拉格朗日中值定理在方程有根證明題中的應用

尹遜波，吳勃英，白　紅

(哈爾濱工業(yè)大學數(shù)學系，哈爾濱150001)

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拉格朗日中值定理在方程有根證明題中的應用

尹遜波，吳勃英，白紅

(哈爾濱工業(yè)大學數(shù)學系，哈爾濱150001)

[摘要]對微分中值定理證明方程有根的題型作了分類，分析并討論了證明中的技巧，及證明中所采用的方法，并對不同例子進行了相應的拓展.

[關鍵詞]高等數(shù)學; 中值定理; 證明

高等數(shù)學是理工科院校一門十分重要的公共基礎課，而其中證明題在培養(yǎng)和訓練學生的創(chuàng)新能力方面起著重要的作用[1-2].中值定理所涉及的幾個定理經(jīng)常被用來證明等式及不等式.而其中的拉格朗日中值定理就是既可常用來證明不等式，又可用來證明方程有根，但拉格朗日中值定理在證明方程有根是和羅爾定理有所不同的. 下面先通過幾個例子來看一下拉格朗日中值定理的應用.

例1設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，f(0)=f(1)，證明：存在兩個不同點ξ，η∈(0，1)，使得f′(ξ)+f′(η)=0.

分析尋找(0，1)內(nèi)的一個點c，利用兩次拉格朗日中值定理，即可以得到兩個不同的點ξ，η∈(0，1)

兩式相加，得

證由拉格朗日中值定理

(1)

(2)

(1)+(2)，得

即

f′(ξ)+f′(η)=0.

分析將要證明的結論“f′(ξ)+f′(η)=ξ3+η3”變形，得到

(3)

(4)

(3)+(4)，得

0=F′(ξ)+F′(η).

即

f′(ξ)+f′(η)=ξ3+η3.

注同例1一樣，也可以將此題推廣，但需要注意對應的ξ和η必須是同步的，即需要是相同類型的函數(shù).

例3(2005年研究生入學考試數(shù)一(18)題)設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，f(0)=0，f(1)=1，證明：

(i) 存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ.

分析難點主要在第二問，但有了第一問的ξ，實際上由例1和例2可知，ξ即為內(nèi)部的特殊點c.

(ii) 由拉格朗日中值定理

(5)

(6)

由(5)，(6)分別得

故

例4設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，f(0)=0，f(1)=1，證明：任給a，b>0，在(0，1)內(nèi)一定存在互不相同的ξ，η， 使得

分析尋找(0，1)內(nèi)的一個點c，利用兩次拉格朗日中值定理

化簡得

需滿足

容易看到，當取

時，上式成立.

再由拉格朗日中值定理

則

由前面的例子，不難發(fā)現(xiàn)，拉格朗日中值定理證明方程有根的題目與羅爾定理證明方程有根的題目是有很大不同的，它所證明的結論中一般對應的方程通常的二元方程，而羅爾定理所證明的方程有根的題目通常是一元方程. 不管哪種，只要掌握了它的規(guī)律都不難給出證明.

[參考文獻]

[1]哈爾濱工業(yè)大學數(shù)學系分析教研室.工科數(shù)學分析(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]曾可依. 從幾何的角度看微分中值定理[J].大學數(shù)學，2014，30(2): 108-111.

Applications of Larange Mean Value Theorem in the Proof of

Equations Which Have Roots

YINXun-bo，WUBo-ying，BAIHong

(Department of Mathematics, HIT, Harbin, Heilongjiang 150001, China)

Abstract:The types of equations which have roots proved by the differential mean value theorem are classified， and the techniques of the proofand the method used in the proof are analyzed and discussed. And the different examples are promoted in corresponding.

Key words:higher mathematics; the differential mean value theorem; proof

[基金項目]省教改項目“數(shù)學主干課的信息化建設 ”(JG2014010728)

[收稿日期]2015-01-06

[中圖分類號]O13

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0084-03