相似性，類比教學(xué)從這里出發(fā)
——以人教版“實數(shù)”單元的幾個概念為例

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)初級中學(xué)陳梅

相似性，類比教學(xué)從這里出發(fā)
——以人教版“實數(shù)”單元的幾個概念為例

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)初級中學(xué)陳梅

類比，是一種獲得新結(jié)論的重用推理形式.在數(shù)學(xué)認知活動中，主要指由兩個知識因其本身或其獲得過程中存在某些相同或相似之處，推斷它們在其他方面也可能有著某些相同或相似之處.作為學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識的重要方法之一，類比在初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到了廣泛的應(yīng)用.我們常常借助于數(shù)學(xué)知識在外形、內(nèi)涵、認知方式等方面存在的相似性展開數(shù)學(xué)教學(xué)，以幫助學(xué)生獲得“四基”、提升“四能”.那么，究竟知識間具有哪些相似性時，類比才能“登臺唱戲”呢？筆者認為，這些相似性可以從教材編排、教學(xué)內(nèi)容、概念的名稱及其生成與應(yīng)用等角度進行分析，只要新知與舊知之間存在一定的相似度，類比教學(xué)便可以即時展開.現(xiàn)結(jié)合人教版七年級下冊“實數(shù)”單元的幾個概念談?wù)劰P者對此的思考，說得不對的地方，敬請批評指正.

一、相同的教學(xué)內(nèi)容和教材編排

教材是教師教和學(xué)生學(xué)的最重要的“抓手”.因此，類比教學(xué)首先應(yīng)從教材中挖掘“相似性”，在相近的概念教學(xué)時，要仔細剖析教材，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的雷同度和編排方式的相似度，以便從中找出類比教學(xué)的“切入點”.從類比教學(xué)的角度對初中階段的多個版本教材進行綜合分析后，筆者發(fā)現(xiàn)幾乎所有的教材都特別關(guān)注相近概念教學(xué)結(jié)構(gòu)的延續(xù)性，它們不只是教學(xué)內(nèi)容上具有相似性，而且所選擇的教學(xué)素材非常接近，這些素材的編排采用了相同的“模板”，學(xué)生在學(xué)完第一個概念后，后續(xù)的學(xué)習(xí)便可以沿用前面的“模板”類比著學(xué)下去.

案例1“平方根”與“立方根”的教材對比.

平方根和立方根均是從一則問題引入，前者是以純數(shù)學(xué)情境“如果一個數(shù)的平方等于9，則這個數(shù)是多少”引入的，后者則沿用了算術(shù)平方根的情境引入方法，設(shè)置了一道“已知立方體的體積，求棱長”的實際問題.這兩個問題的探究主旨是相同的，其目的都是為了引出本節(jié)課的概念.所以，教材直接從問題解決中抽象出本課時的概念——平（立）方根，從文本和符號兩個角度給出了定義，然后根據(jù)概念的簡單應(yīng)用，歸納得出“正數(shù)、0和負數(shù)的平（立）方根的特點”.

教學(xué)分析：從上面的分析，我們不難看出編者在安排“平方根”和“立方根”這兩個概念的教學(xué)時，有意安排了情境引入、概念呈現(xiàn)、簡單應(yīng)用、特點概括、符號表示、化簡求值等相同教學(xué)內(nèi)容，并按照固定的順序呈現(xiàn)在教材中.在教材教學(xué)化過程中，這些教學(xué)內(nèi)容和教材的編排上的諸多相似點是很容易被我們發(fā)現(xiàn)并加以利用的.比如，在學(xué)生學(xué)完“平方根”之后，我們應(yīng)有意識地追問：這節(jié)課我們是從哪幾個方面來研究平方根的？獲得了與平方根相關(guān)的哪些知識？在開始學(xué)習(xí)“立方根”時，我們可以這樣設(shè)問：根據(jù)你學(xué)習(xí)“平方根”的經(jīng)驗，猜一猜我們這節(jié)課將會從哪幾個方面來認識立方根？會獲得哪些與立方根相關(guān)的知識？讓學(xué)生帶著自己猜想的結(jié)論展開對“立方根”的探究，學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗將會發(fā)揮巨大的作用，熟悉的內(nèi)容、相同的套路將會讓學(xué)生迅速進入狀態(tài)，立方根知識的獲得及應(yīng)用將會變得異常順利.

