的頻率漂移、熱彈性阻尼進(jìn)行分析. 分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在縱向振動(dòng)過(guò)程中，懸臂梁在前3階振動(dòng)模態(tài)下，溫度變化量隨著振動(dòng)模態(tài)的升高而增大，在3階振動(dòng)模態(tài)時(shí)，溫度變化量約為1.5 K；受熱彈性耦合影響，頻率漂移比首先隨著梁長(zhǎng)的增加而迅速增加，然后穩(wěn)定在1.67×10-4附近；熱彈性阻尼最大值約為1.0×10-4. 然后，使用COMSOL Multiphysics 軟件對(duì)懸臂梁進(jìn)行熱彈性耦合仿真，并對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證. 結(jié)果表明，仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果相吻合.

微陀螺儀； 縱向振動(dòng)；熱彈性耦合；頻率漂移；COMSOL

在MEMS領(lǐng)域，設(shè)計(jì)具有高品質(zhì)因子或低能量損耗的諧振器是設(shè)計(jì)MEMS器件的關(guān)鍵因素. 在微機(jī)械能量損失機(jī)制中存在外部能量損耗與內(nèi)部能量損耗兩種主要形式. 外部能量損耗如空氣阻尼，是由于在非真空環(huán)境中，周?chē)h(huán)境氣體與器件相互作用而導(dǎo)致的能量損失[1]. 內(nèi)部能量損耗包括晶格缺陷、熱彈性阻尼等，主要是由于材料的內(nèi)耗造成[2-3]. 隨著MEMS封裝技術(shù)的發(fā)展，氣體阻尼對(duì)MEMS器件的影響越來(lái)越小. 內(nèi)部能量損耗成為影響MEMS器件性能的主要機(jī)制. 在內(nèi)部能量損耗中，熱彈性阻尼成為限制高品質(zhì)因子的微諧振器的主要因素.

熱彈性阻尼是由諧振器在振動(dòng)過(guò)程中拉伸和壓縮產(chǎn)生的不可逆的熱流而導(dǎo)致的. 材料在拉伸應(yīng)力下溫度升高，而在壓縮應(yīng)力下溫度降低. 在材料內(nèi)部形成溫度梯度，為實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的熱平衡，需要能量去調(diào)節(jié)溫度梯度. 用來(lái)調(diào)節(jié)熱平衡的能量是由機(jī)械能轉(zhuǎn)化而成，而且這種轉(zhuǎn)化是不可逆的. 在調(diào)節(jié)內(nèi)部熱平衡時(shí)能量損失的過(guò)程稱為熱彈性阻尼[4]. 只要材料的熱膨脹系數(shù)不為零，在結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)就會(huì)有熱彈性阻尼的存在. 因此，熱彈性阻尼的研究成為MEMS器件阻尼研究的重點(diǎn)之一.

目前，關(guān)于熱彈性阻尼，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者已經(jīng)對(duì)其進(jìn)行了研究. Zener[5]最初引入熱彈性阻尼的概念，并提出黏彈性固體中熱彈性弛豫時(shí)間的概念.

Lifshitz及Rouckes[6]對(duì)Zener的理論進(jìn)行了修正，推導(dǎo)出熱彈性阻尼的精確解，

本文基于上述分析，對(duì)微諧振器在縱向振動(dòng)過(guò)程中的熱彈性損耗進(jìn)行了研究. 本文以微陀螺儀敏感元件-懸臂梁為基礎(chǔ)，首先建立熱彈性耦合的控制方程；其次，分析懸臂梁在縱向振動(dòng)過(guò)程中的溫度分布、熱彈性阻尼和由于熱彈性耦合造成的諧振頻率的漂移；最后對(duì)其進(jìn)行建模，利用COMSOLMultiphysics進(jìn)行仿真分析，并對(duì)理論推導(dǎo)的值進(jìn)行驗(yàn)證.

1 熱彈性耦合控制方程

陀螺模型如圖1所示，將驅(qū)動(dòng)梳齒簡(jiǎn)化成懸臂梁模型，如圖2所示，尺寸為0≤x≤l,-b/2≤y≤b/2. 梁的長(zhǎng)度方向?yàn)閤軸，寬度和厚度方向分別為y和z軸. 懸臂梁最初處于零應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，并且梁上溫度處為T(mén)0.

