基于威布爾分布模型及小子樣增廣的滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副可靠性試驗(yàn)研究*

李 雋，歐 屹，韓 軍

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 南京 210094)

基于威布爾分布模型及小子樣增廣的滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副可靠性試驗(yàn)研究*

李 雋，歐 屹，韓 軍

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 南京 210094)

針對我國滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副可靠性試驗(yàn)存在的問題，結(jié)合機(jī)械產(chǎn)品本身的試驗(yàn)特性和失效特性，提出了基于威布爾分布模型和小子樣數(shù)據(jù)樣本增廣及分析方法。選取一家導(dǎo)軌產(chǎn)品開展了加速壽命試驗(yàn)，得到該款導(dǎo)軌產(chǎn)品的威布爾分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，方便分析研究，為以后進(jìn)行導(dǎo)軌可靠性試驗(yàn)分析樣本提供了一種思路。

滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副；加速壽命試驗(yàn)；威布爾分布；小子樣

0 引言

機(jī)械可靠性是指機(jī)械產(chǎn)品在規(guī)定的使用條件下、規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定功能的能力[1]。對于機(jī)械產(chǎn)品來說，傳統(tǒng)的電子產(chǎn)品可靠性試驗(yàn)與分析方法并不能完全適用。日本工程師額田啟三[2]就曾提出機(jī)械產(chǎn)品的可靠性研究不適合通過大樣本的可靠性試驗(yàn)一次性給出結(jié)論的方法，而適合采用少量樣本長期進(jìn)行研究。

針對機(jī)械產(chǎn)品本身的試驗(yàn)特性和失效特性，W. J. Bochi[3]通過研究提出機(jī)械零件的失效概率密度近似服從指數(shù)分布的理論；也有不少學(xué)者[4]指出，機(jī)械產(chǎn)品的可靠性模型更接近于服從對數(shù)正態(tài)分布或者威布爾分布。根據(jù)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌的應(yīng)力類型和以疲勞磨損為主要失效形式的失效機(jī)理，對于滾動(dòng)直線導(dǎo)軌其特征壽命就是平均故障間隔時(shí)間，所以一般不完全符合指數(shù)分布和正態(tài)分布。而實(shí)踐證明，威布爾分布可以用來描述各種因素對機(jī)械零件疲勞壽命的影響[5]，但我國在這方面仍然缺乏結(jié)合具體實(shí)驗(yàn)作為支撐的樣本分析及處理。

本文在可靠性試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，得到了故障數(shù)據(jù)和失效樣本，對故障數(shù)據(jù)虛擬增廣得到多組故障數(shù)據(jù)，具有很強(qiáng)的工程性，可以借鑒應(yīng)用到無故障的可靠性試驗(yàn)結(jié)果分析中去，以區(qū)分不同產(chǎn)品在功能可靠性試驗(yàn)中的質(zhì)量狀況。同時(shí)，隨著滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副功能可靠性試驗(yàn)的深入開展，試驗(yàn)方案的更加優(yōu)化，可以獲取更多的故障樣本，從而驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性，拓寬功能可靠性試驗(yàn)的意義。

1 威布爾分布及小子樣分析方法

1.1 威布爾分布模型的建立

威布爾分布是一種應(yīng)用廣泛的分布模型。研究表明，很多電子或機(jī)械產(chǎn)品都服從威布爾分布[6]。威布爾分布是含有三參數(shù)的壽命分布，可以全面的描述不同產(chǎn)品的分布狀態(tài)，并且在參數(shù)不同時(shí)威布爾分布可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布和正態(tài)分布，應(yīng)用非常廣泛。威布爾分布可以從最弱環(huán)節(jié)模型中導(dǎo)出，該模型指出，故障發(fā)生在產(chǎn)品構(gòu)成中的最弱部位，則該部位的壽命就決定了整個(gè)系統(tǒng)的壽命[7]。實(shí)踐證明，一般由于某個(gè)局部失效而導(dǎo)致系統(tǒng)失效的元件設(shè)備等都可近似看作服從威布爾分布。一般來說金屬材料產(chǎn)品(如軸承)的疲勞壽命就是服從威布爾分布。同樣的，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副也可認(rèn)為服從威布爾分布。故假設(shè)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌的壽命分布服從威布爾分布，選取威布爾分布作為壽命特征的研究模型。