二、類似的概念名稱和陳述方式

數(shù)學(xué)概念“因名而異”，不同的名稱應(yīng)有著不同的內(nèi)涵，當然，對應(yīng)概念的外延也就會存在一定的差別.內(nèi)涵與外延差異程度的大小，直接決定了類比學(xué)習(xí)的適用程度.初中階段，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)新知教學(xué)的主要內(nèi)容.在這一階段，我們所要學(xué)習(xí)的概念并不復(fù)雜，教材中所下的定義基本上就是一兩句話的事，簡潔的數(shù)學(xué)語言讓人“一讀明了”.所以，對于一些“名稱”相近、陳述相似的概念，我們常會充分應(yīng)用學(xué)生已經(jīng)積累的下定義模板和基本活動經(jīng)驗，讓學(xué)生根據(jù)前一概念的定義類比著給新的概念下定義，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

案例2“算術(shù)平方根”、“平方根”與“立方根”的概念對比.

僅從概念的名稱看，三個概念都有“方根”二字，其名稱是非常接近的.三個概念在教材中出現(xiàn)的順序與標題中的順序完全一致，在實際教學(xué)中，我們首先接觸到的是“算術(shù)平方根”，教材給出的定義是“一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫作a的算術(shù)平方根”.這是從文字和符號兩個角度給出的定義，其條件分別為：（1）如果一個正數(shù)x的平方等于a；（2）x2=a.結(jié)論都是“這個正數(shù)x叫作a的算術(shù)平方根”.與此類似的，接下來的平方根和立方根也是從這兩個角度給出定義的，而且定義的模板與算術(shù)平方根非常接近.文字語言的定義：一般地，如果一個數(shù)的平（立）方等于a，那么這個數(shù)叫作a的平（立）方根；符號語言定義：如果x2=a（x3= a），那么x叫作a的平（立）方根.很明顯，這三個概念不僅名字上非常接近，而且其概念的陳述上只是個別詞語的差異，這樣的差異給類比學(xué)習(xí)提供絕佳的時機.

教學(xué)分析：算術(shù)平方根、平方根和立方根是“實數(shù)”單元的三個基本概念，充分理解這三個概念的內(nèi)涵是學(xué)生學(xué)習(xí)無理數(shù)，以及將數(shù)的運算法則、運算律、運算順序從有理數(shù)順利拓展應(yīng)用到實數(shù)范圍的基本保證.因此，讓學(xué)生順利理解這三個概念成為這一章教學(xué)的關(guān)鍵.根據(jù)三個概念的名稱及教材給出的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)，類比在此處有了“用武之地”.為了實現(xiàn)單元教學(xué)目標，我們應(yīng)特別重視“算術(shù)平方根”的教學(xué)，這是本單元類比學(xué)習(xí)的起點.在學(xué)生獲得算術(shù)平方根的概念后，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從定義的陳述方式入手對其進行剖析解讀，以便學(xué)生明晰接下來的下定義可以從文本、符號兩個角度進行，這就是后續(xù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗.當然，對概念的詳細剖析還應(yīng)包括對概念中“關(guān)鍵詞”的解讀，這樣做有利于學(xué)生理解概念間的差異，清除類比下定義的一切障礙.在接下來的兩個概念的學(xué)習(xí)中，為了能順利從設(shè)置的引入情境中抽象出概念，我們可以提出“你能類比算術(shù)平方根下定義的方法給平（立）方根也下個定義嗎”的問題，以此引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用前面的經(jīng)驗、模板嘗試給新的概念下一個較為規(guī)范的定義.這樣的嘗試一旦成功，將會進一步強化學(xué)生的經(jīng)驗積淀，將類比學(xué)習(xí)提到一個更高的層次上，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

