基于日度低頻價格的波動率預測

劉威儀, 孫便霞， 王明進

(1. 首都經(jīng)濟貿(mào)易大學金融學院， 金融風險研究院， 北京 100070； 2. 南方科技大學金融數(shù)學與金融工程系， 深圳 518055； 3. 北京大學光華管理學院， 北京 100871)

基于日度低頻價格的波動率預測

劉威儀1, 孫便霞2， 王明進3*

(1. 首都經(jīng)濟貿(mào)易大學金融學院， 金融風險研究院， 北京 100070； 2. 南方科技大學金融數(shù)學與金融工程系， 深圳 518055； 3. 北京大學光華管理學院， 北京 100871)

利用作者提出的GARCH-X的框架，將以往文獻中提出的各種基于金融資產(chǎn)的最高、最低、開盤和收盤等低頻價格信息的波動率靜態(tài)估計，統(tǒng)一地擴展成對波動率的動態(tài)預測模型.通過對上證指數(shù)近十幾年數(shù)據(jù)的實證分析，并借助于對波動率的高頻估計和預測評估的一些最新研究成果，本文揭示出合理地利用價格極差及開盤價的信息可以顯著地提高對波動率及風險價值的預測能力.

波動率; 風險價值; 極差; GARCH-X模型; 預測

0 引 言

對金融資產(chǎn)價格波動率(volatility)的估計和預測一直以來都是金融計量研究中一個備受關注的問題.在經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價模式下，標的資產(chǎn)的價格被設定為服從幾何布朗運動，其中的波動率為一個常數(shù)，此時大家關注的基本上是一個參數(shù)估計的問題，即如何根據(jù)觀測價格獲得對波動率的估計.后來，隨著人們對資產(chǎn)價格變化中的“波動簇集”等現(xiàn)象的認識，如何描述波動率的動態(tài)規(guī)律并對其進行預測成了問題的關鍵.從上個世紀八十年代開始，各種GARCH類以及隨機波動率類的參數(shù)模型被提出來并被深入研究，且在風險管理、投資組合以及資產(chǎn)定價等各類金融決策中得以廣泛的應用.

近些年來，基于日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)的各種對波動率的非參數(shù)估計方法又成為了該領域的熱點.所謂的高頻數(shù)據(jù)原則上是指記錄全部交易過程的數(shù)據(jù)，實際上的高頻數(shù)據(jù)則多是以分鐘或秒為采集頻率的交易數(shù)據(jù).理論上看，利用高頻交易數(shù)據(jù)可以得到對波動率更加精準的估計，通常稱之為已實現(xiàn)波動率(realized volatility, RV)估計[1].然而，實際的高頻數(shù)據(jù)由于受到微觀結(jié)構(gòu)噪聲等因素的影響，使得直接由高頻的原始價格構(gòu)造出來的RV往往不能給出波動率的相合估計[2].因此，一種策略是選用5min-30min等稍低的采樣頻率來構(gòu)造RV，另外的方案則是設法消除微觀噪聲的影響，其中后者也是近幾年此類研究的一個基本方向.

相比上述估計技術(shù)上的困難，在具體應用當中，高頻交易數(shù)據(jù)的獲取也并不容易，比如一些國內(nèi)主要金融數(shù)據(jù)庫中的高頻數(shù)據(jù)通常往往只有最近幾年的數(shù)據(jù)，且存在著價格昂貴、數(shù)據(jù)缺失比較嚴重等問題.因此，將基于高頻數(shù)據(jù)的波動率估計和預測應用到現(xiàn)實的投資決策中目前還是有諸多的局限性.

從定義上看，波動率是指資產(chǎn)在一個時段內(nèi)收益率的方差或標準差.回顧早期基于低頻信息對波動率估計的文獻可以看出，除了利用每天的收盤價格得出日收益率及其對應的樣本方差估計之外，在一定的模型假定下，充分利用每天的開盤價、最高價和最低價等公開的低頻信息可以得到關于波動率的更加有效的估計.比如，Parkinson[3]利用每天的價格極差(即最高價和最低價的差值)構(gòu)造出的波動率估計比常規(guī)使用日收益率平方得到的估計要有效4.9倍，即后邊一個估計的均方誤差是前者的4.9倍.而Garman 和 Klass[4]利用最高價、最低價、開盤價和收盤價給出的波動率估計則比使用收益率平方給出的估計要有效8.4倍.如果基于同樣的模型設定，假如按照每天連續(xù)交易時間4 h計算，那么容易推算出，上述估計的效率與由每28 min采樣得出的RV估計的效率是相近的.如此看來，只要充分地利用公開的低頻價格信息原則上是可以得出接近由高頻數(shù)據(jù)給出的一些波動率估計的.

