愛(ài)米·諾特對(duì)交換環(huán)論的貢獻(xiàn)

王淑紅 鄧明立

(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,石家莊 050024)

愛(ài)米·諾特對(duì)交換環(huán)論的貢獻(xiàn)

王淑紅 鄧明立

(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,石家莊 050024)

抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)的重要分支,主要研究群、環(huán)、域、模、格等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。環(huán)論是抽象代數(shù)中較為深刻的一部分,按照乘法是否滿(mǎn)足交換律,環(huán)可以劃分為交換環(huán)和非交換環(huán)兩大類(lèi)。在詳盡占有并閱讀原始文獻(xiàn)和研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)之上,分析了愛(ài)米·諾特為何從不變量論轉(zhuǎn)到交換環(huán)論的研究,并且揭示了愛(ài)米·諾特通過(guò)對(duì)升鏈條件的重視與應(yīng)用,完成對(duì)抽象環(huán),特別是諾特環(huán)的公理刻畫(huà),從而建立起抽象交換環(huán)論,并促使抽象代數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科正式建立起來(lái)。

環(huán) 交換環(huán) 升鏈條件 愛(ài)米·諾特

抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)的重要分支,主要研究群、域、環(huán)、模、格等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。環(huán)是抽象代數(shù)中較為深刻的一部分,正如著名代數(shù)學(xué)家林節(jié)玄(T. Y. Lam)在其1991年出版的著作《非交換環(huán)初級(jí)教程》(AFirstCourseinNoncommutativeRings)[1]的序言中所說(shuō)：“如今,環(huán)論是群論(群環(huán))、表示論(模)、泛函分析(算子代數(shù))、李理論(包絡(luò)代數(shù))、代數(shù)幾何(有限生成代數(shù)、微分算子、不變量理論)、算法(序、布饒爾群)、泛代數(shù)(環(huán)簇)和同調(diào)代數(shù)(環(huán)的上同調(diào)、投射模、格羅滕迪克及高階K-群)的一個(gè)豐饒的交匯地帶?！杯h(huán)對(duì)于乘法并不一定都滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律,由此得到結(jié)合環(huán)與非結(jié)合環(huán)。結(jié)合環(huán)主要包括復(fù)數(shù)、四元數(shù)、超復(fù)數(shù)拓廣而來(lái)的結(jié)合代數(shù),線性方程組、行列式發(fā)展而來(lái)的矩陣,以及群表示論發(fā)展而來(lái)的群代數(shù)。非結(jié)合環(huán)主要包括源于八元數(shù)、雙四元數(shù)的交錯(cuò)代數(shù),李變換群、李代數(shù)發(fā)展而來(lái)的李環(huán),以及由量子力學(xué)所產(chǎn)生的若爾當(dāng)代數(shù)。按照乘法滿(mǎn)足交換律與否,可將環(huán)劃分為交換環(huán)和非交換環(huán)兩大類(lèi)。交換環(huán)和非交換環(huán)雖皆源于19世紀(jì)早期,但其起源和發(fā)展路徑并不相同。交換環(huán)理論起源于代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何和不變量理論,反過(guò)來(lái),亦主要應(yīng)用于這些領(lǐng)域?？巳R納(I. Kleiner)在“從數(shù)到環(huán)：環(huán)論的早期歷史”(Fromnumberstorings:theearlyhistoryofringtheory)一文中給出了下面的環(huán)論發(fā)展脈絡(luò)圖(圖1)([2],19頁(yè))。

圖1 克萊納環(huán)論發(fā)展脈絡(luò)圖

目前,國(guó)內(nèi)外對(duì)環(huán)論的歷史研究主要有：1930～1931年范德瓦爾登(B. L. Van der Waerden,1903～1996)兩卷本的《近世代數(shù)學(xué)》,基本囊括了此前抽象代數(shù)學(xué)的成果,宣告了抽象代數(shù)學(xué)的誕生,隨即抽象代數(shù)學(xué)就被引入到代數(shù)幾何學(xué)領(lǐng)域,導(dǎo)致了代數(shù)結(jié)構(gòu)的廣泛采用。他詳細(xì)地論述了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史,為環(huán)論的歷史研究提供了框架和線索[3]。凱瑞(L. Corry)研究了現(xiàn)代代數(shù)及其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的起源,他以19、20世紀(jì)的數(shù)學(xué)觀念的發(fā)展為向?qū)?以理想這一環(huán)論中的核心概念為實(shí)例,對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的起源和發(fā)展有很高理論層次的剖析。他還從美國(guó)的歸納分析出發(fā),對(duì)p進(jìn)數(shù)理論、抽象域理論、弗蘭克爾(A. Fraenkel,1891～1965)對(duì)p進(jìn)系的公理化以及弗蘭克爾之后的理想與環(huán)進(jìn)行了深刻闡述[4- 5]。克萊納除系統(tǒng)論述了群、環(huán)、域等代數(shù)結(jié)構(gòu)的發(fā)展歷史之外,還著眼于愛(ài)米·諾特(E. Noether,1882～1935,以下簡(jiǎn)稱(chēng)諾特)對(duì)交換和非交換代數(shù)以及表示論的影響,為環(huán)論的歷史研究提供了很好的歷史框架。他還對(duì)抽象環(huán)的概念來(lái)源進(jìn)行了有理有據(jù)的分析[2,6,7]。古德斯坦(C. Goldstein)等人研究了自高斯(C. F. Gauss,1777～1855)開(kāi)始的數(shù)論發(fā)展史,為環(huán)論在數(shù)論中的起源提供了重要的思想[8]。格瑞(J. J. Gray)和帕舍爾(K. H. Parshall)介紹了1800至1950年的代數(shù)學(xué)歷史,其中包括符號(hào)運(yùn)算、代數(shù)教材、代數(shù)數(shù)論、線性代數(shù)、早期的交換代數(shù)、域論和代數(shù)幾何中的抽象代數(shù)方法[9]。愛(ài)德華(H. M. Edwards)對(duì)庫(kù)默爾(E. E. Kummer,1810～1893)、戴德金(R. Dedekind,1831～1916)、克羅內(nèi)克(L. Kronecker,1823～1891)等人及其關(guān)于理想、環(huán)以及數(shù)學(xué)觀念的系列論文,是對(duì)環(huán)論相關(guān)概念和背景的深入探析[10- 14]。吉姆柏林(C. Kimberling)等對(duì)諾特及其理想、環(huán)論的貢獻(xiàn)進(jìn)行了評(píng)述[15]。國(guó)內(nèi)諸如《20世紀(jì)數(shù)學(xué)思想》、《近代數(shù)學(xué)史》、《數(shù)學(xué)史概論》、《中國(guó)近代代數(shù)史簡(jiǎn)編》、《代數(shù)數(shù)論簡(jiǎn)史》、《世界數(shù)學(xué)通史》這樣一些學(xué)術(shù)著作中多多少少涉獵一些環(huán)論相關(guān)的內(nèi)容,再加上此前筆者在這方面的研究積累,本文試圖對(duì)諾特在交換環(huán)論方面的貢獻(xiàn)進(jìn)行較為系統(tǒng)的剖析。

