任美英
(武夷學院數(shù)學與計算機學院,福建武夷山354300)
一類Stancu型算子的逼近性質(zhì)
任美英
(武夷學院數(shù)學與計算機學院,福建武夷山354300)
通過Bernstein多項式的基函數(shù),引進一類Stancu型算子序列,并借助于連續(xù)模研究該算子序列的一些逼近性質(zhì),得到算子列的一個Korovkin型收斂定理和收斂速度的一些估計。
Stancu型算子列;K-泛函;光滑模;逼近性質(zhì)
算子逼近是逼近論的研究熱點之一,有關(guān)算子序列的逼近問題已有許多的研究成果[1-5]。2012年,任美英[6]引進并研究了如下Bernstein型算子序列{Ln}n∈N:
其中f(x)是定義在[0,1]上的連續(xù)函數(shù),x∈[0,1],…,n-1,B(.,.)是Beta函數(shù)。
引進算子序列{Ln}n∈N的Stancu型變種,并研究該Stancu型算子序列的一些逼近性質(zhì)。為此,構(gòu)造Stancu型算子序列如下:
其中f(x),x,pnk(x)如上(1)中所述,β,γ是兩個實參數(shù),滿足0≤β≤γ,k=1,2,…,n-1,B(.,.)是Beta函數(shù)。
為了研究的需要,首先復習幾個概念。
定義1設(shè)W2={g∈C[0,1]:g',g"∈C[0,1]},對f∈C [0,1]和δ>0,Peetre K-泛函定義為
定義2對f∈C[0,1]和δ>0,f的連續(xù)模定義為,的二階光滑模定義為
從文獻[7]可知
其中C是一個正常數(shù)。
定理1?f(x)∈C[0,1],n∈N,x∈[0,1],及0≤β≤ γ,有上一致成立。
定理2?f(x)∈C[0,1],n∈N,x∈[0,1],及0≤β≤γ,有
推論1若f(x)∈LipMa,M>0,0 定理3?f(x)∈C[0,1],n∈N,x∈[0,1],及0≤β≤其中C是一個正常數(shù),δn如定理2中所述。 注:本文中常數(shù)C與f,n,x無關(guān),出現(xiàn)的地方不同,表示的數(shù)值可能不同。 為了定理的證明,有必要引入幾個輔助結(jié)論。 引理1[6]對Ln(tm;x),m=0,1,2,有 引理2對(ti;x),i=0,1,2,有 引理3對?n∈N,x∈[0,1],及0≤β≤γ,有 證明:(i)由引理2可得, (ii)由引理2可知,對x∈[0,1],及0≤β≤γ,有 引理4?f(x)∈C[0,1],n∈N,x∈[0,1],及0≤β≤ 證明:對?f(x)∈C[0,1],n∈N,x∈[0,1],及0≤β≤γ,由(2)式和引理2可得 定理1的證明:由引理2知,對,ei(t)=ti,i=0,1,2有因此,由Korovkin定理([8, Theorem 4.2.4])可得,對?f(x)∈C[0,1],有在區(qū)間[0,1]上一致成立,定理證畢。 定理2的證明:由引理2知,1 幾個引理
2 定理的證明