當然，上述的結(jié)果在理論上僅限于對波動率的靜態(tài)估計.特別地，無論是Parkinson的估計還是Garman-Klass的估計都是基于對數(shù)價格服從無漂移的布朗運動的模型假設.對于各種波動率是動態(tài)的模型假定，上述結(jié)果的理論基礎顯然不復存在.因此，在考慮波動率的動態(tài)模型時，直接利用Parkinson估計與收益率平方估計的倍數(shù)關系并不合適.從這個意義上講，能夠預測每天價格的極差(比如文獻[5，6])也并不等同于就能夠給出波動率的預測.

為此，文獻[7]利用GARCH模型的框架提出了GARCH-R模型，即將價格極差代替收益率的平方嵌入到GARCH模型中，該模型將條件方差表達成過去的價格極差序列的一個線性組合.實證的結(jié)果表明了該模型相比傳統(tǒng)的GARCH模型無論在對波動率的預測還是進行風險管理等方面都有顯著的改善.另外可以參見文獻[8]中類似的研究.

本文進一步擴展了文獻[7]的思路，主要的貢獻體現(xiàn)在如下幾個方面： 1)結(jié)合Garman和Klass[4]以及Rogers和Satchell[9]等利用開盤價、收盤價、最高價和最低價等低頻價格信息給出的對波動率的不同的靜態(tài)估計形式，進一步提出了GARCH-GK以及GARCH-RS等新的模型形式，并通過實證分析揭示出這些模型在波動率預測和風險管理方面的優(yōu)勢；2)通過上述模型，考察了無交易時段(即下午收盤之后到第二個交易日開盤之前的時段)對預測波動率的影響；3)在進行波動率預測的比較方面采用了此類研究中所提出的一些最新的標準和比較方法[10].

1 對波動率的靜態(tài)估計

本文將波動率定義為一個時段內(nèi)資產(chǎn)收益率的方差.在早期的研究當中，往往都假定波動率是一個常數(shù).比如在Black-Scholes的框架下，資產(chǎn)的價格服從幾何布朗運動，如果記St為資產(chǎn)價格，且pt=lnSt，那么易知pt服從

dpt=μ*dt+σdWt

(1)

(2)

(3)

(4)

對于Parkinson估計和Garman-Klass估計的應用及各種推廣形式的研究一直受到人們的關注，可參見文獻[9，12-14]以及文獻[15-17]等.

下面給出兩種情形下的拓展.

XRS,t=ut(ut-ct)+dt(dt-ct)

(5)

其二，如果考慮一天里無交易的時段，即從上一個交易日的收盤到今天的開盤屬于無交易時期，記為[t-1,t-1+f]，其中0

圖1 無交易時段的示意圖

(6)

(7)

類似地，可以得到考慮無交易時段加入開盤價信息時式(3)、式(4)、式(5)三種估計的改進形式.為表達簡潔起見，將其統(tǒng)一列在表1中.由于此時的開盤價Ot已經(jīng)有別于前一個交易日的收盤價Ct-1，因此加入這個價格的信息可以進一步增加對波動率估計的精度.

值得特別強調(diào)的是，此時由于交易只在[t-1+f,t]的時段內(nèi)發(fā)生，因此觀測到的日內(nèi)最高價Ht和最低價Lt都是就該時段內(nèi)而言的.

2 GARCH-X模型

rt=σt·at,at～i.i.d.(0,1)

(8)

如果將式(1)的價格模型予以推廣，假定在給定Ωt-1的條件下，價格服從局部常數(shù)的布朗運動，即

dp(t-1+τ)=μtdτ+σtdW(τ),τ≥0

(9)

(10)

(11)

(GARCH-GK模型)

(12)

(GARCH-RS模型)

(13)

而且，為了考慮無交易時段的影響，又可以分別將上述模型(10)-(13)中的XC,t，XP,t，XGK,t，XRS,t分別替換為表1中的XC*,t，XP*,t，XGK*,t，XRS*,t并得到

(GARCH-C*模型)

(14)

(GARCH-P*模型)

(15)

(GARCH-GK*模型)

(16)

(GARCH-RS*模型)

(17)

為了統(tǒng)一起見，不妨將式(10)和式(11)分別記作GARCH-C和GARCH-P模型.當然，為了考慮波動率變化中可能的非對稱效應，即正負非預期收益率對未來波動率的影響可能存在著區(qū)別，可以類似于文獻[20]中的設置，在上述式(10)-式(17)中加入非對稱的項，從而進一步拓展上述模型.比如，在模型(10)中加入非對稱項就是所謂的GJR-GARCH模型，文獻[7]也曾考慮了在式(11)中加入非對稱項的情形.

