寬支座連續(xù)梁彎矩簡(jiǎn)化計(jì)算方法研究

高 鵬，黃珊珊，歐陽(yáng)峰，陳 達(dá)

（河海大學(xué)港口海岸與近海工程學(xué)院，南京 210098）

寬支座連續(xù)梁彎矩簡(jiǎn)化計(jì)算方法研究

高 鵬，黃珊珊，歐陽(yáng)峰，陳 達(dá)

（河海大學(xué)港口海岸與近海工程學(xué)院，南京 210098）

高樁碼頭縱橫梁正負(fù)彎矩的最大值是工程設(shè)計(jì)中的控制因素，文章在分布彈性支承連續(xù)梁模型的基礎(chǔ)上，提出寬支座連續(xù)梁跨中和支座的正負(fù)彎矩最大值的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。對(duì)于不同懸跨比的連續(xù)梁，通過(guò)ANSYS對(duì)不同的支座相對(duì)寬度和相對(duì)剛性系數(shù)進(jìn)行有限元模擬，根據(jù)數(shù)值分析結(jié)果確定公式中的系數(shù)。對(duì)某一高樁碼頭工程縱梁，將簡(jiǎn)化公式和有限元的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，兩者誤差小于5%，說(shuō)明簡(jiǎn)化公式具有一定參考意義。

寬支座；縱橫梁；彎矩最大值；簡(jiǎn)化計(jì)算；ANSYS

高樁碼頭是普遍應(yīng)用的碼頭結(jié)構(gòu)型式之一。隨著裝卸設(shè)備的大型化以及碼頭向外海的發(fā)展，縱橫梁節(jié)點(diǎn)處基樁的數(shù)量和樁徑越來(lái)越大，樁帽也相應(yīng)的越來(lái)越大，有些碼頭的縱橫梁支座寬度甚至達(dá)到梁跨度的0.6倍左右［1］，于是就產(chǎn)生了支座寬度過(guò)大情況下梁的內(nèi)力應(yīng)該如何計(jì)算的新問題。

高樁碼頭一般采用平面計(jì)算方法，對(duì)于支座寬度不大的梁，以往直接將支座視作點(diǎn)支承進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算［2］。對(duì)于支座寬度較大的梁，2010版的《高樁碼頭設(shè)計(jì)與施工規(guī)范》［3］提出當(dāng)支座相對(duì)寬度和相對(duì)剛性系數(shù)滿足表1條件時(shí)，將連續(xù)梁結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為彈性點(diǎn)支承連續(xù)梁計(jì)算，對(duì)支座處的負(fù)彎矩和剪力進(jìn)行削峰處理，但未考慮寬支座對(duì)跨中正彎矩的影響；當(dāng)不滿足表1條件時(shí)，寬支座對(duì)連續(xù)梁的支承作用可以用支座寬度范圍內(nèi)近似均勻分布的彈簧來(lái)替代，類似于彈性地基，支座反力按文克爾地基模型考慮，這種假定接近于真實(shí)情況，能得到具有一定精度的計(jì)算結(jié)果，但計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜。

另外，根據(jù)梁與支座連接處剛度的大小，有學(xué)者提出了節(jié)點(diǎn)域剛性連續(xù)梁法［4］和節(jié)點(diǎn)域彈性連續(xù)梁法［5］，以兩端帶節(jié)點(diǎn)域桿梁為計(jì)算單元；還有學(xué)者提出一種“寬支承方式”［6］，以支座范圍內(nèi)的梁段和跨中梁段為計(jì)算單元，這三種方法均是通過(guò)推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃?，并借助?jì)算機(jī)計(jì)算梁的內(nèi)力，計(jì)算過(guò)程繁瑣且合理性需做進(jìn)一步探討。

連續(xù)梁彎矩的最大值是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的主要控制條件，為了尋求更加簡(jiǎn)便和實(shí)用的彎矩最大值的計(jì)算方法，對(duì)于寬支座結(jié)構(gòu)，本文基于分布彈性支承連續(xù)梁模型，提出均布荷載作用下跨中正彎矩和支座負(fù)彎矩最大值的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，并基于數(shù)學(xué)模型分析確定公式參數(shù)，經(jīng)與實(shí)際工程案例有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證簡(jiǎn)化計(jì)算公式的可靠性。