由熱彈性體本構(gòu)方程及熱力學(xué)傅里葉定律可得熱彈性耦合方程為［11］

(1)

式中：T為溫度；cV為比定容熱容；λ,μ為拉梅常數(shù).

方程(1)為各向同性體三維熱彈性耦合方程. 使用耦合方法解方程，評(píng)估熱彈性耦合對(duì)懸臂梁縱向振動(dòng)的影響. 微陀螺采用的是細(xì)長(zhǎng)梁，根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，假設(shè)微梁在縱向振動(dòng)過(guò)程中橫截面積保持為平面，并且忽略橫向變形. 對(duì)于縱向振動(dòng)問(wèn)題，所以得變量都依賴于x軸. 將縱向振動(dòng)時(shí)應(yīng)變與位移的關(guān)系εx=?ux/?x，εy=-ν?ux/?x，εz=-ν?ux/?x代入到方程(1)中得

(2)

假設(shè)溫度和位移都是時(shí)間諧振形式:

(3)

式中θ為溫度變化量.

將方程(3)帶入到(2)中，得

(4)

對(duì)方程(4)進(jìn)行變換可得位移的偏微分方程.

(5)

其中

對(duì)偏微分方程(5)進(jìn)行求解，得

(6)

式中：±rm(m=1，2)是方程Ar4+Br2+C=0的根；Lm，Nm(m=1，2) 為常數(shù).

溫度的變化量為

(7)

其中hm=

將邊界條件分別代入位移與溫度方程可得出關(guān)于頻率的方程為

(8)

方程(8)是超正定方程，通過(guò)求解以上方程，可以求得熱彈性耦合下的固有頻率ω.

以上通過(guò)耦合方法計(jì)算出微梁在縱向振動(dòng)時(shí)的溫度變化與熱彈性阻尼，下面根據(jù)非耦合方法計(jì)算懸臂梁在振動(dòng)過(guò)程中的溫度變化和能量損耗. 對(duì)于Si材料，熱彈性耦合系數(shù)為10-5量級(jí)，意味著懸臂梁的彈性振動(dòng)非耦合運(yùn)動(dòng)方程可以用來(lái)求解位移和溫度. 懸臂梁縱向振動(dòng)的位移為

(9)

(10)

懸臂梁的熱邊界條件為固定端絕熱，自由端等溫.

將機(jī)械邊界條件代入到式(9)中得

(11)

縱向振動(dòng)位移為

(12)

將式(12)代入到式(4)中的熱動(dòng)態(tài)方程得

(13)

推導(dǎo)出在縱向振動(dòng)過(guò)程中的溫度變化為

(14)

其中A，B為常數(shù)，

將熱邊界條件代入式(14)，得A=B=0，則

(15)

假設(shè)在每個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)損失的能量全部是由調(diào)節(jié)熱傳導(dǎo)引起的，即損耗的能量都轉(zhuǎn)化為熱能，則損失的能量為

(16)

每個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的機(jī)械能為

(17)

懸臂梁在縱向振動(dòng)過(guò)程中的熱彈性阻尼為

(18)

縱向振動(dòng)時(shí)熱彈性阻尼與梁長(zhǎng)的關(guān)系為

(19)

2 數(shù)值計(jì)算

陀螺儀所采用的材料為Si，環(huán)境溫度為300 K. 在數(shù)值計(jì)算與仿真中的參數(shù)值如表1所示.

表1 各物理參數(shù)的定義

縱向振動(dòng)時(shí)梁在不同位置處的位移與溫度值如圖3所示. 從圖中看出溫度在懸臂梁的固定端達(dá)到最大值，在自由端為0. 并且在前3階振動(dòng)模態(tài)下，溫度變化量隨著振動(dòng)頻率的升高而增大，在3階模態(tài)時(shí)，溫度變化量增加到1.5 K左右.

由于振動(dòng)過(guò)程中溫度的產(chǎn)生，則梁的固有頻率產(chǎn)生漂移. 頻率漂移比δ=(ωr-ω)/ω如圖4所示. 其中ωr通過(guò)對(duì)方程(12)進(jìn)行數(shù)值解得出. 由圖可見(jiàn)，頻率漂移比隨著梁長(zhǎng)的增加而增加，最初迅速上升，隨著梁長(zhǎng)的增加，頻率漂移比逐漸趨于水平值，近似于1.67×10-4. 由此得出頻率漂移比是尺度相關(guān)的參數(shù)，隨著梁長(zhǎng)的增加，溫度對(duì)其影響逐漸降低并趨于穩(wěn)定. 結(jié)果表明溫度對(duì)振動(dòng)的穩(wěn)定性造成影響，并導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)剛度產(chǎn)生變化，使得固有頻率產(chǎn)生漂移.