如表1所示，在對波動率進行靜態(tài)估計的時候，Garman-Klass估計相比收益率平方和Parkinson的極差估計更為有效，那么，通過上述的框架將其納入到波動率的動態(tài)預測中是否可以提高預測的效果就是一個值得研究的問題.為此，本文將通過實證的分析來考察和比較上述八種模型在波動率預測中的效果.為了簡潔起見，后面的實證分析沒有考慮加入非對稱項的形式.

3 模型預測能力的評價

為了評價不同模型的預測能力，既可以通過比較它們對波動率本身的預測來進行，也可以結(jié)合某種具體的投資決策比如風險管理來比較不同模型的運用效果.

3.1 對波動率的預測

由于真實的波動率是不可觀測的，在評價和比較波動率模型時通常要借助真實波動率的一些“代理值”(proxy).比如收益率的平方或者利用高頻交易數(shù)據(jù)構(gòu)造的各種已實現(xiàn)波動率估計.

但是，代理值和真實值之間的誤差可能會使得預測評價出現(xiàn)不可忽視的偏差，甚至出現(xiàn)依據(jù)不同的損失函數(shù)會挑選出完全不同的“最優(yōu)”模型[21,22].因此，在評價過程中選擇所謂“穩(wěn)健的(robust)”損失函數(shù)就顯得尤為重要.穩(wěn)健性是指當采用一種損失函數(shù)來比較兩個不同的預測值時，不管是采用代理值還是真實值得到的優(yōu)劣次序是一致的.除此之外，一個好的損失函數(shù)還應該不依賴于預測值和代理值的尺度變化(re-scaling)，即如果同時將其乘以某個相同的倍數(shù)，不應該影響評價的結(jié)果.這樣的損失函數(shù)被稱為滿足齊次(homogeneous)條件.

最近，Patton[23]給出了一類同時滿足穩(wěn)健性和齊次性要求的損失函數(shù)，具體形式為

(18)

表1 幾種不同的低頻波動率估計

無交易時段的情形已經(jīng)不同.

一旦確定了波動率的代理值及損失函數(shù)的形式，評價的原理即是比較不同模型樣本外(out-of-sample)預測結(jié)果的平均損失.考慮到樣本選取的隨機性，需要針對模型的預期損失進行統(tǒng)計檢驗.這種檢驗比較既可以在模型之間兩兩地進行，也可以同時對幾個模型進行多重比較.

所謂的兩兩比較就是判斷比如模型i和模型j對應的預期損失是否存在顯著性的差異，即檢驗假設

H0∶E[dij,t]=0 H1∶E[dij,t]≠0

(19)

相比之下，對模型預測能力的多重比較則是同時針對多個模型之間的比較.本文采用是有控制的多重比較方法，即檢驗某一個模型(稱為參照模型，記為模型0)是否同時都優(yōu)于另外幾個模型k=1,2,…,m，或者說相比其它m個模型，模型0是否具有所謂的超預測能力(superiorpredictionability,SPA).沿用前面的記號，此時需要檢驗的假設是

(20)

拒絕假設式(20)意味著至少有一個E[d0k,t]>0，即m個模型當中至少有一個的預測效果好于所選定的參照模型.Hanson[25]給出了檢驗假設式(20)的Bootstrap方法，細節(jié)在此從略.

3.2 對風險價值的預測

波動率預測在金融決策中的一個應用就是為了更好地進行風險管理，因此，除了從統(tǒng)計意義上比較不同模型的預測效果之外，下面從風險管理的角度，比較本文的模型對風險價值VaR和條件風險價值CVaR(又稱為expected shortfall)的預測效果.

VaRα,t+1=μt+1+Zασt+1

(21)

這里的Zα是標準正態(tài)分布的α分位數(shù)，σt+1就是在t時刻對t+1期波動率的預期值，在本文中由不同的GARCH-X模型產(chǎn)生；此時對應CVaR的預測值則由下式給出

CVaRα,t+1=E[rt+1|rt+1≤VaRα,t+1]

(22)

在風險價值的預測評價方面，VaR的預測評價方法已經(jīng)較為豐富和全面[26-27]，而CVaR的預測評價方法則主要是利用損失函數(shù)[28].為了統(tǒng)一地評價不同模型對VaR和CVaR的預測效果，本文仍然采用了比較損失函數(shù)的方法.

