多險種多復(fù)合Poisson-Geometric常利率風(fēng)險模型預(yù)警區(qū)問題

賀小麗,余國勝

(江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 湖北 武漢430056)

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多險種多復(fù)合Poisson-Geometric常利率風(fēng)險模型預(yù)警區(qū)問題

賀小麗,余國勝

(江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 湖北 武漢430056)

摘要：建立多險種多復(fù)合Poisson-Geometric過程的常利率風(fēng)險模型,充分應(yīng)用盈余過程的強(qiáng)馬氏性,得到第一預(yù)警區(qū)的一個條件矩母函數(shù)所滿足的積分-微分方程,當(dāng)c=0時給出具體的實例以解釋我們的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：利率;多險種多復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型;預(yù)警區(qū);積分-微分方程

0引言

破產(chǎn)概率問題是保險核心問題之一，可以為保險公司決策者提供一個早期的風(fēng)險警示.但是，假如保險公司可以從外部(或公司內(nèi)部各業(yè)務(wù)之間)得到幫助，在未來的某個時間恢復(fù)過來，并把扭虧為盈的時間稱為預(yù)警區(qū)，因此，預(yù)警區(qū)問題的研究是十分重要的.針對常利率的復(fù)合Poisson風(fēng)險模型，于金西等[1]討論了預(yù)警區(qū)的矩母函數(shù)及各階矩.崔巍[2]在復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型下，對第一預(yù)警區(qū)問題進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[3]中考慮到利率的影響，建立一類帶常利率復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型，充分應(yīng)用盈余過程的強(qiáng)馬氏性，針對指數(shù)索賠情形下給出其精確解.但是所研究的險種是單一的.然而，隨著保險公司經(jīng)營規(guī)模的不斷擴(kuò)大以及新險種的開發(fā)，用此風(fēng)險模型來描述風(fēng)險經(jīng)營過程就具有一定的局限性.文獻(xiàn)[4]中建立了多險種多復(fù)合Poisson-Geometric過程的常利率風(fēng)險模型，得到了該模型的生存概率所滿足的積分-微分方程.文獻(xiàn)[5]中討論了多險種多復(fù)合Poisson-Geometric常利率風(fēng)險模型的折現(xiàn)懲罰期望函數(shù).筆者則在此模型基礎(chǔ)上，充分應(yīng)用盈余過程的強(qiáng)馬氏性,得到第一預(yù)警區(qū)的一個條件矩母函數(shù)所滿足的積分——微分方程,當(dāng)c=0時給出了具體的實例以解釋我們的結(jié)果.

1模型引入

定義1.1設(shè)(Ω,F,P)為給定的完備概率空間，本文中所用到的隨機(jī)變量均定義在此空間上.

設(shè)保險公司在t時刻(t≥0)的盈余U(t)滿足如下方程：

(1.1)

其中,c>0是常保費(fèi)率,δ≥0為常利率,

N1(t)～PG(λ1t,ρ1),N2(t)～PG(λ2t,ρ2),…,Nn(t)～PG(λnt,ρn),(0≤ρi<1,i=1,2,…,n),

此模型稱為常利率多險種多復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型.

2預(yù)備知識及引理

以下考慮在常數(shù)利率δ下多險種多復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型，為此先給出Poisson-Geometric過程的定義如下:

定義2.2設(shè)λ>0,0≤ρ<1,稱{N(t);t≥0}為參數(shù)λ,ρ復(fù)合Poisson-Geometric過程，如果滿足：

(i)N(t)=0；

(ii) {N(t);t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量;

注2.1由定義2，當(dāng)ρ=0時，復(fù)合Poisson-Geometric過程就是Poisson過程.因此，復(fù)合Poisson-Geometric過程是Poisson過程的一種推廣.

Pr{Ni(t)=0}=e-λit=1-λit+o(t),

3主要結(jié)果及證明

定理3.1記

對盈余過程由(0.1)式刻畫的風(fēng)險模型，第一預(yù)警區(qū)的條件矩母函數(shù)Φ(-z,0,r)滿足積分-微分方程：

(3.1)

其中：Φ′(·)為Φ(·)關(guān)于-z取微分.

