“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像”的教學(xué)困惑與解決策略

安徽省阜陽市第三中學(xué)　董海濤

“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像”的教學(xué)困惑與解決策略

安徽省阜陽市第三中學(xué)董海濤

安徽省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課大賽終于落下帷幕，參賽選手向觀摩教師奉獻(xiàn)了一節(jié)節(jié)異彩紛呈的課堂實(shí)操，其中的一節(jié)課“1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)”（人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書必修4（A版）（以下簡稱教材）），深受評委和觀摩教師的好評，筆者全程參與了該選手的備課環(huán)節(jié)，現(xiàn)將備課過程中的困惑及解決策略整理如下，與同行交流.

一、對本節(jié)內(nèi)容的認(rèn)識

本節(jié)課是在研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)之后，研究的另一類三角函數(shù)，學(xué)生完全可以應(yīng)用對比、類比的研究方法將已有經(jīng)驗(yàn)遷移到對正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像的研究中去，同時，學(xué)生已經(jīng)掌握了正切函數(shù)的定義、單位圓中正切線，以及與正切有關(guān)的誘導(dǎo)公式等知識，這也為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識的保障.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究其性質(zhì)與圖像，為解析幾何中直線的斜率與傾斜角的關(guān)系等后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好知識的鋪墊，本節(jié)內(nèi)容具有承前啟后的作用.

二、研讀教材產(chǎn)生的困惑及解決策略

困惑1：為什么要換“一個新的角度來研究正切函數(shù)的性質(zhì)”？

思考：學(xué)生經(jīng)歷了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的研究過程，即先圖像后性質(zhì)，而且教材在課前探究中也明確認(rèn)可這種研究方式：“你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，用同樣的方法研究正切函數(shù)圖像與性質(zhì)？”但接下來卻筆鋒一轉(zhuǎn)：“有了前面的知識準(zhǔn)備，我們可以從一個新的角度來研究正切函數(shù)的性質(zhì).”并且為了體現(xiàn)這種新的研究方式，本節(jié)課題也調(diào)整為“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像”，即先性質(zhì)后圖像，可謂配合默契，用心良苦.

教材為何舍棄學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，舍熟悉而用陌生？難道僅僅是為了換一個新的角度？通過對課程標(biāo)準(zhǔn)和教師用書的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識到：數(shù)學(xué)教學(xué)是思維教學(xué)，數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的理性思維、培養(yǎng)理性精神.因此本節(jié)課承載的教學(xué)任務(wù)不僅僅是交給學(xué)生具體的知識，更重要的是以知識為載體，教授學(xué)生如何“研究”！一般地，研究函數(shù)常見的方式有兩種：（1）當(dāng)對函數(shù)性質(zhì)知之甚少時，可以通過描點(diǎn)繪圖，通過觀察圖像獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識；（2）當(dāng)對函數(shù)性質(zhì)有一定的了解時，可以先根據(jù)性質(zhì)“精細(xì)化”做出“精美化”的圖像，再利用圖像研究其他性質(zhì).教材顯然采用了第二種研究思路，這樣做的好處不僅給學(xué)生提供了研究函數(shù)的另一個視角，而且加強(qiáng)了理性思考的成分，使數(shù)形結(jié)合思想得到更全面的體現(xiàn).

策略：有了以上認(rèn)識并結(jié)合學(xué)生的知識儲備，采用了以下教學(xué)策略：先啟動學(xué)生已有的知識儲備（正切函數(shù)的定義、單位圓中的正切線、與正切有關(guān)的誘導(dǎo)公式），然后組織學(xué)生利用這些知識，自行研究正切函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性），結(jié)合研究出來的部分性質(zhì)利用正切線，合作探究作出正切函數(shù)的圖像，最后結(jié)合圖像，回扣性質(zhì)，達(dá)到認(rèn)識的再次升華.

思考：由誘導(dǎo)公式tan（π+x）=tanx，固然可以說明π是正切函數(shù)的一個周期，但怎么說明π是正切函數(shù)的最小正周期呢？難道就因?yàn)檎也坏奖圈懈〉某?shù)滿足tan（π+x）=tanx嗎？

備課過程中有老師提出：既然本節(jié)的研究方式是先性質(zhì)后圖像，就應(yīng)該利用周期函數(shù)的定義，給出嚴(yán)格的證明.但經(jīng)過對課標(biāo)的研讀，大家認(rèn)識到，對于三角函數(shù)的周期與最小正周期，教學(xué)中一般只要弄清定義，并根據(jù)三角函數(shù)曲線或單位圓中的三角函數(shù)線，觀察得出結(jié)論就可以了，同時，教材旁白批注中也有明確說明：“本書證明從略”，因此，“嚴(yán)格證明”留給學(xué)有余力的同學(xué)課后進(jìn)行.