圖5所示為懸臂梁熱彈性阻尼與頻率的關(guān)系，最大值為9.89×10-5，此時(shí)頻率為7×1011Hz. 圖6為熱彈性阻尼在不同固有頻率處的熱彈性阻尼.

從圖6可以得出，在不同固有頻率時(shí)，熱彈性阻尼具有相同的最大值，約為10-4，但熱彈性阻尼最大值時(shí)的梁長(zhǎng)隨著固有頻率的升高而增加.

對(duì)由非耦合方法和耦合方法計(jì)算得出的熱彈性阻尼進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖7所示.

從圖中可以看出，兩種方法計(jì)算出的結(jié)構(gòu)彼此類(lèi)似，在極值點(diǎn)處，由耦合方法計(jì)算得到的熱彈性阻尼比非耦合方法計(jì)算的值較小. 是由于使用非耦合方法，不考慮彈性振動(dòng)和溫度的相互耦合作用，忽略了熱彈性耦合項(xiàng).

3 有限元仿真

利用COMSOL多物理場(chǎng)耦合軟件對(duì)懸臂梁進(jìn)行熱彈性有限元仿真，微梁模型長(zhǎng)寬厚分別為595，30，5 μm，自由端為熱絕緣，其他端面為熱等溫狀態(tài). 圖8為前3階縱向振動(dòng)仿真結(jié)果. 從仿真結(jié)果可知，溫度在固定端達(dá)到最大值，并且隨著振動(dòng)模態(tài)的增高而增加. 云圖代表在振動(dòng)時(shí)的溫度分布.

為分析微梁不同位置處的溫度分布，對(duì)懸臂梁進(jìn)行路徑分析，選取微梁不同路徑，結(jié)果如圖9所示.

由圖9可知，1階模態(tài)時(shí)，懸臂梁溫度從固定端到自由端溫度連續(xù)變化并逐漸降低，在自由端為0. 由于自由端處于熱等溫狀態(tài)，與外部存在熱交換，自由端一直處于熱平衡狀態(tài). 在高階頻率處，溫度發(fā)生正弦變化. 縱向振動(dòng)時(shí)，固定端溫度升高約3 K，不同固有頻率處，固定端溫升存在較小的擾動(dòng).

分別計(jì)算無(wú)耦合時(shí)的固有頻率ω，熱彈性耦合時(shí)的固有頻率ωr，得出頻率漂移比以及熱彈性阻尼與梁長(zhǎng)的關(guān)系. 結(jié)果如圖10所示.

由圖10可知，仿真得出的頻率漂移比與理論計(jì)算值有類(lèi)似的結(jié)果，穩(wěn)定在1.8×10-3. 熱彈性阻尼最大值約為2.2×10-4，與理論計(jì)算結(jié)果吻合.

4 結(jié) 論

本文對(duì)懸臂梁在環(huán)境溫度為300 K時(shí)，縱向振動(dòng)情況下的能量耗散情況進(jìn)行了分析. 采用理論與仿真的方法對(duì)熱彈性損耗機(jī)制進(jìn)行研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

① 在低頻振動(dòng)時(shí)，溫度變化量沿著x方向逐漸降低，在自由端變化量為0. 熱彈性阻尼在低頻下隨著頻率的升高而增加. 縱向振動(dòng)情況下，當(dāng)振動(dòng)頻率達(dá)到臨界頻率約為7×1011時(shí)，熱彈性阻尼達(dá)到最大值，最大值為9.89×10-5. 當(dāng)超過(guò)臨界頻率在高頻振動(dòng)時(shí)，熱彈性阻尼隨著頻率的增加而減小.

② 在縱向振動(dòng)時(shí)，不同振動(dòng)模態(tài)下，由振動(dòng)產(chǎn)生的溫度約為3 K左右，振動(dòng)模態(tài)不同，懸臂梁固定端的溫度擾動(dòng)不同.