表1 按點(diǎn)支承的連續(xù)梁計(jì)算的條件Tab.1 Conditions of calculation based on point supporting continuous beam

1 計(jì)算模型

根據(jù)2010版的《高樁碼頭設(shè)計(jì)與施工規(guī)范》，對(duì)于寬支座高樁碼頭縱橫梁，將其簡(jiǎn)化為帶有懸臂的分布彈性支承連續(xù)梁，如圖1所示，l為跨長(zhǎng)；m為懸跨比，即懸臂長(zhǎng)與跨長(zhǎng)之比；β為支座寬度與跨長(zhǎng)之比；K為支座的剛度系數(shù)；E和I分別為連續(xù)梁的彈性模量和截面慣性距。若在支座范圍以有限個(gè)等間距布置的彈簧代替，則單個(gè)彈簧的剛度系數(shù)K0=K/n，n為支座范圍內(nèi)的彈簧個(gè)數(shù)。

文獻(xiàn)［7］的研究表明彈性支承連續(xù)梁的跨數(shù)在5跨及以上時(shí)，中間幾跨（跨3、4…）之間、中間支座（支座3、4…）之間的彎矩相差很小。因此，為簡(jiǎn)化研究，本文基于5跨連續(xù)梁模型（圖2）進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算公式推導(dǎo)，所得結(jié)論同樣適用于5跨以上連續(xù)梁。圖2所示的超靜定結(jié)構(gòu)，連續(xù)梁的內(nèi)力與其本身的絕對(duì)剛度無(wú)關(guān)，而與梁體和樁的相對(duì)剛度有關(guān)，可用無(wú)量綱的相對(duì)剛性系數(shù)α=6EI/Kl3［8］表示。因此，該連續(xù)梁模型的內(nèi)力大小與懸跨比m、支座相對(duì)寬度β、相對(duì)剛性系數(shù)α以及荷載q有關(guān)。

圖1 分布彈性支承連續(xù)梁模型Fig.1 Continuous beam with uniformly distribution elastic supporting

圖2 5跨分布彈性支承連續(xù)梁模型Fig.2 5-span continuous beam with uniformly distribution elastic supporting

2 彎矩最大值的簡(jiǎn)化公式

在進(jìn)行連續(xù)梁的斷面和配筋設(shè)計(jì)時(shí)，正負(fù)彎矩最大值是主要控制條件（下拉為正，上拉為負(fù)），而均布荷載是控制縱橫梁內(nèi)力的主要因素，因此本文主要針對(duì)均布荷載作用下連續(xù)梁的正負(fù)彎矩最大值開展研究。懸臂長(zhǎng)度對(duì)均布荷載下連續(xù)梁彎矩最大值出現(xiàn)的位置有重要的影響，在實(shí)際高樁碼頭縱橫梁結(jié)構(gòu)中，懸臂長(zhǎng)度通常都較小［9］，懸臂部分荷載產(chǎn)生的負(fù)彎矩及其對(duì)其他跨的彎矩值影響均較小，負(fù)彎矩的最大值出現(xiàn)在中間的某支座，正彎矩的最大值出現(xiàn)在邊跨跨中（圖3）。

圖3 彎矩最大值出現(xiàn)的位置Fig.3 Position of the maximum bending moment

支座寬度會(huì)對(duì)支座負(fù)彎矩產(chǎn)生明顯的削峰效果，跨中正彎矩也會(huì)因?qū)挾鹊脑黾佣鴾p?。?］，故對(duì)寬支座連續(xù)梁的簡(jiǎn)化計(jì)算采用折減的方法，即先忽略支座寬度的影響，按照彈性點(diǎn)支承進(jìn)行計(jì)算，再對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的折減，即

式中：Mmax為寬支座彎矩最大值；Mi為假定彈性點(diǎn)支承情況對(duì)應(yīng)支座或跨的彎矩極大值；M'為折減彎矩。

2.1 負(fù)彎矩最大值

圖4為5跨連續(xù)梁（左半部分）在均布荷載q作用下的計(jì)算圖示。其中，圖4-a為彈性點(diǎn)支承的情況，圖中Ni為點(diǎn)支承支座反力；圖4-b為考慮支座寬度的情況，由分布彈性支承模型，假設(shè)每個(gè)支座下的反力由2n+1根彈簧代替，每根彈簧間距d相等，每根彈簧反力 fij相等，fij為第i個(gè)支座下的第j根彈簧，最靠近懸臂端的支座i＝1，其他依序編號(hào)。