定理3.1的證明對充分小的dt,考察(T,T+dt]內(nèi)的情形，分以下4種情況討論.

1) 事件B1表示在(T,T+dt]內(nèi),{Ni(t),t≥0},i=1,2,…,n均無跳躍，其概率為

4) 其他情形，即{Ni(t),t≥0},i=1,2,…,n至少兩個存在跳躍，此事件記為B4，其概率為o(dt).

由盈余過程的強(qiáng)馬氏性，有

由全期望公式，我們有

考慮事件B1,在時刻T+dt,U(T+dt)=-z+cdt,則

(3.2)

其中

e-rdtΦ(-z-y+cdt,0,r).

由單調(diào)收斂定理知∫與∑交換次序無問題，所以

(3.3)

考慮事件B3,則

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

由(3.4-3.7)式可得

(3.8)

考慮事件B4,我們有

E-z[e-rT1|B4]P(B4)=E-z[e-rT1|B4]o(dt)=o(dt)

(3.9)

根據(jù)式(3.2-3.3)式,(3.8-3.9)式整理可得

進(jìn)一步整理，可得

上式兩邊同時除以dt,并令dt→0,可得

即

注3.1當(dāng)m=0,n=1,則(3.1)式為文獻(xiàn)[3]中的定理(1).

4一個實例

于是

(4.1)

由定理3.1,我們有

(4.2)

代換后可得

(4.3)

上式兩邊關(guān)于-z求偏導(dǎo)

(4.4)

將(4.3),(4.4)式兩邊相加，化簡后可以得到

(4.5)

將(4.5)式兩邊關(guān)于-z求偏導(dǎo)

(4.6)

將(4.6),(4.5)式兩邊相減，整理后可以得到

(4.7)

(4.7)式的特征方程為

(4.8)

該方程有兩個解，分別記為

因此(4.8)式的通解形式為

Φ(-z,0,r)=C1e-x1z+C2e-x2z.

參考文獻(xiàn)5

[1] 于金酉,胡亦鈞,韋曉.常利率復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型中的預(yù)警區(qū)問題[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報, 2010, 30A(1): 1-17.

[2] 崔巍,余旌胡.一類推廣的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型下預(yù)警區(qū)問題的研究[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報, 2012, 32A(1): 27-40.

[3] 鐘朝艷.一類常利率復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型的預(yù)警區(qū)問題[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014, 39(3): 36-40.

[4] 李碧云,余國勝.多險種多復(fù)合Poisson-Geometric過程的常利率風(fēng)險模型[J].湖北大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2015, 37(3): 208-212.

[5] 李碧云,余國勝,姚春臨,等.多險種Poisson-Geometric風(fēng)險模型的折現(xiàn)懲罰期望函數(shù)[J].江漢大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2015, 43(2): 101-104.

[6] 毛澤春,劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險模型及破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2005, 28(3): 419-428.

[7] GRANDEII. Aspects of risk theory[M].New York: Springer-Verlag, 1991.

(責(zé)任編輯趙燕)

Duration of negative surplus for the multi-compound poisson-geometric risk model of multi-type-insurance with a constant interest rate

HE Xiaoli, YU Guosheng

(School of Mathematics and Computer Science,Jianghan University, Wuhan 430056, China)

Abstract:A multi-compound Poisson-Geometric risk model of multi-type-insurance with a constant interest rate is constructed, by taking full advantage of the strong Mark?v property of the surplus process,a integral-differential equation of a conditional moment genetating function for the first duration of negative surplus has been obtained. Finally, we give an explicit example to illustrate our results when c equals to zero.

Key words:interest rate; multi-compound Poisson-Geometric risk model of multi-type-insurance;duration of negative surplus; integral-differential equation

中圖分類號:O211.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:ADOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2016.01.004

文章編號:1000-2375(2016)01-0018-07

通信作者

作者簡介:賀小麗(1994-)，女，本科生；余國勝,, 講師，E-mail:guosyujianghanun@126.com

基金項目:江漢大學(xué)科研啟動項目(2011021)資助

收稿日期:2015-07-22