1 有史以來(lái)最杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家愛(ài)米·諾特

作為歷史上最杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家,諾特對(duì)數(shù)學(xué)和理論物理都曾做出重要成就。她在物理上關(guān)于對(duì)稱(chēng)性和守恒定律之間關(guān)系的結(jié)果,十分關(guān)鍵而優(yōu)美,被稱(chēng)為諾特定理,是現(xiàn)代物理基礎(chǔ)的重要組成部分[16]。數(shù)學(xué)方面,諾特的工作主要可以劃分為4期：不變量理論時(shí)期(1907～1919)、交換代數(shù)時(shí)期(1920～1929)、非交換代數(shù)和表示論時(shí)期(1927～1933)以及非交換代數(shù)在交換代數(shù)中的應(yīng)用時(shí)期(1932～1935)[6]。由此可以看出,她在不同方面的工作是有交疊的。她這幾期的工作都是卓有成效的,特別是把當(dāng)時(shí)新興的代數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展成為了眾所周知的抽象代數(shù)學(xué)。

其實(shí),諾特在不變量理論方面的工作就已經(jīng)使她躋身一流數(shù)學(xué)家的行列。那么她為什么從不變量理論轉(zhuǎn)而研究交換代數(shù)呢？這要從她的家庭談起。諾特1882年3月23日生于德國(guó)愛(ài)爾朗根的一個(gè)猶太家庭,其父馬克思·諾特(M. Noether,1844～1921)自1875年起到1921年辭世前,始終在愛(ài)爾朗根大學(xué)任教授,是一位頗有建樹(shù)的數(shù)學(xué)家,主要研究代數(shù)幾何,而且在代數(shù)幾何的研究中對(duì)屬于交換代數(shù)的多項(xiàng)式理想論做出了貢獻(xiàn),這勢(shì)必成為影響諾特研究的一個(gè)因素。此外,有不變量之王之稱(chēng)的戈丹(P. Gordan,1837～1912)與其父是親密的朋友,是她家的座上賓。在此影響下,諾特對(duì)數(shù)學(xué)萌生了濃厚的興趣。事實(shí)上,諾特后來(lái)成為了戈丹的學(xué)生,在戈丹的指導(dǎo)下做博士論文。1903年冬天,諾特到哥廷根大學(xué),度過(guò)了一個(gè)學(xué)期。聆聽(tīng)了克萊因(F. Klein,1849～1925)、希爾伯特(D. Hilbert,1862～1943)和閔可夫斯基(H. Minkowski,1864～1909)等數(shù)學(xué)家的課程,開(kāi)闊了視野,受到了鼓舞,于是更加堅(jiān)定了研究數(shù)學(xué)的決心。1907年12月,諾特以十分優(yōu)秀的成績(jī)順利通過(guò)博士考試,成為有史以來(lái)第一位女性數(shù)學(xué)博士。其實(shí),在此期間,她深受費(fèi)舍爾(E. Fischer,1875～1959)的影響,而費(fèi)舍爾遵循的是希爾伯特的方法。因此,在費(fèi)舍爾的指導(dǎo)下,她從戈丹的風(fēng)格轉(zhuǎn)向希爾伯特的抽象風(fēng)格,從而最終建立了抽象環(huán)論[17- 20]。

1932年,諾特獲得兩項(xiàng)重大榮譽(yù)。第一項(xiàng)是,她與阿廷(E. Artin,1898～1962)因數(shù)學(xué)成就共同獲得的阿克曼·特布納紀(jì)念獎(jiǎng)(Ackermann-TeubnerMemorialPrize)。另一項(xiàng)是,她應(yīng)邀在蘇黎世舉辦的第九屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做了1小時(shí)的大會(huì)報(bào)告。

