執(zhí)行器飽和時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制

姚合軍，袁 野，喬 玥，袁付順

(安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 安陽 455000)

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執(zhí)行器飽和時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制

姚合軍，袁 野，喬 玥，袁付順

(安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 安陽 455000)

研究了一類執(zhí)行器飽和時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制問題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論，利用線性矩陣不等式方法，給出了系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件和狀態(tài)反饋控制器設(shè)計方法。通過在Lyapunov函數(shù)中引入?yún)?shù)矩陣，降低了所得穩(wěn)定條件的保守性。

執(zhí)行器飽和；時滯系統(tǒng)；線性矩陣不等式

1 引言

飽和現(xiàn)象廣泛地存在于各種動力系統(tǒng)中，如果不考慮飽和限制，那么嚴(yán)重情況下將導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降甚至不穩(wěn)定。在實際工程控制過程中，控制輸入往往需要滿足一定的條件，而執(zhí)行器飽和是一種最為常見的約束控制，因此有關(guān)于執(zhí)行器飽和的研究具有非常重要的實際意義。自上世紀(jì)60年代Fuller[1]首次提出飽和系統(tǒng)以來，執(zhí)行器飽和控制問題得到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[2-3]。Hu等人在文獻(xiàn)[4]中針對帶有執(zhí)行器飽和的離散系統(tǒng)，利用飽和非線性特性，提出了凸組合的處理方法，通過引入輔助矩陣將穩(wěn)定條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件和控制器設(shè)計方法。隨后Zhou等人把飽和系統(tǒng)的設(shè)計方法引入到飽和網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中來，如文獻(xiàn)[5]，研究了飽和網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定問題。接著，又有一部分學(xué)者對帶有飽和約束的時滯系統(tǒng)進行了研究。張美玉等人對具有非線性執(zhí)行器飽和的時滯切換系統(tǒng)進行研究，結(jié)合線性矩陣不等式方法設(shè)計了系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器[6]。陳東彥，司玉琴等人研究了多輸入多輸出飽和時滯系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性問題，通過迭代算法進行吸引域估計。然而上述文獻(xiàn)對飽和時滯系統(tǒng)的研究過程中所設(shè)計的Lyanpunov函數(shù)缺少恰當(dāng)?shù)膮?shù)矩陣，所得結(jié)果具有較大的保守性。正因為此，本文就是在前人研究的基礎(chǔ)上，針對一類具有執(zhí)行器飽和的時滯系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，利用線性矩陣不等式方法，通過在Lyapunov函數(shù)中引入?yún)?shù)矩陣，得到了保守性較小的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件和狀態(tài)反饋控制器設(shè)計方案。

2 問題描述

考慮下面具有輸入飽和的時滯系統(tǒng)：

x(t)=φ(t)t∈[-d,0]

(1)

其中x(t)∈Rn是狀態(tài)向量，u(t)∈Rm是控制輸入向量，A,Ad∈Rn×n是系統(tǒng)矩陣，B∈Rn×m是控制輸入矩陣，φ(t)=[φ1(t)φ2(t)…φn(t)]T∈Rn是給定的系統(tǒng)初始狀態(tài)，d是系統(tǒng)狀態(tài)時滯，飽和函數(shù)sat(u(t))=[sat(u1(t)),sat(u2(t)),…,sat(um(t))]，具有如下形式：

本文旨在設(shè)計系統(tǒng)(1)的狀態(tài)反饋控制器：

u(t)=2Kx(t)

(2)

其中K∈Rm×n是待定的常數(shù)矩陣。把(2)代入系統(tǒng)(1)中得到閉環(huán)系統(tǒng)：

x(t)=φ(t)t∈[-d,0]

(3)

ηT(t)η(t)≤xT(t)KTKx(t)

(4)

設(shè)計目的是確定形如(2)的控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的。

(1)S<0

3 主要結(jié)果

定理1：如果存在常數(shù)ε>0，對稱正定矩陣P,Q∈Rn×n和矩陣K∈Rm×n使得下面矩陣不等式

Θ=[ ATP+P A+Q+εKTKPAdPB?-Q0??-εI]<0

(5)

成立，則閉環(huán)系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的。

證明：選取Lyapunov函數(shù)