策略：教學(xué)中仍然采用由誘導(dǎo)公式說明π是正切函數(shù)的一個周期，然后由單位圓中的正切線直觀說明π也是正切函數(shù)的最小正周期，最后再從正切函數(shù)的圖像上加以確認(rèn)，這樣做，既培養(yǎng)了學(xué)生的直觀思維，同時也達(dá)到了認(rèn)識的螺旋上升.

思考：明確了正切函數(shù)的最小正周期是π，為我們研究正切函數(shù)的單調(diào)性提供了極大的方便，原則上我們可以任意選擇一個長度為π的區(qū)間作為一個基本周期區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)完成對正切函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識.從學(xué)生認(rèn)知角度，這個基本周期區(qū)間很自然地取但教材中“由正切線的變化規(guī)律可以得出，正切函數(shù)在）內(nèi)是增函數(shù)”不符合學(xué)生的認(rèn)知水平，是教材編寫者的一廂情愿.

策略：教師與其在這里花費(fèi)大量精力引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化區(qū)間的表示，不如采用“延時研究”策略，先分段研究正切函數(shù)在）內(nèi)的單調(diào)性，作出圖像之后，再結(jié)合正切函數(shù)的周期性，得出正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，拓展學(xué)生的“學(xué)術(shù)研究時間”，理清知識發(fā)生的本源.

策略：先回顧正弦函數(shù)的作圖步驟，類似地，通過平移正切線，作出正切函數(shù)在內(nèi)的圖像，根據(jù)正切函數(shù)的奇偶性，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，得到內(nèi)的圖像，進(jìn)而得到）內(nèi)的圖像，再向左、向右平移，得到正切曲線，達(dá)到整體與局部的完美結(jié)合，體現(xiàn)性質(zhì)在研究圖像中的價值.

困惑5：得出正切函數(shù)的圖像之后，教材為何又給出思考：“你能從正切函數(shù)圖像出發(fā)，討論它的性質(zhì)嗎？”

思考：為何再次討論性質(zhì)？作圖之前不是利用已有知識，對正切函數(shù)的性質(zhì)做過研究了嗎？很顯然這里不是對前面性質(zhì)的簡單重復(fù)，應(yīng)該是完善性質(zhì)升華認(rèn)識.

策略：得出正切函數(shù)曲線之后，直觀檢驗(yàn)定義域、值域、周期性、奇偶性這些比較容易理解的性質(zhì)；再利用正切函數(shù)圖像，重點(diǎn)完善正切函數(shù)的單調(diào)性、拓展對稱性.將單調(diào)遞增區(qū)間整合優(yōu)化為），進(jìn)而得出正切函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為k∈Z；觀察函數(shù)圖像，顯然正切函數(shù)圖像沒有對稱軸，但有對稱中心，對稱中心坐標(biāo)為，再通過誘導(dǎo)公式tan（kπ-x）=-tanx，k∈Z，說明正切函數(shù)滿足對稱中心為的定義式f（kπ-x）=-f（x）.通過本環(huán)節(jié)，數(shù)形結(jié)合思想得到無聲的滲透.

教材作為數(shù)學(xué)家的智慧結(jié)晶，以學(xué)術(shù)的形態(tài)呈現(xiàn)出來，必然是字字珠璣，但作為一線教師必須運(yùn)用自己的教育智慧和火熱思考，將冰冷的學(xué)術(shù)結(jié)論轉(zhuǎn)化為動態(tài)的數(shù)學(xué)教育.正像涂榮豹先生說的那樣，數(shù)學(xué)教學(xué)要搞清楚兩個問題：一是“教學(xué)生學(xué)什么”，二是“教學(xué)生怎么學(xué)”，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題和解決問題的能力.

1.人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修4［M］.北京：人民教育出版社，2015.

2.文衛(wèi)星.如何提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的品味［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（7）.F