2 交換環(huán)論正式誕生的前奏

交換環(huán)論主要起源于代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何和不變量理論,反過(guò)來(lái),亦主要應(yīng)用于這些領(lǐng)域。對(duì)這些領(lǐng)域的發(fā)展尤為重要的是代數(shù)數(shù)域和代數(shù)函數(shù)域中的整數(shù)環(huán)以及二元和多元多項(xiàng)式環(huán)[2]。交換環(huán)理論可以追溯到高斯,1832年,高斯為解決高次互反律問(wèn)題引進(jìn)后人所稱(chēng)的復(fù)整數(shù)或高斯整數(shù),從現(xiàn)代的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看,全部復(fù)整數(shù)構(gòu)成的集合就是復(fù)整數(shù)環(huán)。之后,出現(xiàn)了二次代數(shù)整數(shù)環(huán)和分圓整數(shù)環(huán)。唯一因子分解問(wèn)題是這些環(huán)中的主要問(wèn)題,是解決高次互反律問(wèn)題的關(guān)鍵。庫(kù)默爾在上述基礎(chǔ)上引進(jìn)理想數(shù),實(shí)現(xiàn)了唯一因子分解,不但解決了高次互反律問(wèn)題,而且使得費(fèi)馬大定理的解決邁出了關(guān)鍵性的一步。1871年,戴德金引進(jìn)理想,理想成為一種集合和計(jì)算對(duì)象,是代數(shù)整數(shù)環(huán)中的特殊的子環(huán),這標(biāo)志了理想理論的誕生。他還給出一個(gè)相當(dāng)于環(huán)的新概念序環(huán)。另外,克羅內(nèi)克幾乎同時(shí)也把相當(dāng)于代數(shù)整數(shù)環(huán)的集合稱(chēng)為序環(huán),在其上建立了除子理論。這些構(gòu)成了一維交換代數(shù)的基礎(chǔ),而高維交換代數(shù)的基礎(chǔ)則是代數(shù)幾何,特別是希爾伯特證明的基定理和零點(diǎn)定理。拉斯克爾(E. Lasker,1868～1941)在1905年引進(jìn)準(zhǔn)素理想概念,提出準(zhǔn)素分解。1913年麥考萊(F. S. Macaulay,1862～1937)曾考慮分解的唯一性問(wèn)題。這時(shí),交換環(huán)理論還是具體的：一方面是復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)及其理想理論,另一方面還沒(méi)有從域的概念中擺脫出來(lái)成為環(huán)的理論。

總之,在20世紀(jì)的前10年,已經(jīng)建立了具體的交換環(huán)、非交換環(huán)及理想理論。此前,群、域以及向量空間的抽象公理化定義已經(jīng)成形,抽象環(huán)的定義還在醞釀之中。1914年,由具體環(huán)向抽象環(huán)的過(guò)渡邁出了重要一步,弗蘭克爾在“論零因子和環(huán)的分解”(überdieTeilerderNullunddieZerlegungvonRingen)一文中給出環(huán)的第一個(gè)抽象定義[21]。不過(guò),需要說(shuō)明的是,弗蘭克爾給出的環(huán)定義與現(xiàn)在通用的環(huán)定義并不相同。([17],133頁(yè))有關(guān)弗蘭克爾對(duì)抽象環(huán)定義的背景歷史材料可參考文獻(xiàn)[5]。當(dāng)今通用的交換環(huán)的定義最先出現(xiàn)在園正造(M. Sono,1886～1969)1917年的文章“論同余”(OnCongruences)中[22]?？巳R納曾對(duì)此評(píng)述道：“園正造的文章是非常現(xiàn)代、抽象的作品,討論陪集、商環(huán)、極大極小理想、單環(huán)、同構(gòu)定理以及合成列?！?[2],33頁(yè))自此,環(huán)不再局限于多項(xiàng)式環(huán)、代數(shù)整數(shù)環(huán)和超復(fù)數(shù)環(huán)等具體的環(huán),而成為獨(dú)立的抽象研究對(duì)象。但盡管如此,具體的環(huán)仍然在環(huán)論中占有重要地位,而擺脫具體限制真正邁入抽象交換環(huán)理論的是諾特。

1920年,諾特開(kāi)始對(duì)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣,并開(kāi)展研究工作,很快成為哥廷根大學(xué)的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家,吸引全世界的年輕數(shù)學(xué)才俊環(huán)繞其周?chē)?并形成了著名的哥廷根大學(xué)代數(shù)學(xué)派。

抽象代數(shù)學(xué)中有一個(gè)重要的概念,稱(chēng)為諾特環(huán),是抽象代數(shù)當(dāng)中的滿(mǎn)足升鏈條件的一類(lèi)環(huán)。是希爾伯特在研究不變式論的時(shí)候,首次證明了多項(xiàng)式環(huán)的每個(gè)理想均為有限生成的,之后諾特在里面精煉出升鏈條件,這就是諾特環(huán)名字的由來(lái)。諾特環(huán)這個(gè)名字最早出現(xiàn)在謝瓦萊(C. Chevalley,1909～1984)1943年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表的論文“關(guān)于局部環(huán)理論”(Onthetheoryoflocalrings)中。([17],133頁(yè))

數(shù)學(xué)上,若任意偏序集p的元素的升鏈a1≤a2≤…最終固定,就是說(shuō)存在正整數(shù)n,使得對(duì)所有m>n,有am=an,則說(shuō)p適合升鏈條件。類(lèi)似地,若任意偏序集p的元素的降鏈a1≥a2≥…最終固定(就是說(shuō)不存在無(wú)窮降鏈),則說(shuō)p適合降鏈條件。