P,Q∈Rn×n是待定的對稱正定矩陣。

V(t)沿系統(tǒng)(3)求導(dǎo)得到

+2xT(t)PBη(t)+xT(t)Qx(t)

-xT(t-d)Qx(t-d)

=φT(t)[P A+ ATP+QPAdPB?-Q0??0]Φ(t)

(6)

其中

由(4)式得到：

0≤ΦT(t)[εKTK00?00??-εI]Φ(t)

其中ε是任意小的一個正數(shù)。

把上式帶入(6)式得到

其中

Θ=[ ATP+P A+Q+εKTKPAdPB?-Q0??-εI]

由Lyapunov穩(wěn)定性理論知道當(dāng)條件(5)成立時，閉環(huán)系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的。

[AX+B K+XTAT+ KTBT+ QAdX εB KT?- Q00??- εI0???- εI]<0

(7)

證明：由引理1知道不等式(5)等價于

[P A+ ATP+QPAdPBεKT?-Q00??-εI0???-εI]<0

上式左右兩邊分別乘以分塊對角矩陣diag{P-1,P-1,ε-1,ε-1I}得到：

[ AP-1+P-1 AT+P-1QP-1AdP-1ε-1BP-1KT?-P-1QP-100??-ε-1I0???-ε-1I]<0

[(A+BK)P-1+P-1(A+BK)T+P-1QP-1AdP-1ε-1BP-1KT?-P-1QP-100??-ε-1I0???-ε-1I]<0

4 結(jié)論

本文給出了一類帶有執(zhí)行器飽和的時滯系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定條件和狀態(tài)反饋控制設(shè)計方法，通過在Lyapunov函數(shù)中引入?yún)?shù)矩陣，降低了系統(tǒng)穩(wěn)定條件的保守性。

[1]A.T.Fuller.Inthelargestabilityofrelayandsaturatingcontrolsystemswithlinearcontrollers[J].InternationalJournalofControl, 1969，10(4):457-480.

[2]WangCL.Semi-globalpracticalstabilizationofnonholonomicwheeledmobilerobotswithsaturatedinputs[J].Automatica, 2008,44(3): 816 - 822.

[3]HuTingshu,LinZongli,ChenBenM.Ananalysisanddesignmethodforlinearsystemssubjecttoactuatorsaturationanddisturbance[J].Automatica, 2002,38(2):351-359.

[4]HuTingshu,LinZongli,ChenBM.Analysisanddesignfordiscrete-timelinearsystemssubjecttoactuatorsaturation[J].Systems&ControlLetters, 2002,45(2):97-112.

[5]ZhouRujuan,ZhangXiaomei,ShiGuiyin.Outputfeedbackstabilizationofnetworkedsystemssubjecttoactuatorsaturationandpacketdropout[J],LectureNotesinElectricalEngineering, 2012,136:149-154.

[6]張美玉, 劉玉忠. 具有非線性執(zhí)行器飽和的時滯切換系統(tǒng)的控制器設(shè)計[J]. 沈陽師范大學(xué)學(xué)報, 2009,27(2):144-147.

[7]陳東彥，司玉琴.具有飽和狀態(tài)反饋離散時滯系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性[J].自動化學(xué)報，2008,34(11)：1445-1448.

[8]俞立. 魯棒控制-線性矩陣不等式處理方法[M]. 北京:清華大學(xué)出版社,2002.

[責(zé)任編輯：張懷濤]

State Feedback Control for a Class of Time-delay Systems with Actuator Saturation

YAO He-jun, YUAN Ye, QIAO Yue, YUAN Fu-shun

(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang 455000,China)

The problem of state feedback control for a class of time-delay systems with actuator saturation is considered in this paper. Based on the Lyapunov stability theory, the stability condition and the state feedback controller design method are obtained by using the linear matrix inequality approach. By introducing the matrix into Lyapunov functional, the proposed conditions are less conservative than the previous results.

Actuator Saturation; Time-delay Systems; Linear matrix inequality

2016-08-26

國家自然科學(xué)基金項目(61073065)；國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項目(201610479045)；安陽師范學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新基金項目(ASCX/2016-Z113)

姚合軍(1980-)，男，副教授，主要從事網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、飽和系統(tǒng)、變結(jié)構(gòu)控制等方面的研究。

TP273

A

1671-5330(2016)05-0046-03