仿照文獻[26]，對VaR預測的損失函數(shù)采用的是

(23)

對于CVaR，一種簡單的做法是采用與VaR完全相同的評價形式[29]，但嚴格意義來講，應該考慮到二者定義上的不同.因此，這里采用了文獻[28]給出的對CVaR預測的預測損失函數(shù)

(24)

在此基礎之上，同樣也可以運用Diebold-Mariano檢驗進行模型的兩兩比較以及Hansen的SPA檢驗.

4 實證分析

下面以對上證指數(shù)日波動率的預測為例來考察和比較第3節(jié)中提出的8個GARCH -X模型的預測效果.選取的數(shù)據(jù)從2000年1月5日到2011年12月30日共有2 900個觀測，其中2005年1月4日以后的1 701天的數(shù)據(jù)作為樣本外觀測用于比較模型的預測效果.樣本外觀測每天波動率的代理值通過高頻交易數(shù)據(jù)由兩種方法計算得到，一種是所謂的已實現(xiàn)波動率(realized volatility, RV)，即將一天里每5 min收益率的平方相加而得；另外一種是已實現(xiàn)極差波動率(realized range volatility, RRV)，是將每5min時段內(nèi)的極差平方除以4ln 2之后求和(參見文獻[30，31]等).考慮到極差估計有低估的傾向，這里的RRV采用了與Martins和vanDijk[31]中式(11)一樣的調(diào)整方法.

需要指出的是，無論是RV還是RRV都是基于交易時段的高頻數(shù)據(jù)得到的，由于每天交易的時段只有四個小時，原則上這里的RV或RRV仍然不能直接作為全天波動率的度量.為此，這里采用了Hansen和Lunde[32]提出的方法將隔夜無交易時段的波動考慮進來，具體來說，就是用下式將RV調(diào)整為全天的波動率度量

(25)

其中rON,t表示隔夜收益率，即開盤價與上一個交易日收盤價的對數(shù)差值，而ω1和ω2是兩個常數(shù)，可按照文獻[32]中的式(8)計算.盡管文獻[32]中還給出了另外兩種調(diào)整方法，但是按照最近Ahoniemi和Lanne[33]的研究，這種線性組合的調(diào)整方法相對更加準確一些.類似地對RRV也用相同的方法調(diào)整為全天波動率的度量.這樣得到的1 701天的RVa和RRVa序列的相關系數(shù)為0.98.

表2 不同模型波動率預測的損失函數(shù)平均值比較

注： 1)這里計算損失函數(shù)時波動率的代理值采用的均是RVa； 2)第一行的所有X項為GARCH-X模型的簡寫， 例如C對應的即是

GARCH模型、P對應GARCH-P模型， 具體見式(10)～ 式(17); 3)L1,L2,L3,L4分別為b={1,0,-1,-2}對應的損失函數(shù)，

具體見式(18).

預測值序列按照如下的滾動方式產(chǎn)生：首先用2000年1月5日到2004年12月31日的1 199個觀測擬合GARCH-X模型并由此給出未來一個交易日(即2005年1月4日)波動率的預測值；然后將擬合模型的窗口向前滾動一天，即用2000年1月6日到2005年1月4日的1 199個觀測擬合模型并給出下一個交易日的波動率預測，以此類推，直至得到2011年12月31日的波動率預測.這樣最終得到波動率預測值序列包含了1 701個觀測.

由各個模型給出的預測值及每天的代理值即可按照式(18)得到每個模型的損失函數(shù)序列.表2給出了不同模型損失函數(shù)的平均值，其中代理值采用的是RVa.采用RRVa的情形與此類似，不再單獨列出.