1920年,諾特與施梅迪勒(W. Schmeidler,1890～1969)共同發(fā)表一篇論文研究微分算子[23]。在數(shù)學(xué)當(dāng)中,顧名思義,微分算子就是定義為微分運(yùn)算的函數(shù)的算子。這篇文章主要研究微分算子的定義域、理想的剩余類(lèi)和群及其相互關(guān)系。認(rèn)為：得出其內(nèi)在關(guān)系的基本工具為同構(gòu)的思想。依靠微分算子與多項(xiàng)式的相似性,研究其因子分解性質(zhì)[4]。這一篇文章可以看作是諾特抽象結(jié)構(gòu)方法的前奏。隨后她分別于1921和1927年發(fā)表兩篇重要論文,實(shí)現(xiàn)了交換環(huán)論的抽象結(jié)構(gòu)化。

3 交換環(huán)論的正式誕生——諾特的標(biāo)志性貢獻(xiàn)

實(shí)際上,諾特是在前人大量工作的基礎(chǔ)上取得關(guān)鍵進(jìn)展的。我們前面已經(jīng)闡述了高斯、庫(kù)默爾、戴德金、克羅內(nèi)克、馬克思·諾特、希爾伯特、拉斯克爾、麥考萊等一流數(shù)學(xué)家的成果。數(shù)學(xué)是一個(gè)積累的過(guò)程,積累到一定程度就會(huì)有一個(gè)大的爆發(fā)。諾特使得交換環(huán)論變成了強(qiáng)大的抽象理論。

諾特于1921年和1927的兩篇開(kāi)創(chuàng)性論文可以追溯到代數(shù)幾何和代數(shù)數(shù)論。1921年發(fā)表的論文題目為“環(huán)中的理想論”(IdealtheorieinRingbereichen)[24],1927年發(fā)表的論文題目為“代數(shù)數(shù)域和代數(shù)函數(shù)域上理想論的抽象結(jié)果”(AbstrakterAufbauderIdealtheorieinalgebraischenZahl-undFunktionsk?rper)[25]。在文獻(xiàn)[17]中,有吉爾摩(R. Gilmore)寫(xiě)的“交換環(huán)論”(commutativeringtheory)一文,其中談到了諾特的論文寫(xiě)作風(fēng)格*作者在這里特別感謝審稿專(zhuān)家建議補(bǔ)充諾特論文寫(xiě)作風(fēng)格的說(shuō)明并熱誠(chéng)地提供文獻(xiàn)[17]中的英文資料!。他在分別具體討論諾特的上述兩篇文章之前,對(duì)二者進(jìn)行了一般性評(píng)述：

在某種程度上,我們提到的這些方面可能是一個(gè)時(shí)代的反映。在那時(shí),對(duì)期刊的空間要求并不多,印刷費(fèi)用也不是決定一篇刊出論文怎樣表述的重要因素。這兩篇論文的步調(diào)悠閑,但絕非懶散；它們大約有25篇參考文獻(xiàn),但每一篇基本上都是獨(dú)立的。對(duì)于一個(gè)有合理知識(shí)基礎(chǔ)的讀者,證明足夠詳盡,不會(huì)太令人頭痛。與在那時(shí)發(fā)表的論文的通常做法一樣,腳注非常多——“理想論”中有51個(gè),“結(jié)果”中有34個(gè)。參考文獻(xiàn)和例子經(jīng)常被放在腳注中。同樣,結(jié)果的成因、類(lèi)似方法或思考的文獻(xiàn)以及理論的局限性也被放在腳注中?！袄硐胝摗焙汀敖Y(jié)果”的腳注比正文更能體現(xiàn)諾特的某些個(gè)性特征——慷慨地給予別人贊揚(yáng)、對(duì)自己的貢獻(xiàn)的重要性相對(duì)來(lái)說(shuō)謙遜、充分了解和推崇戴德金的工作?？傊?這些文章讀起來(lái)給人一種愉悅感,而且它們似乎比如今發(fā)表的代表性文章更具直覺(jué)、洞察力和動(dòng)機(jī)。([17],132頁(yè))

3.1 “環(huán)中的理想論”

19世紀(jì),代數(shù)學(xué)主要研究實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)k[x1,x2,…,xn],其中k是一個(gè)域。多項(xiàng)式環(huán)的研究在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初取得進(jìn)展,希爾伯特、拉斯克爾和麥考萊證明,在多項(xiàng)式環(huán)中每一個(gè)理想都是準(zhǔn)素理想的有限交,且具有唯一性。如果用幾何的語(yǔ)言,就是說(shuō)每一個(gè)簇都是不可約簇的唯一有限交。

諾特在論文“環(huán)中的理想論”中,將這個(gè)結(jié)果推廣到具有升鏈條件的任意交換環(huán),并得到在這樣的環(huán)中每一個(gè)理想都是準(zhǔn)素理想的有限交,且具有唯一性。她將唯一因子分解理論從多項(xiàng)式環(huán)、代數(shù)數(shù)域以及代數(shù)函數(shù)域的整環(huán)擴(kuò)展并抽象,得出帶有升鏈條件的抽象的交換環(huán),現(xiàn)在稱(chēng)之為諾特環(huán)。

現(xiàn)在,一個(gè)環(huán)A稱(chēng)為諾特環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)由A的理想所組成的升鏈a1?a2?…?an?…,必存在n,m屬于N,使得對(duì)所有的n,m≥N,都有an=am。[26]

弗蘭克爾沒(méi)有用理想建立起環(huán)和因子分解問(wèn)題之間的相互關(guān)系,而諾特首先給出了它們的聯(lián)系。因?yàn)楫?dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)家還對(duì)環(huán)的概念很陌生,所以諾特在文章中證明了環(huán)的最基本性質(zhì)。

實(shí)際上,諾特在論文的一開(kāi)始就清楚地說(shuō)明了文章的目的。她這樣寫(xiě)道：

這篇文章的目標(biāo)為,把有理整數(shù)的因子分解定理以及代數(shù)數(shù)域上理想的因子分解定理推廣到任意整環(huán)以及一般環(huán)的理想上。([24],25頁(yè))