圖4 5跨連續(xù)梁簡(jiǎn)化計(jì)算圖Fig.4 Simplified calculation diagram for 5-span continuous beam

假定負(fù)彎矩最大值出現(xiàn)在支座3的中心，利用疊加法可分別求出其在彈性點(diǎn)支承和寬支座支承下的負(fù)彎矩和（順時(shí)針為正）

式中：Mq為均布荷載對(duì)支座3中心的力矩大小；lij為彈簧反力對(duì)支座3中心的力臂。若假設(shè)相同荷載下，圖4-a和圖4-b的各支座總反力對(duì)應(yīng)相等，即

由式（7）可知，支座寬度增加，與點(diǎn)支承相比，分布彈性支承對(duì)支座3中心產(chǎn)生了額外的正彎矩N3βl/8（即折減彎矩M'），且這一正彎矩是由支座3本身貢獻(xiàn)的，與其余支座無(wú)關(guān)。

若實(shí)際負(fù)彎矩最大值出現(xiàn)在支座i處，同樣能得到上述結(jié)論。并且考慮到實(shí)際上支座范圍內(nèi)的反力并非均勻分布以及其他因素的影響，引入系數(shù)k1對(duì)求得的折減彎矩進(jìn)行調(diào)整，合并常系數(shù)后得到M'=k1Niβl，從而得到支座負(fù)彎矩最大值的計(jì)算公式，關(guān)鍵在于確定系數(shù)k1。

為了得到普遍規(guī)律，式（8）兩邊同時(shí)除以ql2，得到準(zhǔn)數(shù)

2.2 正彎矩最大值

對(duì)于正彎矩最大值，假定其出現(xiàn)在跨i的跨中，文獻(xiàn)［10］是采用寬支座與點(diǎn)支承兩種情況下的彎矩比值來(lái)折減的，即，給出了折減系數(shù)K'的計(jì)算表。K'綜合考慮了支座相對(duì)寬度β和相對(duì)剛性系數(shù)α的影響。本文采用類似的方法，令k2=K'-1，則，關(guān)鍵在于確定系數(shù)k2。寫成準(zhǔn)數(shù)形式

2.3 k1和k2的確定

對(duì)于圖2中的5跨分布彈性支承連續(xù)梁，本文利用ANSYS建立其有限元模型（圖5）。梁體采用beam4單元（跨長(zhǎng)l取1），分布彈簧采用Combin14彈簧單元，懸臂長(zhǎng)ml=m，支座寬度βl=β，彈簧間距取1/120l=0.008 33。梁體的抗彎剛度取EI，相對(duì)剛性系數(shù)取α，則支座的豎向剛度系數(shù)K=6EI/αl3，單根彈簧的剛度系數(shù)。豎向荷載q取1。

考慮到豎向荷載下梁不會(huì)產(chǎn)生水平位移，故為梁體施加了水平約束；彈簧單元與梁?jiǎn)卧B接處采用節(jié)點(diǎn)耦合；彈簧單元下端采用全約束。

考慮到實(shí)際工程中縱橫梁的懸臂長(zhǎng)度都較小，本文模擬了懸跨比m=0.17、0.25、0.33三種情況。結(jié)合現(xiàn)有碼頭工程實(shí)際情況，考慮支座相對(duì)寬度β為0、0.17、0.33、0.50、0.60和相對(duì)剛性系數(shù)α為0.08、0.10、0.20、0.40、0.60，得到不同組合條件下連續(xù)梁的彎矩圖。

數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)，連續(xù)梁跨中正彎矩最大值始終出現(xiàn)在邊跨1的跨中，而支座負(fù)彎矩最大值出現(xiàn)的位置與支座相對(duì)寬度β和相對(duì)剛性系數(shù)α有關(guān)，可以分為兩種情況：當(dāng)α=0.08及α=0.1、β≤0.17，出現(xiàn)在支座2處（圖6-a）；其余情況，則出現(xiàn)在支座3處（圖6-b）。