威布爾的分布函數(shù)為：

F(t)=1-e-(t-γη)m, t≥0

(1)

密度函數(shù)為：

f(t)=mη·-(t-γη)m-1·e-(t-γη)m,t≥0

(2)

式中，η為尺寸參數(shù)，m 為形狀參數(shù)，γ 為位置參數(shù)。

令γ =0，可將式(2)簡化為兩參數(shù)的威布爾分布，記為W(m,η)

f(t)=mη·(tη)m-1·e(tη)m),t≥0

(3)

分析可得，當(dāng)形狀參數(shù)m不同時(shí)，其分布類型也不同。當(dāng)m<1時(shí)，早期失效較多；當(dāng)m=1時(shí)，分布即為指數(shù)分布；當(dāng)m>1時(shí)，密度函數(shù)呈單峰狀；當(dāng)m≥3時(shí)，分布呈漸對稱狀，近似于服從正態(tài)分布。而尺寸參數(shù)就是試驗(yàn)產(chǎn)品的特征壽命。

根據(jù)定義，可以計(jì)算得到兩參數(shù)威布爾分布的以下函數(shù)：

失效率函數(shù):

λ(t)=mηmtm-1

(4)

平均壽命:

E(T)=ηΓ(1m+1)

(5)

式中，Γ(1m+1)是伽馬函數(shù)，對應(yīng)數(shù)值可以查表得到。

可靠壽命:

t(R)=η(-lnR)1/m

(6)

特征壽命:

t(e-1)=η

(7)

可靠度函數(shù)：

R(t)=1-F(t)=e-(tη)m

(8)

對可靠度函數(shù)式(8)兩邊同時(shí)取對數(shù)后得：

-lnR(t)=(tη)m

(9)

對式(9)再次兩邊取對數(shù)得：

ln[-lnR(t)]=m[lnt-lnη]

(10)

根據(jù)逆冪律模型公式，令：x=lnt

y=ln[-lnR(t)]

(11)

則式(11)可轉(zhuǎn)化為y=mx-B

其中，

B=mlnη

(12)

上述過程是威布爾模型的線性化過程，稱為威布爾變換。

根據(jù)式(12)可見威布爾分布函數(shù)在x=lnt,y=ln[-lnR(t)]時(shí)，呈一條直線的分布，直線的斜率就是形狀參數(shù)m。

1.2 基于恒加試驗(yàn)威布爾分布的數(shù)據(jù)分析

在恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對服從威布爾分布的產(chǎn)品試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，首先要滿足三個(gè)假設(shè)。

假設(shè)1：分布相同

產(chǎn)品在試驗(yàn)設(shè)定的加速應(yīng)力水平S1，S2，S3…Sn下以及在正常應(yīng)力水平S0時(shí)均服從布爾分布；

假設(shè)2：失效機(jī)理相同

產(chǎn)品在試驗(yàn)設(shè)定的加速應(yīng)力水平S1，S2，S3…Sn下以及在正常應(yīng)力水平S0時(shí)產(chǎn)品失效機(jī)理相同。威布爾分布式中形狀參數(shù)m反映了產(chǎn)品失效機(jī)理，該假設(shè)也意味著分布形狀參數(shù)m相同；

假設(shè)3：加速模型

產(chǎn)品特征壽命η和應(yīng)力水平Si之間服從加速模型

lnη=a+bφ(Si)

(13)