她在這篇文章中闡述了4個(gè)因子分解定理,開(kāi)始研究環(huán)的抽象結(jié)構(gòu),并逐漸得到了數(shù)學(xué)家們的一致認(rèn)可。她把交換環(huán)的理想的升鏈條件納入進(jìn)來(lái),并且給出了這些環(huán)存在基本分解的證明。在交換代數(shù)當(dāng)中,準(zhǔn)素分解能夠把一個(gè)交換環(huán)的理想或者模唯一地表示為準(zhǔn)素理想或者準(zhǔn)素子模之交。這個(gè)結(jié)果可以說(shuō)是算術(shù)基本定理的推廣,可以用來(lái)研究代數(shù)幾何的課題。

拉斯克爾在1905年在文章“模與理想論”(ZurTheoriederModulnundIdeale)中證明了這個(gè)結(jié)論對(duì)于R為多項(xiàng)式環(huán)的情形成立[27],而諾特在“環(huán)中的理想論”中證明了這個(gè)推廣形式。因此,準(zhǔn)素分解的存在性也一向稱(chēng)為拉斯克爾-諾特定理。

她借鑒戴德金的方法,用“由一個(gè)數(shù)生成的理想”來(lái)代替“數(shù)”,得到代數(shù)數(shù)域上的關(guān)于理想的定理。她借鑒弗蘭克爾的思想,定義了抽象環(huán)。她認(rèn)為弗蘭克爾所給出的環(huán)的定義,有一些不必要的限制條件。她主要研究了滿(mǎn)足有限性條件(Endlichkeitbedingung)的交換環(huán)(一般而言沒(méi)有單位元),即每個(gè)理想都有一個(gè)有限基的環(huán)。她證明了,有限性條件和升鏈條件等價(jià)。戴德金和拉斯克爾之前已經(jīng)證實(shí)和使用過(guò)具體的升鏈條件,而諾特把升鏈條件重視起來(lái),這是一個(gè)重要轉(zhuǎn)變。

總之,諾特在“環(huán)中的理想論”中引入了抽象代數(shù)學(xué)的環(huán)、模、理想和升鏈條件等基本概念,并使得這些概念處于顯著地位,還綜合運(yùn)用了抽象方法、公理方法和概念性方法。事實(shí)上,戴德金曾提出和研究過(guò)這些概念,因此諾特一向推崇戴德金是有道理的。諾特負(fù)責(zé)編輯戴德金的全集,受到戴德金的影響也是自然的。

當(dāng)然,諾特在“環(huán)中的理想論”中主要關(guān)注的問(wèn)題還是唯一因子分解問(wèn)題。根據(jù)范德瓦爾登的評(píng)價(jià),這篇文章表明,把希爾伯特的方法應(yīng)用于多項(xiàng)式理論是很成功的,因?yàn)樗鴥H以有限性條件為基礎(chǔ)的拉斯克爾定理的一個(gè)證明。諾特的工作表明,這個(gè)定理對(duì)所有這樣的環(huán)都成立,因?yàn)榄h(huán)里的每個(gè)理想都有一個(gè)有限基[5,7]。抽象環(huán)里對(duì)因子分解問(wèn)題的進(jìn)一步公理化是諾特本人在1926年完成、1927年發(fā)表的。

1927年,諾特發(fā)表“代數(shù)數(shù)域和代數(shù)函數(shù)域上理想論的抽象結(jié)果”。她在更為嚴(yán)密的抽象公理化背景下,討論了將理想表示成代數(shù)數(shù)域和代數(shù)函數(shù)域的整環(huán)中唯一素理想乘積,闡釋了其中每一個(gè)非零理想均可以唯一表示成素理想的乘積的抽象交換環(huán),這種環(huán)現(xiàn)在稱(chēng)為戴德金環(huán)。

四是現(xiàn)有糧食管理系統(tǒng)仍然可以正常運(yùn)行。當(dāng)前，國(guó)家糧食局是負(fù)責(zé)全國(guó)糧食流通宏觀調(diào)控具體業(yè)務(wù)、行業(yè)指導(dǎo)和中央儲(chǔ)備糧行政管理的行政機(jī)構(gòu)。如果將大豆(與薯類(lèi))從原口徑中分列出來(lái)，可能會(huì)影響糧食局職能部門(mén)的一些業(yè)務(wù)調(diào)整，但并不會(huì)改變現(xiàn)有糧食局系統(tǒng)的職權(quán)范圍。而且，統(tǒng)計(jì)口徑調(diào)整將進(jìn)一步明晰口糧、飼料用糧與油料概念，有助于精準(zhǔn)調(diào)控全國(guó)口糧、飼料用糧與油料的生產(chǎn)與流通，實(shí)現(xiàn)全國(guó)的糧食管理從強(qiáng)調(diào)“糧食安全”向強(qiáng)調(diào)“食物安全”轉(zhuǎn)變，拓寬解決糧食問(wèn)題的思路。

3.2 “代數(shù)數(shù)域和代數(shù)函數(shù)域上理想論的抽象結(jié)果”

諾特的論文“代數(shù)數(shù)域和代數(shù)函數(shù)域上理想論的抽象結(jié)果”主要源于代數(shù)數(shù)論,也或多或少受代數(shù)幾何學(xué)的影響。那么代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何是如何影響她的這篇論文的呢？