③ 在環(huán)境溫度為300 K時(shí)，經(jīng)計(jì)算和仿真得知，熱彈性阻尼隨著梁長(zhǎng)的增加而升高，當(dāng)超過(guò)一定長(zhǎng)度時(shí)，隨之增高而降低，因此，可以通過(guò)調(diào)節(jié)梁的幾何尺寸來(lái)調(diào)節(jié)熱彈性阻尼.

[1] 吳衍記，黃顯林.閉環(huán)光纖陀螺標(biāo)度因數(shù)的溫度穩(wěn)定性研究[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，27(6)：618-620.

Wu Yanji， Huang Xianlin. Study on temperature stability of scale-factor in closed-loop fiber optical gyroscope[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology， 2007，27(6)：618-620. (in Chinese)

[2] Srikar V T， Senturia S D. Thermoelastic damping in fine-grained polysilicon flexural beam resonators[J]. Journal of Microelectromechanical Systems， 2002，11(5):499-504.

[3] 董宏發(fā)，樓仁海.開(kāi)式諧振腔Q值的計(jì)算與測(cè)量[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1988,8(4)：54-63.

Dong Hongfa， Lou Renhai. Calculation and measurement of the Q factor of an open resonator[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology， 1988,8(4)：54-63. (in Chinese)

[4] Younis M I. MEMS linear and nonlinear statics and dynamics: MEMS linear and nonlinear statics and dynamics[M]. [S.l.]: Springer， 2011.

[5] Zener C. Internal friction in solids. I. theory of internal friction in reeds[J]. Physical Review， 1937，52(3):230-237.

[6] Lifshitz R， Roukes M L. Thermoelastic damping in micro-and nanomechanical systems[J]. Physical Review B， 2000，61(8):5600-5610.

[7] Jiao W， Song J， Guo F. Thermoelastic damping of micro resonators operating in the longitudinal vibration mode: In comparison with the case of flexural vibration[J]. Mechanics Research Communications， 2014，62:31-36.

[8] Guo F L， Rogerson G A. Thermoelastic coupling effect on a micro-machined beam resonator[J]. Mechanics Research Communications， 2003，30(6):513-518.

[9] Duwel A， Candler R N， Kenny T W， et al. Engineering MEMS resonators with low thermoelastic damping[J]. Journal of Microelectromechanical Systems， 2006，15(6):1437-1445.

[10] Zhang W， Turner K L. Thermoelastic damping in the longitudinal vibration: analysis and simulation[C]∥ASME 2004 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. [S.l.]: American Society of Mechanical Engineers， 2004:145-149.

[11] 王洪綱.熱彈性力學(xué)概論[M].北京:清華大學(xué)出版社,1989.

Wang Honggang. The theory of thermoelastic[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 1989. (in Chinese)

(責(zé)任編輯：劉雨)

Analysis on Thermoelastic Damping of Micro Resonators from Longitudinal Vibration

LI Chang-long， GAO Shi-qiao， NIU Shao-hua， LIU Hai-peng

(State Key Laboratory of Explosion Science and Technology， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

The thermoelastic coupling of micro resonators from the longitudinal vibration mode was analyzed. And constitutive equations of thermoelastic coupling were deduced based on the cantilever beam at the surrounding temperature of 300 K. The temperature resulted from longitudinal vibration, the frequency shift ratio and thermoelastic damping were analyzed. The results demonstrate that in the process of the first three longitudinal vibrations, the temperature vibration increases with the vibration modes. And in the third mode, the temperature vibration is about 1.5 K. The frequency shift ratio sharply increases with the beam length firstly, and then the curve gradually approaches the horizontal line at a fixed value close to 1.67×10-4. Peak value of thermoelastic damping is about 1.0×10-4. At last, the COMSOL multiphysics was used to simulate the thermoelastic coupling of the cantilever beam to verify the numerical results. The results show that the simulation results are coincided with the theoretical results.

micro-gyroscope; the longitudinal vibration; thermoelastic coupling; frequency shift; COMSOL

2015-06-15

國(guó)家“八六三”計(jì)劃項(xiàng)目(2013AA041104)

李長(zhǎng)龍(1989—)，男，博士生，E-mail:xiaolong_joy@163.com；高世橋(1961—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:gaoshq@bit.edu.cn.

O 327

A

1001-0645(2016)12-1237-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.12.006