數學教學要重視核心知識的“核效應”

☉福建省福州第三中學　林　風

數學教學要重視核心知識的“核效應”

☉福建省福州第三中學林風

數學教學內容雖然紛繁復雜、縱橫交錯，但每節(jié)課都有居于教學內容中心的核心知識，它們是每節(jié)課的主干，也是課堂教學的關鍵.正如章建躍博士所言“數學核心知識是數學課程內容結構和功能的基本單位”，這些核心知識具有超越課堂之外的持久價值和遷移價值的概念、方法和技能，是整個教學活動鏈條的關鍵鏈環(huán)，是推動教學活動的軸心和棲息地.當下數學課堂教學普遍存在“內容多但缺核心少味道，有知識但缺思想”的現象，多為繁雜冗余的知識技能枝節(jié)所羈絆，為反復重疊的題海所困擾，疲憊不堪卻不得要領.如何在課堂教學中理解、尋找和把握核心知識，發(fā)揮核心知識的“核效應”是教學是否能夠有效落實課程目標、體現數學本質和促進課堂有效生成的關鍵，筆者從以下四個方面淺談一些教學體會和思考.

一、從數學內涵上理解核心知識的本質性

數學的概念、性質、定理和公式是教學的主要內容，從中尋找和把握數學的核心內容是課堂教學的重中之重.數學的核心知識是指位于學科中心的概念性知識（重要概念、原理、規(guī)律、理論等的基本理解和解釋以及數學發(fā)展過程中所形成的基本思想和方法），這些內容能夠展現當下學習的途徑，具有前沿性、綱領性、思想性和延續(xù)性，是學科結構的主干部分.同時核心知識又具有雙重特性，即表觀特征和本質特征，表觀特征是外在的、宏觀的和表象的，而本質特征則是內隱的、微觀的和本質的.

著名的數學家、數學教育家赫斯指出：數學教學的問題“并不在于教學的最好的方式是什么，而在于數學到底是什么……如果不正視數學的本質問題，便解決不了關于教學上的爭議”，如何深刻理解和詮釋教學內容中的核心知識是教學的首要任務.照本宣科、依樣畫葫蘆的教學只能蜻蜓點水，浮光掠影，死背硬記，套題應試.重視知識的機械記憶和表層運用，以及知識在學習過程中的程序性和操作性的作用，死摳知識的一些“犄角旮旯”，力求通過大量的題型和練習讓學生記住概念、定理、公式，掌握解題步驟，學會應用技巧，懂得應付考試，在一定的情況下可能可以幫助學生對知識的“工具性理解”.但是往往會肢解或淡化數學內在的“關系性理解”，因此難免隔靴搔癢，甚至相去甚遠.

以《函數的單調性》為例，不少教師在單調性教學中把重點放在單調性的證明、單調區(qū)間的求解、含參數函數單調性的討論，力求把“取點、作差、變形、定號、作答”形式化的操作作為教學的落腳點，開門見山，直奔解題，無疑這些內容也是本節(jié)課的重要組成部分，但僅此還不能體現概念的核心和本質.事實上，單調性是學習函數定義之后的一個重要核心概念，是反映函數變化規(guī)律的最基本的性質（第一個函數性質），也是學生在高中階段遇到的第一個用數學符號語言刻畫的概念，對進一步學習函數的其他性質具有示范和引領作用.因此需要從知識的特點、教材的地位和學生的認知特點出發(fā)思考《函數的單調性》是如何從淺表直觀抽象到理性解析，從松散零散中貫通成一脈相承的知識鏈.教學中有兩條關鍵的線索：①初中對函數圖像性質的研究以直觀感知的經驗性認知為基礎（能說出函數圖像上升還是下降，并會畫圖說明），高中的單調性研究則以抽象的形式化（符號化）分析為手段，要求能用符號形式表述和理解函數的單調性，并能加以證明；②從函數的整體宏觀的感知（圖像）開始走向通過“算法”（數學化）研究局部微觀法”，從函數三要素（函數的宏觀感知）的學習到定義域上的某一區(qū)間上函數單調性的研究（微觀圖像上點的坐標之間的關系的研究），是從粗放型直覺性認知走向嚴謹性理性思維的開端，通過符號的算法進行推理論證，以保證結論的嚴密性，這種“算法思維”在后續(xù)的奇偶性、周期性和最值等學習中有著重要的意義，起到引領性和奠基性的作用.通過分析、提煉，最終落實到一根“線”，將它們串起來，即“兩域、四數、兩個不等”是單調性概念的特征屬性，其中借助符號進行推理的“算法思維”本質是數學轉化思想的體現.需要突破的難點就是“上升、下降、單調等名詞的數學意義與學生的生活理解之間的差異，通過函數圖像上升——“x越大，y也越大，即當x2>x1時，y2>y1，則f（x）為增函數”實現自然語言、符號語言和圖形語言有機結合和有效融合.因此教學內容的核心就是在知識的發(fā)生、發(fā)展過程中讓學生體會直觀抽象和形式化思維，在知識與能力的交融中且行且清晰.如何用“任意”刻畫無限、解決概念中自變量不能窮盡的矛盾，如何用符號語言（x1>x2時，f（x1）>f（x2）……等）表述“y隨x的增大而增大”……而這些內涵僅靠解題是不能看到的.從定性到定量，從具體到抽象、從宏觀到微觀需要讓形式化的概念抽象在文字語言、圖形語言和符號語言的轉化交融中自然地“生長”出來，而不是想當然地“天上掉下個林妹妹”，需要伴隨歸納、抽象、概括的教學“慢”過程中，才能尋找和淬煉出知識表層下的核心內涵，洞穿知識的本質，使學生不僅獲得知識，更多的是逐步提高學生自我分析、理性領悟的能力.

