最大Lyapunov指數(shù)在確定混沌系統(tǒng)混沌參數(shù)域中的應(yīng)用

楊琪斌，王　基

(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

Application of the Largest Lyapunov Exponent for Confirming Parameter Domain of Chaos System

YANG Qibin，WANG Ji

(College of Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

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最大Lyapunov指數(shù)在確定混沌系統(tǒng)混沌參數(shù)域中的應(yīng)用

楊琪斌，王基

(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

Application of the Largest Lyapunov Exponent for Confirming Parameter Domain of Chaos System

YANG Qibin，WANG Ji

(College of Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

摘要：非線性振動(dòng)系統(tǒng)具有與傳統(tǒng)線性振動(dòng)系統(tǒng)不同的某些特點(diǎn)和性能，并且當(dāng)參數(shù)處于一定范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)將呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。最大Lyapunov指數(shù)是判斷非線性振動(dòng)系統(tǒng)是否為混沌的一個(gè)重要判據(jù)。提出了利用最大Lyapunov指數(shù)來確定Duffing系統(tǒng)的混沌參數(shù)區(qū)間的可行性，并利用參數(shù)的分岔圖進(jìn)行驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：Duffing系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)；參數(shù)

0引言

混沌現(xiàn)象是一種確定性的非線性運(yùn)動(dòng)。在工程中對(duì)混沌現(xiàn)象的利用稱之為混沌控制?；煦缈刂频那疤崾腔煦缱R(shí)別。通過混沌識(shí)別確定系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的參數(shù)域是一個(gè)非常重要的研究方向，非線性系統(tǒng)的混沌參數(shù)域與激勵(lì)幅值、激勵(lì)頻率等因素密切相關(guān)。目前，利用系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相圖、功率譜和Poincare映射這三種工具來進(jìn)行混沌判別應(yīng)用比較廣泛[1-4]。一個(gè)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)大于零時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。近些年來，Lyapunov的計(jì)算方法得到快速發(fā)展，1993年，Rosenstein等人基于軌道跟蹤法思想，提出了計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的小數(shù)據(jù)量法。楊愛波等人使用了基于空間分塊的k鄰域搜索法。這些算法的出現(xiàn)使得利用Lyapunov指數(shù)來進(jìn)行混沌識(shí)別，以確定系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的參數(shù)域成為可能。

1模型的建立

強(qiáng)Duffing模型是一種非常常見和具有代表性的非線性模型，如硬彈簧、鋼板彈簧、空氣彈簧等，都可以用強(qiáng)Duffing模型來描述其動(dòng)力特性，在工程中應(yīng)用非常廣泛。因此，強(qiáng)Duffing模型系統(tǒng)混沌特性的參數(shù)研究對(duì)于混沌控制及其在工程中的應(yīng)用指導(dǎo)都具有重要意義。

Duffing模型關(guān)于參數(shù)域的研究主要集中在單參數(shù)研究，所謂的單參數(shù)研究就是考慮系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的變化時(shí)只改變一個(gè)參數(shù)變量，而其他參數(shù)固定不變。這樣可以直觀的觀察到系統(tǒng)特性隨單一參數(shù)變化的規(guī)律。

非線性振動(dòng)系統(tǒng)如圖1所示，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

圖1　非線性振動(dòng)系統(tǒng)

(1)

K1X+K3X3為非線性彈性恢復(fù)力；K3為負(fù)時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)軟特性；K3為正時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)硬特性。

對(duì)方程(1)進(jìn)行無量綱化處理，得

(2)

(3)

2仿真實(shí)驗(yàn)

Duffing系統(tǒng)在沒有受外界激勵(lì)擾動(dòng)時(shí)，處于自激勵(lì)振蕩狀態(tài)，經(jīng)過一段時(shí)間后趨于穩(wěn)定狀態(tài)。要想使系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，需要對(duì)Duffing系統(tǒng)施加外激勵(lì)。以下仿真研究Duffing系統(tǒng)的不同參數(shù)處在哪個(gè)區(qū)間的時(shí)候，系統(tǒng)將處于混沌狀態(tài)。

2.1　阻尼因子

仿真參數(shù)：外激勵(lì)幅值f=43.00 N；激勵(lì)頻率ω=1.600 rad/s。

系統(tǒng)輸出隨阻尼因子k變化的分岔圖如圖2所示，由圖可知：k在區(qū)間(0.090 0-0.2000)中系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；k在區(qū)間(0.210 0-0.510 0)中系統(tǒng)處于周期三運(yùn)動(dòng)；k在區(qū)間(0.510 0-1.000 0)中系統(tǒng)處于周期一運(yùn)動(dòng)。