式中，a，b為待估參數(shù)，φ(Si)是已知函數(shù)。

在這三條假設(shè)的基礎(chǔ)上，已知產(chǎn)品服從威布爾分布，在恒加試驗(yàn)獲得的產(chǎn)品的壽命數(shù)據(jù)t1≤t2≤…≤ti可以寫成與可靠度的數(shù)組：

(tn，n) n=1,2,…i

(14)

這里Rn的可靠度可通過失效頻率取估計(jì)值，但此估計(jì)往往是偏高估計(jì)，故在實(shí)際使用中一般使用失效概率的無偏估計(jì)得到可靠度的估計(jì)值：

n=1-Fn=1-(n/i+1) n=1,2,…i

(15)

然后利用威布爾變換，將數(shù)組轉(zhuǎn)化為：

(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)

(16)

將所得的數(shù)據(jù)繪制在坐標(biāo)系下，得到威布爾概率紙圖。若該產(chǎn)品壽命服從威布爾分布，則其在威布爾概率圖紙上的分布應(yīng)成一條直線。

1.3 小子樣條件下的可靠性試驗(yàn)分析

對于滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副產(chǎn)品，由于價(jià)格較昂貴，試驗(yàn)周期較長，一般不可能選取較大樣本量進(jìn)行試驗(yàn)。因此，需要找到一種適合導(dǎo)軌產(chǎn)品的小子樣可靠性評價(jià)方法[8]。對于小子樣數(shù)據(jù)的分析和處理，前人的基本方法都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的累積分布產(chǎn)生隨機(jī)樣本，從而對樣本量進(jìn)行增廣。但是這種方法通常也需要10個(gè)或以上的樣本量。

針對樣本量往往小于等于5的極少樣本數(shù)的導(dǎo)軌副加速壽命試驗(yàn)進(jìn)行研究，首先也是要對樣本量進(jìn)行虛擬增廣[9-10]。樣本虛擬增廣的實(shí)質(zhì)是產(chǎn)生一組隨機(jī)數(shù)組，使得該數(shù)組與原試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從同樣的分布形式，同時(shí)增廣后的樣本應(yīng)滿足增廣子樣的均值和標(biāo)準(zhǔn)差與原試驗(yàn)樣本或類似產(chǎn)品的經(jīng)驗(yàn)值相等。

假設(shè)原始樣本數(shù)為n=1，需要把樣本量增廣至m。

可通過以下經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行虛擬增廣：

T=T0±[0.106×(i-1)2+c]σ i=1,2,3…m/2

(17)

式中，T為虛擬后的樣本值；T0為樣本均值；σ為樣本標(biāo)準(zhǔn)差或類似件產(chǎn)品試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差；c為待定常數(shù)系數(shù)。

假設(shè)在原有樣本數(shù)據(jù)T0的基礎(chǔ)上增廣樣本量至10個(gè)，那么增廣后的樣本T1,T2,T3,…,T10分別為式(18)：

T1=T0-[0.106×42+c]σ
T2=T0-[0.106×32+c]σ
T3=T0-[0.106×22+c]σ
T4=T0-[0.106×12+c]σ
T5=T0-cσ
T6=T0+cσ
T7=T0+[0.106×12+c]σ
T8=T0+[0.106×22+c]σ
T9=T0+[0.106×32+c]σ
T10=T0+[0.106×42+c]σ

(18)

又根據(jù)虛擬增廣方法成立的條件，增廣后的樣本均值和方差應(yīng)與之前相同，所以可立方程組：

(19)

求解可得c=0.135，將c代入公式求T1,T2,T3,…,T10得，可以得到增廣后的樣本。

2 滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副加速壽命試驗(yàn)

2.1 滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副可靠性試驗(yàn)系統(tǒng)

加速壽命試驗(yàn)在滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副可靠性試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行，試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 導(dǎo)軌可靠性試驗(yàn)臺(tái)示意圖