圖5 5跨分布彈性支承連續(xù)梁有限元模型Fig.5 Finite element model of 5-span continuous beam with uniformly distribution elastic bearings

圖6 負(fù)彎矩最大值出現(xiàn)位置的兩種情況Fig.6 Two different positions of the maximum negative moment

由圖6-a還可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)負(fù)彎矩最大值出現(xiàn)在支座2處時(shí)，中間幾個(gè)支座的負(fù)彎矩極大值相差不大，故簡(jiǎn)單起見，進(jìn)行寬支座連續(xù)梁負(fù)彎矩最大值的計(jì)算時(shí)，可以假定其始終出現(xiàn)在支座3處。

k1和k2的值可根據(jù)數(shù)值分析的結(jié)果確定，令。對(duì)于式（9），；對(duì)于式（10），。

（1）負(fù)彎矩最大值。

表2和圖7-a～7-c為不同懸跨比m下負(fù)彎矩最大值的有限元計(jì)算結(jié)果。

表2 負(fù)彎矩最大值的計(jì)算結(jié)果（m=0.33）Tab.2 Calculation results of the maximum negative moment

由圖7-a，k1與β近似成一次函數(shù)關(guān)系，且不同相對(duì)剛性系數(shù)下（β，k1）幾乎落在同一直線上，用最小二乘法擬合后得到k1=-0.05β+0.131。

由圖7-b和7-c可知，m不同的取值對(duì)k1的影響不大，（β，k1）也近似落在k1=-0.05β+0.131上。從而，負(fù)彎矩最大值簡(jiǎn)化計(jì)算公式為

（2）正彎矩最大值。

表3和圖8-a～8-c為不同m取值正彎矩最大值的有限元計(jì)算結(jié)果：

由圖8-a～8-c，對(duì)于m不同的取值，（β，k2）均大致落在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線附近，且不同相對(duì)剛性系數(shù)下拋物線的“陡峭”程度不同，α越大，越平坦。根據(jù)此特征，假設(shè)k2與β的平方成正比，用比例系數(shù)A反映不同相對(duì)剛性系數(shù)的影響，即k2=Aβ2。懸跨比m不同，A的取值不同。表4為不同懸跨比下由最小二乘法擬合得到的A的取值，對(duì)于其他的懸跨比和相對(duì)剛性系數(shù)，可由表中數(shù)據(jù)線性插值求得。從而，正彎矩最大值的簡(jiǎn)化公式為

圖7 調(diào)整系數(shù)k1與β關(guān)系曲線Fig.7 Curve k1-β

圖8 折減系數(shù)k2與β關(guān)系曲線Fig.8 Curve k2-β

表3 正彎矩最大值的計(jì)算結(jié)果（m=0.33）Tab.3 Calculation results of the maximum positive moment （m=0.33）

為了進(jìn)一步研究連續(xù)梁兩端懸臂對(duì)正負(fù)彎矩最大值的影響，本文補(bǔ)充模擬了懸跨比m=0.42、0.50和0.67三種情況，研究發(fā)現(xiàn)，隨著懸臂的增長(zhǎng)，懸臂端支座1的負(fù)彎矩迅速增大，靠近懸臂的邊跨1的正彎矩則逐漸減小，負(fù)彎矩最大值出現(xiàn)在支座1處，正彎矩最大值出現(xiàn)在邊跨1的跨中。因此，本文的簡(jiǎn)化公式僅適用于懸臂較短的情況，即懸跨比m≤0.33，高樁碼頭連續(xù)縱橫梁大多滿足這個(gè)條件。

表4 不同懸跨比、相對(duì)剛性系數(shù)A的取值Tab.4 Value of A for different ratios of cantilever to span and relative rigidity coefficients

3 算例

計(jì)算結(jié)構(gòu)選取某典型寬樁帽高樁碼頭縱梁部分（圖9）?？v梁總長(zhǎng)為60 m，排架間距l(xiāng)為7 m，共有8跨，兩端懸臂長(zhǎng)為2 m，支座寬度為1.5 m?？v梁為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)EI=3.0×106kN·m2，樁的剛性系數(shù)為473 849 kN/m，相對(duì)寬度β=0.21，相對(duì)剛性系數(shù)α=6EI/Kl3=0.11，懸跨比m=0.29?？紤]豎向均布荷載q=150 kN/m。