二、從教材的脈絡上感悟核心知識的整體性

核心知識不是單一的、離散的、碎片化的，涵括的不僅僅是知識點，而且還綜合了數學知識的結構和思想方法的內容體系，圍繞核心知識建立起來的教材結構體系，是以核心知識為中心的“概念圖”，包括縱向發(fā)展的主線和橫向聯(lián)系的節(jié)點，具有知識聯(lián)系的聯(lián)結性、緊密性、持續(xù)性和多向性特點.它所承載的知識和技能是學生發(fā)展所必不可少的知識網狀體系.通過螺旋上升的組織形式，漸次加強所學概念和觀念的深度以及復雜程度，使數學核心知識的發(fā)展過程與學生內部心理認知體驗融合起來.我們重視核心知識在數學學習中的作用和意義不僅讓學生能夠掌握核心知識的基礎性內容，還要著眼于促進培養(yǎng)學生一種思想觀、辯證觀和整體觀，能夠從整體上理解知識鏈上每個節(jié)點的意義與內涵，了解知識和方法的辯證轉化過程，而不是簡單地就事論事，熱衷于奇技淫巧，一葉障目不見森林.

以直線的斜率為例，如果只是停留在具體概念辨識和解題技能的訓練，局限在狹隘的解題一招一式中，拘泥于知識的枝節(jié)碎片里，可能覺得內容淺顯，方法單一.其實，縱觀教材的設置，本節(jié)內容體現了數學知識的發(fā)生、發(fā)展經歷從粗到精、從單一到多元、從形象到抽象的過程，從幾何感知（平面幾何）—代數分析（解析幾何）—三角函數的發(fā)展過程，從坡度（直角三角形）—傾斜角的正切值（三角函數）—斜率（坐標）.體現數學認知從具象到形象再到抽象的不斷上升的過程，從實驗幾何（傾斜角）—平面幾何（坡度）—三角函數（k=tanα）—解析幾何這些脈絡既貫穿著數學的本質與內涵，也蘊含著研究現實客觀事物的方法，既是一種知識觀，更是一種方法論，或許看不到具體的問題，也沒有常見的題型套路，但卻深刻地勾勒了直線斜率的知識內容的豐富性、聯(lián)系的廣泛性以及表現方式的多樣性的特點.體現了數學既有特性又有交融的發(fā)展特點，從中可以感悟到數學的辯證觀、發(fā)展觀和思想觀.讓學生在大視野和頂層處中閱讀、詮釋和領悟數學的本質，涵養(yǎng)深嵌其間的數學理性精神、思辨品質和創(chuàng)新意識.在當下應試教學盛行的時候，數學教學更需要“不為浮云遮望眼，風物長宜放眼量”的視野和情懷.