本設(shè)計(jì)目的是對導(dǎo)軌副的功能可靠性特征進(jìn)行試驗(yàn)和測量，可以對導(dǎo)軌副產(chǎn)品進(jìn)行可靠性摸底試驗(yàn)、可靠性增長試驗(yàn)以及可靠性鑒定試驗(yàn)等[11]。滾動(dòng)直線導(dǎo)軌可靠性試驗(yàn)臺(tái)是通過對導(dǎo)軌副進(jìn)行模擬實(shí)際工況的加載和跑合，試驗(yàn)過程中記錄振動(dòng)、噪聲、負(fù)載等的信號變化情況以及跑合過程中被測導(dǎo)軌副出現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象以及故障信息，從而通過對試驗(yàn)樣本和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析處理結(jié)果對被測導(dǎo)軌的可靠性做出相應(yīng)驗(yàn)證、測定或評估。

2.2 加速壽命試驗(yàn)過程及記錄

試驗(yàn)樣本選取某廠家型號為2-35-3000的導(dǎo)軌，在負(fù)載為30%額定動(dòng)載荷、速度為80m/min條件下，在452km時(shí)出現(xiàn)反相器破裂、滾珠掉落的不可維修故障。跑合過程中噪聲值逐漸增大，最后在里程450km左右出現(xiàn)減小，分析其原因是試驗(yàn)后期滑塊內(nèi)部滾珠和滾道出現(xiàn)疲勞剝落，磨損發(fā)熱嚴(yán)重，導(dǎo)致反相器灼燒破壞，滾珠脫落，最終滑塊脫離加載裝置；拆卸滑塊后發(fā)現(xiàn)滑塊內(nèi)滾道和滾珠均出現(xiàn)不同程度疲勞點(diǎn)蝕，此時(shí)試驗(yàn)終止；試驗(yàn)階段共出現(xiàn)四次故障，并通過維修后繼續(xù)試驗(yàn)，試驗(yàn)記錄匯總?cè)绫?。

表1 試驗(yàn)記錄匯總

在160km處噪聲明顯增大，滑塊內(nèi)有大量黑油，此時(shí)進(jìn)行清潔滑塊，添加潤滑脂的工作；進(jìn)行260km時(shí)，噪聲超過87dB，滾道出現(xiàn)較多磨損及壓痕，340km開始，噪聲超過88dB，滑塊磨損嚴(yán)重，加載力出現(xiàn)喪失，此時(shí)進(jìn)行了重新加載并添加了潤滑脂，400km時(shí)加載力喪失20%以上，452km反相器燒蝕破壞、滾珠脫落。

滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副額定壽命L計(jì)算的基本公式為[11]：

L=fhftfcCfwPc350km

(20)

將上述故障發(fā)生時(shí)的里程換算為常規(guī)載荷下的跑合里程，負(fù)載為30%額定動(dòng)載荷，可以得到折合常規(guī)載荷跑合里程為4320km、7020km、9180km、10800km、12204km，進(jìn)而算出故障間隔時(shí)間，方便進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

在整個(gè)試驗(yàn)過程中，滑塊兩端不斷有油脂流出，噪聲值出現(xiàn)了由低到高再降低的過程，在試驗(yàn)后期，滑塊反相器燒蝕，其主要原因有預(yù)緊力和負(fù)載過大導(dǎo)致的摩擦力過大加劇導(dǎo)軌發(fā)熱；其次潤滑條件不佳或滑塊中進(jìn)入外界雜質(zhì)也會(huì)導(dǎo)致摩擦磨損加劇導(dǎo)致溫升異常；運(yùn)行速度過快、導(dǎo)軌頻繁反向也會(huì)使滑塊發(fā)熱過快以及散熱不及時(shí)導(dǎo)致反相器燒蝕。噪聲值在里程440km左右出現(xiàn)減小，原因是滑塊內(nèi)部滾珠和滾道出現(xiàn)疲勞剝落，導(dǎo)致加載松脫，最終滑塊脫離加載裝置，不足以支撐試驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行。為進(jìn)一步分析確認(rèn)該導(dǎo)軌樣件的狀態(tài)，在實(shí)驗(yàn)結(jié)束后對滑塊進(jìn)行拆解，發(fā)現(xiàn)此時(shí)滾珠及滑塊內(nèi)部滾道都出現(xiàn)不同程度疲勞點(diǎn)蝕現(xiàn)象，通過整個(gè)試驗(yàn)過程可以直觀反映出導(dǎo)軌的該可靠性能。