分析表2的結(jié)果可以得到如下的一些認識：1)對于這里展示的幾種損失函數(shù)而言，七個GARCH-X模型基本上都比GARCH模型(即表2中對應“C”的列)預測效果要好一些，唯一的例外是RS對應的模型，在b取較大值的損失函數(shù)時顯得比GARCH要弱一些，但對b較小的損失函數(shù)，RS的模型也要好于傳統(tǒng)的GARCH.總的來看，結(jié)合了開盤價、最高價及最低價等低頻價格信息的確可以改善只依賴于收盤價格的GARCH模型的預測能力.2)從順序上看，預測效果最好的模型是由XP*,t及XGK*,t對應的GARCH-X模型，其次是由XP和XRS*對應的模型，由XGK及XC*給出的模型預測效果更弱一些，最后XRS模型的效果比XC對應的模型略微好一些.這與在表1中給出的靜態(tài)情形下幾種估計效率的次序具有一定的相似性，但是并不完全一致.可以認為，將極差的信息納入動態(tài)模型是最重要的.因為不難看出無論是Parkinson的形式還是Garman-Klass的形式里面都直接包含了極差的信息，相比之下，盡管Rogers-Satchell的估計形式當中也利用了最高價和最低價，卻只是通過比較它們與開盤價或收盤價的差距來捕捉波動的信息，這可能是導致它在預測效果上差一點的原因.3)表2從第2到第5行擬合模型時誤差項采用的是正態(tài)分布，下面第6到9行用的則是t分布，結(jié)果表明擬合模型時采用不同的誤差項分布對于模型的預測效果基本沒有產(chǎn)生太大的影響，只是采用正態(tài)分布時，P*給出的模型效果最好，而采用t分布時，則是由GK*給出了最好的預測效果.

為了避免抽樣的不確定性，可以對幾種模型的期望損失進行兩兩比較推斷，即檢驗假設式(19). 由于對應的情況太多，表3僅給出部分的比較結(jié)果.

在表3給出的結(jié)果中有兩點是明顯的，一是除RS之外的六種GARCH-X模型的預測效果好于GARCH模型(C對應的模型)具有較強的顯著性，特別是在b=-2對應的損失函數(shù)下；二是由于這里只考慮了正態(tài)誤差的情形，預測效果最好的的確是XP*對應的模型，其次是XGK*的模型，兩個模型(特別是XP*)的預測效果顯著地好于其他幾個.盡管采用不同的損失函數(shù)得到的平均損失值有些差異，但是考慮了顯著性之后，基本可以按照預測能力強弱將上述八種模型做如下的分類：第1類是XP*與XGK*對應的模型；第2類是XP和XRS*的模型；第3類是XGK和XC*的模型；第4類是XRS與XC的模型.

表3 模型預測能力的Diebold - Mariano檢驗結(jié)

為了避免兩兩比較推斷所導致增加第一類錯誤的問題，下面的表4 給出了依照MSE損失函數(shù)(即b=0)采用Hansen[25]給出的Bootstrap方法進行多重比較的部分結(jié)果.比如，如果選擇C即GARCH模型作為參照，該檢驗判斷它相比其他7種模型是否具有所謂的超預測能力.因為表4中三種設置給出的SPA檢驗的p-值都很小，因此可以斷定在另外的7種模型中至少存在一個預測能力超過GARCH模型.類似地，選擇C*、P、GK、RS、RS*等作為參照，都可以拒絕SPA的原假設.相比之下，采用GARCH-P*以及GARCH- GK*作為參照，則無論是在正態(tài)誤差還是t分布誤差的設置下，都無法拒絕這樣的假設.因此可以認為，SPA的檢驗再次印證了前面得到的預測能力次序的結(jié)論.波動率代理值取為RRV時結(jié)果類似，不再贅述.

為了考察幾種模型對上證指數(shù)下一個交易日VaR及CVaR的預測能力，本文依照前面的滾動窗口設計擬合模型并得到未來一個交易日的波動率預測值，以擬合窗口內(nèi)收益率的樣本平均值作為均值的預測值，基于估計模型時對條件分布的設定及給出的波動率預測值來得到VaR和CVaR的預測值.表5給出了采用不同模型預測置信水平95%的VaR和CVaR的結(jié)果對比.

從對VaR的預測來看，本文提出的七種模型的損失函數(shù)值均小于GARCH模型對應的值，而且，后面六種利用了日內(nèi)最高價和最低價等極值價格信息的模型給出的損失函數(shù)值與GARCH模型的結(jié)果存在著顯著性的差距.結(jié)合損失函數(shù)以及DM檢驗的結(jié)果，顯示出GK*和RS*模型對VaR的預測效果是最好的.另外能夠看出，帶*的模型比對應的不帶*的模型的預測效果要好，這意味著考慮無交易時段并利用開盤價的信息的確可以提高對VaR的預測效果.SPA檢驗的結(jié)果顯示后面的四種模型具備對VaR值的超預測能力.