圖9 某典型寬支座高樁碼頭縱梁示意圖Fig.9 Longitudinal beam of a certain high-piled wharf engineering

建立8跨連續(xù)梁有限元模型，不考慮支座寬度時(shí)，計(jì)算結(jié)果如表5；考慮支座寬度時(shí)，計(jì)算結(jié)果如表6（自左往右分別為支座1、跨1、支座2、跨2…，對(duì)稱的支座和跨從略）。

由表5和表6可知，8跨連續(xù)梁支座3、支座4、支座5處的負(fù)彎矩極值相差甚小，跨3和跨4的正彎矩極值之差也是如此，說(shuō)明本文基于5跨連續(xù)梁進(jìn)行分析是合理的。另外，負(fù)彎矩最大值出現(xiàn)在支座3處，正彎矩最大值出現(xiàn)在邊跨1的跨中，也與前面的分析一致。

（1）負(fù)彎矩最大值。

與表6中負(fù)彎矩最大值-430.18 kN·m相比，兩者誤差0.67%，具有較高精度，滿足工程要求。

（2）正彎矩最大值。

α=0.11，m=0.29，由表4用內(nèi)插法求得A=-1.009。

表5 8跨連續(xù)梁有限元計(jì)算結(jié)果（點(diǎn)支承）Tab.5 Calculation results of 8-span continuous beam by FEM（point supporting）

表6 8跨連續(xù)梁有限元計(jì)算結(jié)果（寬支承）Tab.6 Calculation results of 8-span continuous beam by FEM（wide supporting）

與表6中正彎矩最大值442.92 kN·m相比，兩者誤差0.56%，具有較高精度，滿足工程要求。

4 結(jié)論

對(duì)于高樁碼頭寬支座縱橫梁，一般其懸臂長(zhǎng)度較短，本文基于5跨分布彈性支承連續(xù)梁模型，在一定的假設(shè)條件下，導(dǎo)出了均布荷載下寬支座連續(xù)梁彎矩最大值的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。經(jīng)過(guò)有限元模擬發(fā)現(xiàn)，當(dāng)支座相對(duì)寬度β在0～0.6，相對(duì)剛性系數(shù)α在0.08～0.6變化時(shí)，負(fù)彎矩的最大值總出現(xiàn)中間支座附近，正彎矩的最大值相應(yīng)地出現(xiàn)在邊跨的跨中。根據(jù)數(shù)值分析結(jié)果，得到適用于懸臂長(zhǎng)度較短連續(xù)梁（懸跨比小于0.33）的正負(fù)彎矩最大值的無(wú)量綱計(jì)算公式：。針對(duì)某典型寬支座高樁碼頭縱梁，分別用簡(jiǎn)化公式和有限元對(duì)彎矩最大值進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果表明兩者誤差小于5%，計(jì)算精度滿足工程要求，具有一定的參考價(jià)值。

本文只考慮了豎向均布荷載，對(duì)于其他荷載情況有待于進(jìn)一步討論。

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Research on simplified calculation method of bending moment of continuous beam with wide bearing

GAO Peng，HUANG Shan?shan，OU Yang?feng，CHEN Da
（College of Harbor，Coastal and Offshore Engineering，Hohai University，Nanjing 210098，China）

In the design of high-piled wharfs,the maximum value of bending moment of longitudinal and transverse beams is the leading factor.Based on the model of continuous beam with uniformly distribution elastic bearing,a simplified formula of the maximum value of positive and negative bending moment was put forward in this paper.For continuous beam with different ratios of cantilever to span,simulations of bearings with different relative width and relative rigidity coefficient were carried out through ANSYS finite element software.The coefficient in the simplified formula was determined by the numerical analysis results.Taking the longitudinal beam of a certain highpiled wharf engineering as an example,calculation results of the maximum value of bending moments were compared between the simplified formula and ANSYS.The error between them is less than 5%.

wide bearing;longitudinal and transverse beam;maximum value of bending moment;simplified calculation;ANSYS

TV 698

A

1005-8443（2016）01-0089-07

2015-05-20；

2015-09-15

高鵬(1992-)，男，江蘇南通人，碩士研究生，主要從事港口與近海工程結(jié)構(gòu)計(jì)算研究。

Biography：GAO Peng（1992-），male，master student.