接下來可以通過對不同廠家在相同試驗(yàn)條件下的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，得到主流導(dǎo)軌的可靠性試驗(yàn)里程數(shù)，觀察滾動(dòng)體及溢出物等方面的不同，從而進(jìn)行結(jié)果的驗(yàn)證，也為驗(yàn)證數(shù)據(jù)處理結(jié)果提供幫助。

3 加速壽命試驗(yàn)結(jié)果分析

通過試驗(yàn)記錄結(jié)果可得，試驗(yàn)中的故障間隔時(shí)間分別為{4320，2700，2160，1620，1404}?？梢杂?jì)算得故障間隔時(shí)間的平均值為2440.8，標(biāo)準(zhǔn)差為1041.7。

按照小子樣分析方法對樣本進(jìn)行虛擬增廣，獲得10個(gè)隨機(jī)數(shù)，使這組數(shù)列滿足T0=2440.8，標(biāo)準(zhǔn)差為S=1041.7，并且服從威布爾分布。于是可得增廣樣本數(shù)據(jù){Ti}，i=1,2,…10為：{533.5，1306.4，1858.5，2189.8，2300，2440.8，2581.4，2691.2，3247.1，3575.2，4348.2}。

圖2 MTBF數(shù)據(jù)的威布爾概率紙圖

可寫出威布爾變換函數(shù)式為y=1.6087x-12.8543，可計(jì)算得尺寸參數(shù)η=2952.77，形狀參數(shù)m=1.6087；此時(shí)可寫出威布爾分布的分布函數(shù)為:

F(t)=1-e-(t2952.77)1.6087

威布爾分布圖如圖3。

圖3 威布爾分布圖

概率密度函數(shù)為：

f(t)=4.21×10-6·t0.6087·e-t2952.771.6087

概率密度圖如圖4。

圖4 威布爾分布概率密度圖

可靠度函數(shù)為：

R(t)=1-F(t)=e-t2952.771.6087

失效率函數(shù)為：

λ(t)=m/ηmt(m-1)=4.21×10-6t0.6087

同時(shí)可得到該型號導(dǎo)軌的其他壽命指標(biāo)：

威布爾分布特征壽命：

t(e-1)=η=2952.77km

平均壽命E(T)為：

E(T)=ηΓ(1m+1)=2645.98km

式中,Γ函數(shù)值可通過查表得到。

中位壽命t(0.5)為：

t(0.5)=η(ln2)1/m=2351.17km

可靠壽命t(R)為

t(R)=η(-lnR)1/m

由此可得，該型號導(dǎo)軌MTBF與可靠度的對應(yīng)關(guān)系如表2所示。

表2 某廠家2-35-3000型導(dǎo)軌MTBF與可靠度關(guān)系

在恒加壽命試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過小子樣的虛擬增廣得到一組樣本，通過載荷的等效計(jì)算可得，在正常工況下，該型號導(dǎo)軌產(chǎn)品可靠性特征如表2。在可靠度為90%的情況下，平均故障間隔時(shí)間MTBF可達(dá)到728.96km。

進(jìn)一步分析，根據(jù)公式(20)可反推得到額定動(dòng)載荷C的計(jì)算公式為：

C=fwPcfhftfc·3L50km

(21)

故在該加速壽命試驗(yàn)的基礎(chǔ)上得到導(dǎo)軌額定壽命試驗(yàn)值，進(jìn)而可通過壽命公式反推得到導(dǎo)軌額定動(dòng)載荷的計(jì)算值。