就代數(shù)數(shù)論的影響而言,代數(shù)數(shù)論可以追溯到高斯的二次型理論、四次互反律以及費(fèi)馬大定理。而求解或求證這些問(wèn)題的關(guān)鍵都是代數(shù)數(shù)域整數(shù)環(huán)中的唯一因子分解,試圖尋找使得唯一因子分解成立的環(huán)。戴德金和克羅內(nèi)克分別用不同的方法找到了這樣的環(huán),引入了理想的因子分解。如果R是一個(gè)代數(shù)數(shù)域的整數(shù)環(huán),那么R的每一個(gè)理想均能夠唯一地表示成素理想的乘積。

就代數(shù)幾何而言,代數(shù)幾何研究代數(shù)曲線以及代數(shù)簇。代數(shù)曲線相當(dāng)于是代數(shù)函數(shù)的根所組成的集合。1882年戴德金和韋伯(H. Weber,1842～1913)用代數(shù)的方法闡述了黎曼(G. F. B. Riemann,1826～1866)關(guān)于復(fù)值函數(shù)論的一些思想。戴德金和韋伯把代數(shù)數(shù)域和代數(shù)函數(shù)域進(jìn)行類(lèi)比,把代數(shù)數(shù)域中的結(jié)果移植到了代數(shù)函數(shù)域中。戴德金和韋伯還指出了代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何間的相互交叉影響。具體來(lái)講,在代數(shù)數(shù)論中可以將一個(gè)代數(shù)數(shù)域Q(u)和一個(gè)給定的代數(shù)數(shù)u聯(lián)系起來(lái),在代數(shù)幾何中也可以將一個(gè)代數(shù)函數(shù)域C(x,y)和一個(gè)給定的代數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。C(x,y)由變量為x和y的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)成,其中y滿(mǎn)足系數(shù)在C(x,y)中的一個(gè)多項(xiàng)式方程,也就是說(shuō),y是C(x)上的代數(shù)元素。如果A是C(x,y)的整數(shù)環(huán),也就是說(shuō),A由系數(shù)在C(x)中,首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式C(x,y)的根構(gòu)成,那么戴德金和韋伯的論文中的一個(gè)主要結(jié)果就是：A中的每一個(gè)理想可以唯一地表示為素理想的乘積[6]。以此為基礎(chǔ),諾特在“代數(shù)數(shù)域和代數(shù)函數(shù)域上理想論的抽象結(jié)果”中將上述代數(shù)數(shù)域和代數(shù)函數(shù)域中的分解結(jié)果推廣到了交換環(huán)中。事實(shí)上,她刻畫(huà)了那些每一個(gè)理想均能夠唯一地表示成素理想乘積的交換環(huán)。

她一改在“環(huán)中的理想論”中一開(kāi)始就給出升鏈條件的風(fēng)格,從一個(gè)交換環(huán)R出發(fā),通過(guò)引進(jìn)新公理,證明了一系列分解定理,使得各個(gè)公理和定理之間有了更好的銜接。把她在這里引入的5個(gè)公理組合起來(lái),就定義了而今的戴德金環(huán)。滿(mǎn)足環(huán)里的每個(gè)準(zhǔn)素理想是一個(gè)素理想的方冪。她證明了R是一個(gè)戴德金整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)

(1)R滿(mǎn)足升鏈條件；

(3)對(duì)于環(huán)R的乘法,存在一個(gè)單位元；

(4)環(huán)R里沒(méi)有零因子；

(5)環(huán)R在它的商域當(dāng)中為整閉的。(也就是說(shuō),商域的每個(gè)元素對(duì)于R是一個(gè)整數(shù),它實(shí)際上屬于R。)

諾特在給出因子分解定理的證明之前,先給出環(huán)的一般性的介紹。環(huán)是帶有兩種運(yùn)算的一個(gè)集合。她認(rèn)為應(yīng)該在集合上定義相等關(guān)系(Gleichheitsrelation)。她的解釋與弗蘭克爾對(duì)于環(huán)的處理有些相近。這個(gè)相等關(guān)系在環(huán)的結(jié)構(gòu)里有重要作用。她認(rèn)為,如果相等的含義不是集合論中的恒等式,那么為使相等可以應(yīng)用于每個(gè)子系統(tǒng),比如子環(huán)、模、理想等,這樣的子系統(tǒng)和一個(gè)固定元素必須同時(shí)包含與它相等的所有元素[25]。

她給出了一些基本概念。選取一個(gè)有單位元但無(wú)零因子的環(huán)T,考慮它的一個(gè)包含單位元的固定子環(huán)R。一個(gè)R-模被定義為T(mén)的一個(gè)子集,其元素滿(mǎn)足R中的加法和乘法。一個(gè)理想是它的所有元素都屬于R的一個(gè)模。R的完全包含在T里的擴(kuò)張環(huán)S稱(chēng)為序。

R-模的理論比起向量空間的線性代數(shù)更復(fù)雜一些。這個(gè)概念最初是由戴德金定義的,表示理想的因子分解定理成立的數(shù)的集合；代數(shù)整數(shù)的集合就是其中一個(gè)序。戴德金認(rèn)為,序是具有一般性的理論,代數(shù)整數(shù)集合只是其特殊情形。諾特在抽象環(huán)中完成了戴德金的設(shè)想,她直接把戴德金的思想轉(zhuǎn)換到抽象環(huán)及其擴(kuò)張中。

諾特還論述了有限模,即存在一個(gè)有限基的模。諾特證明了定理：

如果R是滿(mǎn)足升鏈條件的有單位元的交換環(huán),M是一個(gè)有限的左R-模,那么M也滿(mǎn)足升鏈條件。([25],34頁(yè))