對CVaR的預測結(jié)果基本上和VaR的情形是相似的.比如本文七種模型的預測效果都比GARCH的效果好，而且，除了GK和RS之外，與GARCH相比的優(yōu)勢都具有一定程度的顯著性.對比帶*和對應的不帶*的模型，顯示出考慮無交易時段的存在對于預測CVaR的作用也是正向的.與VaR的結(jié)果不同的是，SPA檢驗顯示出后面六種模型均具備對CVaR的超預測能力.相比文獻[34，35]的工作，本文的結(jié)果則進一步印證了充分地利用低頻價格信息對于風險管理具有實質(zhì)性的意義.

表4 Hansen的超預測能力(SPA)檢驗[25]

注：1)該表分別給出了基于兩種誤差分布設置時依據(jù)MSE損失函數(shù)給出的SPA檢驗結(jié)果； 2)表中每行代表該模型作為參照模型與其它模型比較，拒絕原假設意味著該模型不具備超預測能力； 3)表中p值依據(jù)10 000次Bootstrap抽樣結(jié)果得到，SPAl, SPAc,SPAu分別對應的三種均值向量的設置方式，具體參見文獻[25].

表5 對VaR以及CVaR預測結(jié)果的比

注：1)這里給出的是置信水平95%的VaR和CVaR的預測效果，采用正態(tài)條件分布； 2)Loss為預測損失函數(shù)加總值； 3)DM給出了與C模型(即常規(guī)的GARCH模型)相比的t-統(tǒng)計量值，t-值為正表示該列模型優(yōu)于GARCH模型，**表示在5%水平下顯著，*表示在10%水平下顯著； 4)SPA檢驗給出了Bootstrap的p值，拒絕原假設意味著該模型不具備超預測能力.

5 結(jié)束語

本文擴展了傳統(tǒng)的GARCH模型的構(gòu)造思路，將波動率的各種靜態(tài)估計方法以一種比較統(tǒng)一的形式納入到了對波動率動態(tài)預測的問題當中來，以使得在預測過程中能夠使用到了除了收盤價之外的諸如開盤價、最高價、最低價等較為全面的低頻價格信息.借助于最近幾年發(fā)展起來的對波動率高頻估計以及預測評價的一些新的進展，本文對上證指數(shù)的波動率和風險價值的預測進行了實證分析.結(jié)果顯示出只要充分地利用收盤價之外的低頻價格信息，的確可以顯著地改善對波動率和風險價值的預測能力.

眾所周知，高頻交易信息的獲取和處理對于很多人而言還是較為困難的事情，相比之下，如何充分地利用每日的開盤、收盤、最高以及最低等低頻的價格信息來獲取刻畫市場風險及流動性的度量仍然是值得學術(shù)探索與實際決策的共同關注，譬如最近Corwin和Schultz[36]利用每天的最高價和最低價對有效價差估計的研究也是基于了同樣的關切.

此外，將本文的工作與Hansen和Lunde[18]的研究結(jié)果進行對比是有意義的，后者對三百多種ARCH類模型的預測效果進行比較后揭示通過復雜的模型設置并沒有顯著地提高GARCH模型的預測能力.本文的結(jié)果表明了，基于相同的模型設置，通過擴展對其他低頻價格的利用，卻可以顯著地改進GARCH模型的預測效果.

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Volatility forecasting based on daily frequency prices

LIUWei-yi1,SUNBian-xia2,WANGMing-jin3*

1. Academy of Financial Risk Research, School of Finance, Capital University of Economics and Business, Beijing 100070, China; 2. Department of Financial Mathematics and Financial Engineering, South University of Science and Technology of China, Shenzhen 518055, China; 3. Guanghua School of Management, Peking University, Beijing 100871, China

Within the GARCH-X framework put forward by the authors, this paper considers several new volatility forecasting models based on daily high, low, opening and closing prices of financial assets. These models combine the GARCH modeling procedure and the results of volatility estimation in the early literature, and therefore extend the static estimators into the dynamic driving factors of volatility. Empirical results with the daily prices of the Composite Index of Shanghai stock market over the last decade reveal that the forecasting performances of these new models for volatility and Value-at-Risk are significantly better than the traditional GARCH model.

volatility; Value-at-Risk; range; GARCH-X model; forecast

2013-05-12；

2015-05-19.

國家自然科學基金資助項目(71271007).

王明進(1970—)， 男， 山東人， 教授, 博士生導師. Email: mjwang@gsm.pku.edu.cn

F830; F832; O212

A

1007-9807(2016)01-0060-12