以該加速壽命試驗(yàn)為例，導(dǎo)軌在30%C、80m/min的加速工作狀態(tài)下，里程為452km時(shí)滑塊內(nèi)部出現(xiàn)嚴(yán)重破壞試驗(yàn)終止；經(jīng)分析，在試驗(yàn)進(jìn)行至340km時(shí)，噪聲明顯超出正常范疇，磨損嚴(yán)重，滑塊內(nèi)滾道和滾珠已開始出現(xiàn)疲勞剝落，故此處導(dǎo)軌壽命以340km描述。根據(jù)試驗(yàn)條件可知：

fh=1，ft=1，fc=1fw=1.6，
Pc=30%C0，L=340km

C0為產(chǎn)品手冊給定額定動(dòng)載荷值。根據(jù)公式(21)可知：

C=1.6×30%C03340/50=0.91C0

由此可知，導(dǎo)軌額定動(dòng)載荷試驗(yàn)值要小于理論計(jì)算值。若進(jìn)行多組試驗(yàn)，經(jīng)過威布爾分布函數(shù)的分析計(jì)算并得出概率函數(shù)，計(jì)算出導(dǎo)軌壽命值，通過小子樣增廣，可在此基礎(chǔ)上的到多組對應(yīng)導(dǎo)軌額定動(dòng)載荷值，最后可對比理論計(jì)算值，可以對額定動(dòng)載荷C進(jìn)行一定的優(yōu)化和修正。

4 結(jié)束語

針對國內(nèi)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副產(chǎn)品在可靠性方面相對落后，結(jié)合試驗(yàn)分析案例較少的現(xiàn)狀，對導(dǎo)軌可靠性的分析和評價(jià)方法進(jìn)行了研究。在威布爾分布模型增廣的基礎(chǔ)上，提出了符合導(dǎo)軌壽命分布的模型，并基于加速壽命試驗(yàn)提出了一種基于小子樣的導(dǎo)軌副產(chǎn)品可靠性分析方法。選擇一個(gè)廠家的導(dǎo)軌副產(chǎn)品進(jìn)行了加速的全壽命試驗(yàn)，按照產(chǎn)品失效服從威布爾分布的特點(diǎn)，對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析處理。在此基礎(chǔ)上，考慮到當(dāng)前壽命和額定動(dòng)載荷的理論計(jì)算方法的局限性，嘗試提出了基于試驗(yàn)的公式修正方法，為滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副可靠性的分析提供了基礎(chǔ)，后續(xù)需要繼續(xù)進(jìn)行大量試驗(yàn)進(jìn)行相關(guān)結(jié)論的驗(yàn)證。

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(編輯 李秀敏)

Test Bench Optimization and a Testing Methods for Rated Dynamic Load of Roller Linear Guide

LI Jun, OU Yi, HAN Jun

(School of Mechanical Engineering,Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

Aiming at the problems existing in the linear guide rail pair reliability test of China，combined with the test characteristics of mechanical product and failure characteristics，the article introduced the data analysis methods for small sample data reliability test based on the Weibull distribution model. Select one of companies and carry out the accelerated life test. Calculate the size and shape parameters of the distribution function in order to do other researches and provide a way to analyze the samples for reliability tests.

roller linear guide; accelerated life test; weibull distribution; small sample data optimization

1001-2265(2016)12-0148-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.12.040

2016-01-27;

2016-03-21

國家科技重大專項(xiàng)(2014ZX04011031)

李雋(1991—),男，江蘇徐州人，南京理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闈L動(dòng)直線軌道副可靠性與壽命研究，(E-mail)409962647@qq.com;通訊作者：韓軍(1963—)，女，南京人，南京理工大學(xué)副研究員，研究方向?yàn)榫軝C(jī)械測控系統(tǒng)，(E-mail)hanjun7045@163.com。

TH161;TG506

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