這個(gè)定理是用結(jié)構(gòu)化的語(yǔ)言來(lái)表述和證明的,其證明依賴(lài)M的子模的格和R的理想的格之間的某個(gè)對(duì)應(yīng)。這個(gè)格簡(jiǎn)潔地表達(dá)了這兩個(gè)域的子域的包含關(guān)系。她對(duì)任意一個(gè)環(huán)的模同構(gòu)定理進(jìn)行了抽象化。她認(rèn)為,抽象環(huán)不但是一個(gè)闡明廣義的因子分解定理的好結(jié)構(gòu),而且越來(lái)越成為有內(nèi)在價(jià)值的研究對(duì)象。

在確定抽象環(huán)論的基礎(chǔ)和實(shí)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)化的過(guò)程中,因子分解定理實(shí)際上是自然的。與在“環(huán)中的理想論”一文中一樣,諾特證明了不可約理想是準(zhǔn)素理想,這可由升鏈條件直接推出。她證明了,準(zhǔn)素理想是與其相伴的素理想的方冪。她在推論中給出主分解定理：若環(huán)R滿(mǎn)足上面的5個(gè)公理,則R中的每一個(gè)理想均能夠唯一地表示成有限個(gè)素理想的方冪的交。

在論文“代數(shù)數(shù)域和代數(shù)函數(shù)域上理想論的抽象結(jié)果”中,她還證明了環(huán)和模的同態(tài)和同構(gòu)定理,證明了模M有一個(gè)合成列當(dāng)且僅當(dāng)它滿(mǎn)足升鏈條件和降鏈條件。諾特也證明了如果R-模M是有限生成的且R滿(mǎn)足升鏈條件或降鏈條件,則M也滿(mǎn)足升鏈條件或降鏈條件。實(shí)際上,這是證明了雙鏈條件與合成列的等價(jià)性。她通過(guò)對(duì)合成列的長(zhǎng)度進(jìn)行歸納,證明了廣義的若爾當(dāng)-霍爾德定理[4]。

4 愛(ài)米·諾特的影響

從純數(shù)學(xué)上來(lái)講,諾特沒(méi)有簡(jiǎn)單地整合前人的成就,而是證明了許多新定理,發(fā)展了許多新理論,幫助建立了即將統(tǒng)治數(shù)學(xué)許多年的代數(shù)學(xué)新觀念。與域論抽象化的集大成者斯坦尼茲的工作相比,她的工作有更大的整體影響。群論是第一個(gè)抽象化的代數(shù)學(xué)科,域論是第一個(gè)從數(shù)域的研究中產(chǎn)生并轉(zhuǎn)化為抽象的、結(jié)構(gòu)化對(duì)象的代數(shù)學(xué)科,而抽象環(huán)里理想論的研究,則強(qiáng)化了作為一門(mén)學(xué)科,代數(shù)學(xué)應(yīng)該是關(guān)于代數(shù)結(jié)構(gòu)研究的一門(mén)學(xué)科。這一門(mén)學(xué)科的成熟也帶動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

諾特的影響力之大,我們可以通過(guò)一些著名數(shù)學(xué)家對(duì)她的中肯評(píng)價(jià)來(lái)體悟。代數(shù)學(xué)家卡普蘭斯基(I. Kaplansky,1917～2006)把諾特譽(yù)為抽象代數(shù)學(xué)之母。麥克萊恩(S. MacLane,1909～2005)認(rèn)為抽象代數(shù)學(xué)作為一門(mén)真正的學(xué)科,就是從諾特1921年發(fā)表的論文“環(huán)中的理想論”開(kāi)始。外爾則認(rèn)為諾特使得代數(shù)學(xué)的面貌煥然一新。外爾還認(rèn)為,諾特的工作對(duì)自己在群和量子力學(xué)方面的工作非常有益。他曾說(shuō)：

她對(duì)代數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)不能完全從她自己的論文中來(lái)看。她循循善誘,其許多思想是在她的學(xué)生及合作者的工作中體現(xiàn)出來(lái)的。[28]

這一評(píng)述一點(diǎn)也沒(méi)錯(cuò),因?yàn)槲覀円呀?jīng)看到,上面諾特和施梅迪勒的合作就體現(xiàn)了她的思想。范德瓦爾登無(wú)疑是受到了諾特的深刻影響,不但是他的《近世代數(shù)學(xué)》著作,而且他對(duì)代數(shù)幾何的研究同樣如此。范德瓦爾登曾說(shuō)：

1924年,當(dāng)我來(lái)到哥廷根時(shí),展現(xiàn)在我面前的是一個(gè)新世界。我從諾特那里獲悉,解決我的代數(shù)幾何問(wèn)題的工具已經(jīng)有了……[29]

范德瓦爾登還認(rèn)為：數(shù)、函數(shù)和運(yùn)算之間的關(guān)系,從它們的特殊對(duì)象分離開(kāi)來(lái)并且表述為普遍適用的概念之后,就變得更加透徹明朗,更可廣泛地應(yīng)用,產(chǎn)生更加豐富的結(jié)果。這正是對(duì)諾特的思想本質(zhì)的一個(gè)概述。在諾特去世后不久的1935年9月,亞歷山德羅夫(P. Alexandrov,1896～1985)發(fā)表了紀(jì)念諾特的講話,明確說(shuō)到他和霍普夫(H. Hopf,1894～1971)合寫(xiě)的著作里的許多重要思想都源于諾特。

