一類不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)到達(dá)同步控制

陳秀琴,陳利艷

(1.信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽 464000；2.安陽幼兒師范高等?？茖W(xué)校 學(xué)前教育系，河南 安陽 456150)

?

一類不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)到達(dá)同步控制

陳秀琴1,陳利艷2

(1.信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽 464000；2.安陽幼兒師范高等?？茖W(xué)校 學(xué)前教育系，河南 安陽 456150)

研究了一類結(jié)構(gòu)不同，且含有未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)自適應(yīng)達(dá)到同步控制.基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,給出了一個(gè)自適應(yīng)同步控制器,并給出了參數(shù)的自適應(yīng)率.本文設(shè)計(jì)的控制器能保證兩種不同結(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)輸出漸近同步，在實(shí)踐中也容易實(shí)現(xiàn).最后,基于Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬, 驗(yàn)證了該自適應(yīng)控制方法的有效性.

混沌系統(tǒng)；自適應(yīng)到達(dá)同步；未知參數(shù)

混沌系統(tǒng)是一種特殊的非線性系統(tǒng)，由于它對(duì)初值具有極度敏感性，混沌系統(tǒng)的同步曾一度被認(rèn)為是控制界的難點(diǎn).自從Pecora和Carrol[1,2]于20世紀(jì)90年代初首先提出用PC方法實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步后，混沌同步已經(jīng)引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，并隨之出現(xiàn)了多種同步方法[3-9].但這些研究都屬于相同結(jié)構(gòu)相同參數(shù)的狀態(tài)同步問題，在實(shí)際中是難以應(yīng)用的，因?yàn)樵S多系統(tǒng)不僅部分狀態(tài)是不可測的，而且系統(tǒng)的參數(shù)隨環(huán)境的改變常常是不相同的(比如保密通信)，因此，考慮不同結(jié)構(gòu)，不同參數(shù)的混沌系統(tǒng)的輸出同步問題更有實(shí)際意義.另外，在許多場合，需要考慮到達(dá)同步問題.

本文針對(duì)一類結(jié)構(gòu)不同，且具有未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，給出了一種自適應(yīng)同步控制器，可實(shí)現(xiàn)M-S系統(tǒng)廣義輸出到達(dá)同步.最后的數(shù)值模擬也證明了所提方法的有效性.

1 問題描述

我們知道很多混沌系統(tǒng),如Lorenz系統(tǒng), Chen系統(tǒng), Chua′s電路, R?ssler系統(tǒng),超混沌R?ssler 系統(tǒng)和Lü系統(tǒng),都可以描述成

(1)

其中g(shù)(y)為系統(tǒng)的非線性部分,α=[α1(1),…,α1(q1),…,αn(1),…,αn(qn)]T為未知參數(shù)

(2)

以Lorenz系統(tǒng)為例

(3)

假設(shè)α和c是未知參數(shù)，b是已知常數(shù)，則系統(tǒng)(3)可寫成

其中

α2=α,α2(1)=c-α,α2(2)=c.

耦合混沌系統(tǒng)為:

(3)

(4)

其中x∈Rn,g:Rn→Rn和f:Rp→Rp是連續(xù)向量函數(shù),z∈Rm和y∈Rm是狀態(tài)向量;C=[c1,…,cp] ,ci∈Rm,u(y,x)∈Rm是控制器,且r(CB)=m.

定義1 如果存在一個(gè)控制器u(y,x)∈Rm,使得系統(tǒng)(3)和(4)滿足:

則系統(tǒng)(1)廣義同步.

則系統(tǒng)(1)廣義輸出到達(dá)同步.

為了研究系統(tǒng)(1)的廣義到達(dá)同步,我們定義廣義同步錯(cuò)誤e=y-γ(x),γ:Rn→Rm是一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù).則誤差系統(tǒng)為

=Cf(y)+CBu(y,x)-Dr[A(α)x+g(x)]

(5)

其中

2 自適應(yīng)同步控制器設(shè)計(jì)

定理 取控制器

(6)

其中(CB)-g=(CB)T[CB(CB)T]-1

自適應(yīng)律

(7)

則可實(shí)現(xiàn)M-S系統(tǒng)廣義輸出漸近同步.

證明 定義

eTDrA(α)

=[eTDr1,…,eTDrn]

(8)

將控制律(6)和(8)式代入(5)得

取Lyapunov函數(shù)

(10)

則

=-k‖e‖2-ε‖e‖

(11)

將自適應(yīng)律(7)代入(11)

(12)

3 數(shù)值算例

下面利用Matlab軟件中Simulink工具箱對(duì)以上同步問題進(jìn)行仿真:

設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為,

z=r(x)=x1

(14)

其中d(t)=5sin(t),當(dāng)d(t)=0時(shí), 其相平面圖如圖1所示, 設(shè)其初值為(x1(0),x2(0)x3(0)) =(1.00, -1.00, -1.01)

響應(yīng)系統(tǒng)為

q=y2

(15)

圖1 Lorenz系統(tǒng)的相平面圖

(16)

圖2 系統(tǒng)同步誤差 Fig.2. Synchronization error of Lorenz

圖和α1(1)誤差估計(jì)Fig.3.