三、在教學拓展中催發(fā)核心知識的生發(fā)性

數學核心知識的意義與價值在于它能產生“1+x”的擴容與增值的“核效應”，讓教材具有更為廣闊的寬度，讓思維有升華的空間.數學知識一方面大道至簡，另一方面又能衍化至繁，由核心知識滋長出來的知識的“衍生性”能在和具體情境、具體問題的對接中生發(fā)出一系列新知識.例如函數的奇偶性，函數f（x）圖像成中心對稱及其關系f（-x）=-f（x）是其表征和核心.由奇函數的定義知，f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0；其圖像關于原點（0，0）對稱，由此出發(fā)可以衍生，關于x軸上點（a，0）對稱的函數具有怎樣的關系？（f（a-x）=-f（a+x）或f（a-x）+f（a+x）=0或f（x）+f（2a-x）=0）；再進一步關于平面上任意一點（a，b）對稱的函數具有怎樣的特征？（f（a-x）+f（a+x）=2b或f（x）+f（2a-x）=2b），由原點到x軸上的任意點再到平面上的任意點，圖像的中心對稱關系轉化為函數解析式的關系：f（-x）=-f（x）→f（2a-x）=-f（x）→f（2a-x）=-f（x）+2b，從形式上看也是復合函數轉化為函數f（x）的一種表征，奇函數的多元表征、辯證轉化、數形結合在合情推理中自然推廣，在數學關系解構和重組中熠熠生輝，那種脫離知識本源，盲目進行一題多解、一題多變和高考“母題”其實只得皮毛，未見本質，不得其味.只有超越對零散知識的片段式，零散式的模仿和記憶，在教學拓展和演繹生成中核心知識才能展現其廣闊和厚重的教學意蘊，體現其特有的教學價值與意義.

四、在思想滲透中品味核心知識的精髓性

“核心知識其實就是一顆思想的種子，它是具有思維生發(fā)力的.”教學的意蘊在于超越具體的事例和知識對問題的一般性意義和內核能作出合理的抽象和深刻的概括，對知識進行過濾、篩選、提純，把那些無用、冗余、偏多的“旁枝末節(jié)”剔除出去，讓被教學花樣遮蔽了的核心重現出來，將凝結在數學知識和技能中的數學思想內涵揭示出來.

以“曲線上一點處切線的斜率”為例，常見的教學思路大致是：曲線上一點處切線的斜率的定義敘述（教學中往往是一帶而過）——提煉求法步驟（“一切三式”，即一個切點、三個表達式：切點在曲線上，切點在切線上，切點處的導數即為切線的斜率）——鞏固練習.這種設計重知識輕過程，重技能輕內涵，重應試輕領悟，關注短期效益，缺乏知識的提煉和思想的提升，雖然可以“漲知識”，但是難以“漲智慧”，可謂“小數學”，其價值取向是知識取向和應試技巧.如果我們注意到認知的發(fā)展過程不只是知識的簡單疊加和復合，它應當伴隨核心內容的不斷凸顯和思維方式的逐漸孵化的歷程，重視“一個概念、一個過程、一次探究、一種思想”，通過一系列的設問和追問，知識才能波浪起伏，意蘊深長.

教學剪影：設曲線y=f（x），y=g（x）均過點A、B兩點.（1）兩曲線在區(qū)間［xA，xB］上的平均變化率是否都是（否）——在區(qū)間［xA，xB］上的變化趨勢都一樣嗎？（否）——如何刻畫二者的變化趨勢（縮小區(qū)間，即取極限令Δx趨于0），問—疑—思，切線斜率的思想內涵——以直代曲、割線逼近切線的內核才能逐漸顯現出來，數學思想的張力才能得以伸長，再通過具體案例深化理解，求函數y=x3在（1，1）處的切線方程，并觀察該切線與曲線公共點的個數，以此引起學生對相切問題認知的沖突，思考“Δ=0?相切?切線與曲線恰有一個公共點”這樣一個似是而非的問題，通過示例“y=x3在（1，1）處的切線與y=x3的交點不止有一個”說明以往的對相切的認知不能遷移到一般的曲線上.用割線無限逼近的極限思想理解切線，不僅是微積分發(fā)展的過程，也是數學探究、思想進步、認知升華的過程.只有詮釋核心知識的思想內涵的教學才能實現“大數學”教育的終極追求，只有透過文字和符號的表象思考其數學本真和思想內涵，這樣才能登臨教學的“智”高點.

1.石志群.對課堂教學“回顧與反思”的幾點思考［J］.中學數學（上），2014（3）.

2.林風.從問題本質出發(fā)，演繹精彩“好數學”——一次講評課的反思［J］.中國數學教育，2013（8）.

3.荀步章.“核心知識”基點：認知塊問題串思維場［J］.教育科學論壇，2014（1）.

*本文是福建省電化教育館教育信息技術研究課題（閩電教館kt412）《基于t3的數學教學轉型與優(yōu)化的研究》的成果.