諾特所產(chǎn)生的巨大影響還可以通過(guò)她在哥廷根的學(xué)生的數(shù)量和質(zhì)量一窺究竟。她指導(dǎo)過(guò)的博士生有(其中名字前的時(shí)間是博士畢業(yè)年份)：1911年,法爾肯博(H. Falckenberg,1885～1946)；1916年,賽德?tīng)柭?F. Seidelmann,1890～？)；1925年,赫爾曼(G. Hermann,1901～1984)；1926年,格雷爾(H. Grell,1903～1974)；1927年,多拉特(W. Dor?te)；論文未及答辯即亡故,霍爾澤(R. H?lzer,1903～1926)；1929年,韋伯(W. Weber,1906～1975)；1929年,列維茨基(J. Levitski,1904～1956)；1930年,多伊林(M. Deuring,1907～1984)；1931年,費(fèi)汀(H. Fitting,1906～1938)；1933年,維特(E. Witt,1911～1991)；1933年,曾炯(C. Tsen,1897～1940)；1934年,席林(O. Schilling,1911～1973)；1935年,斯托弗(R. Stauffer,1910～1993)；1935年,沃貝克(W. Vorbeck,1909～？)；1936年,維希曼(W. Wichmann,1912～1944)。這份名單中的曾炯是中國(guó)數(shù)學(xué)家。

除學(xué)生外,還有很多圍繞在諾特身邊的學(xué)者和同事,在哥廷根大學(xué)形成了以諾特為首的抽象代數(shù)學(xué)派。2015年3月23日,谷歌為紀(jì)念諾特誕辰133周年,專(zhuān)門(mén)為其制作了數(shù)學(xué)涂鴉。這個(gè)谷歌數(shù)學(xué)涂鴉中除了有諾特的照片之外,背景當(dāng)中有很多與環(huán)有關(guān)的物件,就是為了紀(jì)念諾特對(duì)于環(huán)論的貢獻(xiàn)。

諾特在交換環(huán)論方面的成果標(biāo)志著抽象交換環(huán)理論的建立。之后,抽象交換環(huán)理論沿著多個(gè)方向發(fā)展：建立不變量理論與結(jié)構(gòu)理論,如維數(shù)及局部環(huán)理論；建立表示理論,導(dǎo)致同調(diào)代數(shù)的發(fā)展；更重要的則是逐步幾何化,與抽象代數(shù)幾何融合在一起。特別值得一提的是,受諾特關(guān)于交換環(huán)的升鏈條件工作的影響,1927年,阿廷把韋德玻恩(J. H. M. Wedderburn,1882～1948)關(guān)于代數(shù)的結(jié)構(gòu)定理推廣到滿(mǎn)足降鏈條件的非交換環(huán)。帶有零根的這樣的環(huán)現(xiàn)在稱(chēng)為阿廷環(huán)。他證明阿廷環(huán)能分解為單環(huán)的直和,而單環(huán)是可除環(huán)上的矩陣環(huán)。1930年,科特(G. K?the,1905～1989)引進(jìn)根基的概念,并試圖把根基理論推廣到更一般的環(huán)上,由此開(kāi)辟了結(jié)合環(huán)理論的未來(lái)方向。一般結(jié)合環(huán)理論的發(fā)展呈多樣性,其中重要的有群代數(shù)和PI代數(shù)。群代數(shù)來(lái)源于諾特把超復(fù)數(shù)系與群表示論的結(jié)合。PI代數(shù)是滿(mǎn)足多項(xiàng)式等式的結(jié)合代數(shù),與李代數(shù)及群論的伯恩賽德問(wèn)題密切相關(guān)。非結(jié)合環(huán)及非結(jié)合代數(shù)的主要研究領(lǐng)域有李代數(shù)及若爾當(dāng)代數(shù),另外還有交錯(cuò)代數(shù)及冪結(jié)合代數(shù)。總之,在抽象交換環(huán)論建立之后,其自身的研究領(lǐng)域繼續(xù)不斷拓展和深化,同時(shí)也促進(jìn)了整個(gè)環(huán)論的發(fā)展,這可以說(shuō)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的一個(gè)基礎(chǔ)。

致 謝 衷心感謝審稿專(zhuān)家提出的寶貴建議和意見(jiàn)!

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25 Noether E. Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-und Funktionsk?rper[J].MathematischeAnnalen, 1927, 96: 26～61.

26 熊全淹. 環(huán)論[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 1993. 43～45.

27 Lasker E. Zur Theorie der Moduln und Ideale[J].MathematischeAnnalen, 1905, 60: 20～116.

28 Weyl H. Emmy Noether[J].ScriptaMathematica, 1935(3): 201～220.

29 Van der Waerden B. L. The school of Hilbert and Emmy Noether[J].BulletinoftheLondonMathematicalSociety, 1983, 15 (1): 1～7.

Emmy Noether’s Contributions to Commutative Ring Theory

WANG Shuhong, DENG Mingli

(CollegeofMathematicsandInformationScience,HebeiNormalUniversity,Shijiazhuang050024,China)

As an important branch of mathematics, abstract algebra mainly studies the mathematical structures of groups, rings, fields, modules, lattices, etc. Ring theory is one of the deepest areas in abstract algebra. According to whether multiplication is commutative or non-commutative, rings are classified into commutative rings and non-commutative rings. Based upon a large number of original documents and research results, the reason why Emmy Noether turned her research from invariant theory to commutative ring theory is elucidated. An attempt is made to reveal how she constructed the abstract theory of commutative rings through the introduction and skilled application of the ascending chain condition, and thus promoted the subject of abstract algebra.

abstract algebra, Emmy Noether, commutative rings, ascending chain condition

2015- 08- 25；

2016- 07- 08 作者簡(jiǎn)介：王淑紅,1976年生,河北黃驊人,副教授,研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)及近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史；鄧明立(通訊作者),1962年生,河北辛集人,教授,研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)及近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史。 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：11271108；11401161)

N091∶O11

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1000- 0224(2016)04- 0477- 10