圖和α2(1)的誤差估計(jì)Fig.4.

圖和α2(2)的誤差估計(jì)

和自適應(yīng)率

(17)

仿真結(jié)果如圖1-5所示，其中仿真初值設(shè)為: 仿真結(jié)果也反映了本文所設(shè)計(jì)控制器的可行性和有效性.

4 結(jié)論

本文提出一種方法來設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)控制器實(shí)現(xiàn)一類混沌系統(tǒng)的同步與未知參數(shù).利用李雅普諾夫理論,提出了一種新型控制器保證廣義漸近同步的發(fā)生.仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制器的有效性.

[1]L.M.PecoraandT.L.Carroll.Synchronizationinchaoticsystem[J]PhysRevLett, 1990, 64: 821-824.

[2]J.T.Sun.Impulsivecontrolofanewchaoticsystem[J].MathematicsandComputersinSimulation, 2004, 64: 669 -677.

[3]B.Andrievsky.Adaptivesynchronizationmethodsforsignaltransmissiononchaoticcarriers[J].MathematicsandComputersinSimulation, 2002, 58: 285-293.

[4]B.ThongchaiandN.Piyapong.AdaptivecontrolandsynchronizationoftheperturbedChua’ssystem[J].MathematicsandComputersinSimulation, 2007, 75: 37-55.

[5]陳秀琴,沈志萍,李文林.具有噪聲擾動(dòng)的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的同步控制[J].電光與控制,2008,15(8):49-52.

[6]黃云鵬,朱芳來,王改云.不同混沌系統(tǒng)之間的自適應(yīng)同步控制[J].電光與控制,2008,15(10):62-64.

[7]劉福才,宋佳秋.基于主動(dòng)滑模控制的一類混沌系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)反同步[J].物理學(xué)報(bào),2008,57(8):4729-4737.

[8]樓旭陽,崔寶.混沌時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的反同步[J].物理學(xué)報(bào),2008,57(4):2060-2067.

[10]呂翎,夏曉嵐.非線性耦合時(shí)空混沌系統(tǒng)的反同步研究[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(2):814-818.

[11]鄭文娜,欒紅霞,呂晶,岳麗娟.狀態(tài)觀測器法實(shí)現(xiàn)改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)同步[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2012, 01:72-76.

[12]WangXin,LiChuan-dong,HuangTing-wenet.al.Impulsivecontrolandsynchronizationofnonlinearsystemwithimpulsetimewindow[J].NonlinearDynamics. 2014, 78(4): 2837-2845.

[13]YeDan,ZhaoXin-gang.Robustadaptivesynchronizationforaclassofchaoticsystemswithactuatorfailuresandnonlinearuncertainty[J].NonlinearDynamics. 2014,76(2): 973-983.

[14]徐瑞萍,高存臣.基于線性控制的一類金融系統(tǒng)的混沌同步[J].控制工程,2014,21(1):18-22.

[15]沈志萍,閆榮,鄔依林.不確定混沌系統(tǒng)的到達(dá)跟蹤控制[J]. 電光與控制,2015,22(11): 52-55.

[16]梅蓉,吳慶憲,姜長生.異結(jié)構(gòu)時(shí)滯不確定混沌系統(tǒng)的同步/反同步控制及其應(yīng)用[J]電光與控制：2011,18(5):37-41.

[責(zé)任編輯：張懷濤]

Adaptive Reaching Synchronization Control for a Class of Chaotic Systems with Unknown Parameters

CHEN Xiu-qin1, CHEN Li-yan2

(1.School of Mathematics and Computer Science，Xinyang Vocational and Technical College, Xinyang 464000，China;2.Preschool education department, Anyang Preschool Education College, Anyang 456150，China)

The adaptive reaching synchronization for a class of chaotic systems with unknown parameters is presented. Based on Lyapunov stability theory, an adaptive synchronization controller is developed; the adaptive laws of parameters are also given. The designed controller is easily implemented in practice to guarantee the output asymptotic synchronization of the two different chaotic systems. An illustrative example shows the effectiveness of the presented method.

Chaotic systems; Adaptive reaching synchronization; Unknown parameters

2016-04-20

國家自然科學(xué)基金( 61203293)；河南省重點(diǎn)科技攻關(guān)計(jì)劃(122102210131)

陳秀琴(1981-),女,河南信陽人,講師，主要從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)和混沌控制理論方面的研究;陳利艷(1980-)，女，河南安陽人，講師，主要從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的研究。

TN278

A

1671-5330(2016)05-0049-04