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    “無窮與悖論問題”的探究

    2016-01-28 00:33:18孟偉
    新課程·中旬 2015年12期
    關(guān)鍵詞:一段距離阿喀琉斯人能

    孟偉

    偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說過:“無窮是一個永遠(yuǎn)的謎?!钡拇_,沒有誰能算出1+2+3+…+ (+∞)的答案,就算它的總和并非無窮大,它的無窮多個步驟也是難以完成的。

    無窮有許多與日常直觀經(jīng)驗相悖的地方。在數(shù)學(xué)上一直有一個問題:眾所周知,烏龜跑得非常慢,而阿喀琉斯是希臘神話中的善跑者。用無窮的知識解釋,只要烏龜先跑出一段距離,無論多么的短,阿喀琉斯是永遠(yuǎn)追不上的。因為如果阿喀琉斯想追上烏龜?shù)脑?,就必須到達(dá)烏龜剛開始跑的位置,但當(dāng)他跑到烏龜開始跑的位置時,烏龜又跑出了一段距離。烏龜雖然跑得慢,但它一直在跑。所以,阿喀琉斯一遍遍的面臨著這樣的問題。雖然阿喀琉斯跑得快,但他和烏龜之間總有一段距離要跑,他只能一步步地逼近烏龜,卻不能趕超它。

    顯然,這與我們的實際情況相悖,但是沒有人能指出他的問題所在。

    用我們一般的認(rèn)知來想一下,烏龜首先跑出三步,大約20 m。而阿喀琉斯跑出一步,大約70 cm。這時,阿喀琉斯已經(jīng)超過了烏龜,并且會一直跑在烏龜前面。

    這是我們一般的認(rèn)知,雖然可以幫助理解,但是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茢?。這時我們可以轉(zhuǎn)變一下思維,不以烏龜所在的那一點為研究點,而研究烏龜前方的一點C,只要阿喀琉斯可以和烏龜同時到達(dá)C點,那么C點之后,阿喀琉斯會一直跑在烏龜前面。

    如圖所示,我們不妨設(shè)阿喀琉斯和烏龜之間的距離為S1(S1>0),烏龜和C點的距離為S2(S2>0),阿喀琉斯的速度為v1,烏龜?shù)乃俣葹関2,且v1>v2。要想阿喀琉斯和烏龜同時到達(dá)C點,需滿足=,也就是說,因為v1>v2,所以>1。要想>1的話,需滿足S1+S2>S2,即S1>0。所以說,只要阿喀琉斯在烏龜后一段距離,總會有一個時間能和烏龜同時到達(dá)C點,而C點之后,阿喀琉斯會一直跑在烏龜前面。

    編輯 謝尾合

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