三、相似的生成過程和應(yīng)用過程

在類比教學(xué)得以順利實施的眾多“相似性”中，知識的生成過程及其應(yīng)用過程的相似性是最重要的，也是對類比教學(xué)成效影響最大的.因此，我們在分析概念并嘗試選擇類比的方法展開教學(xué)時，應(yīng)首先弄清楚這些知識的生成過程和應(yīng)用過程.新的數(shù)學(xué)知識，其生成與應(yīng)用過程一般都有著相似之處.這是概念教學(xué)的重頭戲，學(xué)以致用是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的“終點”，也是新的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的起點.顯見，當概念間在其生成與應(yīng)用過程上存在著極近的相似度時，類比教學(xué)便可直接走進學(xué)生的探究活動之中，成就有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

案例3“算術(shù)平方根”與“立方根”的生成及應(yīng)用過程對比.

在人教版教材中，預(yù)設(shè)的算術(shù)平方根與立方根生成的過程幾乎是一致的.都是先給出一個實際問題，然后將其數(shù)學(xué)化，轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙阎粋€正數(shù)的平方，求這個正數(shù)”和“已知一個數(shù)的立方，求這個數(shù)”的問題，進而抽象出概念，并從文字和符號兩個角度給這兩個概念分別下定義.接下來對這兩個概念的應(yīng)用教材同樣給出了一致的過程，都要求學(xué)生先思考“哪個正數(shù)的平方等于這個已知數(shù)”或“哪個數(shù)的立方等于已知數(shù)”，在此基礎(chǔ)上才能準確得出已知數(shù)的算術(shù)平方根或立方根.當然，在學(xué)完兩者的符號表示后，教材還呈現(xiàn)了包含這兩種符號的算式的化簡，為的是讓學(xué)生進一步明確這兩個概念的含義，并為后面的二次根式的計算提前做好準備.不難看出，這兩個知識除概念名稱和概念描述上存在微小的差異外，其教學(xué)過程及應(yīng)用過程幾乎是一致的，我們可以在教學(xué)中將前一知識的教學(xué)經(jīng)驗直接遷移到后一知識的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中去，以類比的方式展開教學(xué).

教學(xué)分析：數(shù)學(xué)問題，是引發(fā)學(xué)生探究新知的“源頭”.設(shè)置實際問題引入，再從實際問題解決的過程或結(jié)果中抽象出基本概念，這是初中代數(shù)教學(xué)的常用套路，也是教材編寫的基本模式.顯然，本單元的這幾個概念并沒有“脫俗”.這樣概念引入與生成過程的設(shè)計，完全符合類比教學(xué)的要求.再來說說概念生成后的應(yīng)用，兩者的應(yīng)用套路是一致的.細細分析教材40頁的例1和49頁的“探究”，我們不難發(fā)現(xiàn)，概念應(yīng)用的切入點完全相同，解題的套路也是一樣的，如果都用符號加以表示的話，其差異也是微乎其微的.

相似能給人熟悉的感覺，當我們面對相同或相似的情境時，此情此景不得不引發(fā)我們美好的回憶，這就是我們常說的經(jīng)驗喚醒，當這些經(jīng)驗在教學(xué)中被我們有序地應(yīng)用到新知的獲得過程中時，這就是類比學(xué)習(xí).為此，我們要幫助學(xué)生，鼓勵學(xué)生，更要為他們積累類比學(xué)習(xí)的經(jīng)驗提供機會.課上，我們要從時間和空間兩個維度上給予他們充分探究交流的可能，只有這樣，才能讓他們在獲得知識的同時，積累更多的學(xué)習(xí)方法，從而為其人生的可持續(xù)發(fā)展奠基.

1.印冬建.突出核心主線追求有效教學(xué)——談初中數(shù)學(xué)有效備課的做法和思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.林群.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·七年級（下冊）［M］.北京：人民教育出版社，2015.

4.林群.義務(wù)教育教科書·教師教學(xué)用書·數(shù)學(xué)·七年級（上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2015.H