最大Lyapunov指數(shù)隨阻尼因子k變化的關(guān)系圖如圖3所示，由圖可知：k在區(qū)間(0.900 0-0.200 0)中最大LE大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，與分岔圖所得結(jié)果相同。

圖2　輸出隨阻尼因子k變化的全局分岔圖

圖3　最大LE與阻尼因子的關(guān)系

2.2　激勵(lì)幅值

仿真參數(shù)：阻尼因子k=0.100 0；激勵(lì)頻率ω=1.600 rad/s。

輸出隨激勵(lì)幅值f變化的分岔圖如圖4所示，由圖可得：f在區(qū)間(1.000-23.00)，(56.00-100.0)中系統(tǒng)處于周期一運(yùn)動(dòng)；f在區(qū)間(23.00-28.00)中系統(tǒng)處于周期二運(yùn)動(dòng)；f在區(qū)間(28.00-43.00)中系統(tǒng)處于周期三運(yùn)動(dòng)；f在區(qū)間(43.00-56.00)中系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖4　輸出隨激勵(lì)幅值f變化的全局分岔圖

最大Lyapunov指數(shù)隨激勵(lì)幅值f變化的關(guān)系如圖5所示，由圖可得：f在區(qū)間(43.00-56.00)中最大LE大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。與分岔圖所得結(jié)果一致。

圖5　最大LE與激勵(lì)幅值f的關(guān)系

2.3　激勵(lì)頻率

仿真參數(shù)：阻尼因子k=0.1000；激勵(lì)幅值f=43.00N。

輸出隨激勵(lì)頻率ω變化的全局分岔圖如圖6所示，由圖可得，ω在區(qū)間(1.550~1.750)中系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；在區(qū)間(2.000~3.000)中系統(tǒng)處于周期一運(yùn)動(dòng)。

圖6　輸出隨激勵(lì)頻率ω變化的全局分岔圖

最大Lyapunov指數(shù)隨激勵(lì)頻率ω變化的關(guān)系如圖7所示，由圖可得，ω在區(qū)間(1.550~1.750)中，最大LE大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。與分岔圖所得結(jié)果一致。

圖7　最大LE與激勵(lì)幅值f的關(guān)系

3結(jié)束語(yǔ)

在工程中利用混沌現(xiàn)象，需要得到系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的參數(shù)域。近些年來，Lyapunov指數(shù)算法得到迅速發(fā)展。算法速度和精度的提高，以便利用Lyapunov指數(shù)來進(jìn)行混沌識(shí)別，以確定系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的參數(shù)域更加準(zhǔn)確，結(jié)果更加可信。通過計(jì)算硬彈簧Duffing系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，得出了系統(tǒng)隨著不同參數(shù)變化的混沌區(qū)間，與利用參數(shù)的分岔圖得到的混沌系統(tǒng)的混沌參數(shù)域一致。證明了利用最大Lyapunov指數(shù)確定混沌系統(tǒng)的混沌參數(shù)區(qū)間是可行的，為利用Lyapunov指數(shù)確定任何混沌系統(tǒng)的混沌參數(shù)區(qū)間提供了一個(gè)正確的仿真研究實(shí)例。為混沌理論的應(yīng)用研究提供了一種可靠的數(shù)據(jù)分析方法，對(duì)于混沌控制及其在工程中的應(yīng)用都具有指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)：

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Abstract：Nonlinear vibration systems have some characteristics and properties different from traditional linear vibration systems. When the parameter is in some ranges, the system is in a chaotic state. The largest Lyapunov exponent is an essential criterion to judge whether the system is in chaos state or not. The feasibility of using the Largest Lyapunov exponent to confirm the parameter domain is presented in this paper, and it is verified by the bifurcation diagram of system.

Key words：duffing system；lyapunov exponent；parameter

作者簡(jiǎn)介：楊琪斌(1991-)，男，河北石家莊人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械動(dòng)力學(xué)和非線性振動(dòng)。王基(1964-)，男，湖北武漢人，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闄C(jī)械動(dòng)力學(xué)和非線性振動(dòng)。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(5157090314)；海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(上海交通大學(xué))開放課題(1009)

收稿日期：2015-09-14

文章編號(hào)：1001-2257(2015)12-0003-03

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類號(hào)：O322