空間解析幾何中“向量代數(shù)”內(nèi)容的處理方法

蒲和平，　于俊燕

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 成都611731)

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空間解析幾何中“向量代數(shù)”內(nèi)容的處理方法

蒲和平，于俊燕

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 成都611731)

[摘要]討論了空間解析幾何中“向量代數(shù)”內(nèi)容的處理方法，給出了從向量的代數(shù)形式到幾何形式的具體處理方法，這種方法較傳統(tǒng)方法更為簡潔易懂，便于將二維與三維幾何向量推廣到n維向量,有利于大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接. 對大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與教材改革都具有積極的意義.

[關(guān)鍵詞]空間解析幾何； 向量代數(shù)； 幾何形式； 代數(shù)形式

“空間解析幾何”是大學(xué)理工類數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ). 在工科數(shù)學(xué)課程體系中“空間解析幾何”沒有作為一門獨(dú)立的課程開設(shè)，而是作為章節(jié)的內(nèi)容納入了《高等數(shù)學(xué)》或《線性代數(shù)》的教材中，這種處理方式自然有其合理性，這里不作討論. 本文主要針對“空間解析幾何”中“向量代數(shù)”有關(guān)內(nèi)容的處理方法作一些探討.

在現(xiàn)行教材中“向量代數(shù)”內(nèi)容的處理方法都大同小異，以同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》教材為例, 按排了兩節(jié)內(nèi)容：第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算，第二節(jié)數(shù)量積、向量積、混合積.

在第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算中，先講向量的概念，即將向量定義為“既有大小又有方向的量”，向量用有向線段表示；向量的加法規(guī)定為三角形法則或平行四邊形法則，數(shù)乘按平行伸縮法則進(jìn)行. 然后再建立空間直角坐標(biāo)系，從而得到向量的坐標(biāo)形式a=(ax,ay,az)及線性運(yùn)算法則，即

(1)

這種處理方法不妨稱為從幾何形式到代數(shù)形式的方法.

第二節(jié)向量的內(nèi)積(數(shù)量積)與外積(向量積)也是如此.

先將向量a和b的內(nèi)積定義為

(2)

向量a與b的外積a×b定義為一個(gè)向量，該向量的方向與a和b均垂直，且a,b,a×b遵循右手法則，該向量的大小為

(3)

然后由以上定義，導(dǎo)出向量內(nèi)積與外積的坐標(biāo)計(jì)算公式：

a·b=(ax,ay,az)·(bx,by,bz)=axbx+ayby+azbz,

(4)

(5)

便于敘述，將以上方法稱為“幾何—代數(shù)”形式.

經(jīng)教學(xué)研究與教學(xué)實(shí)踐，我們認(rèn)為改變以上內(nèi)容的處理順序會(huì)更為科學(xué)合理，即先以定義的方式給出向量線性運(yùn)算的代數(shù)形式(1)以及內(nèi)積與外積的坐標(biāo)形式(4)，(5)，再推出各類運(yùn)算的幾何意義與公式(2)，(3). 我們將這種處理方法叫“代數(shù)—幾何”形式.

其理由有三點(diǎn)：

一是在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中已經(jīng)按“幾何—代數(shù)”形式介紹了向量及其線性運(yùn)算(有的學(xué)校將平面向量部分作為必修，空間向量部分作為選修)，學(xué)生對向量及其線性運(yùn)算的代數(shù)形式已經(jīng)了解，可以直接按“代數(shù)—幾何”形式介紹，避免不必要的重復(fù), 有利于大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接.

二是便于將二維與三維幾何向量推廣到n維向量，有利于將解析幾何與線性代數(shù)有機(jī)結(jié)合，融為一體.

三是按“代數(shù)—幾何”形式處理相關(guān)部分的內(nèi)容更為簡潔，學(xué)生更易于理解、掌握.

下面就“代數(shù)—幾何”形式的具體實(shí)施作一簡略的介紹.

我們對向量的概念保持線性代數(shù)中一貫的定義方式，即稱有序數(shù)組為向量. 在平面或空間直角坐標(biāo)系中建立了點(diǎn)與向量的一一對應(yīng)關(guān)系后，向量的大小與方向就有了明確的意義與計(jì)算公式，向量在軸上的投影等概念也就很容易建立.

向量的線性運(yùn)算仍按(1)式的形式定義，由此很容易得到線性運(yùn)算的性質(zhì)，再結(jié)合向量坐標(biāo)的幾何意義會(huì)很快得到線性運(yùn)算的幾何意義，同時(shí)向量在軸上的投影及相關(guān)性質(zhì)也很容易得到.

以上方法較為簡單，并且在一些教材中也可以看到其部分描述，這里不再作詳細(xì)的討論. 下面就向量的內(nèi)積、外積的“代數(shù)—幾何”處理方式作較詳細(xì)的討論，因?yàn)檫@種處理方法在現(xiàn)行教材中還未曾有見.

先討論內(nèi)積的情況. 可由(4)式來定義兩向量的內(nèi)積，再由此推出(2)式. 事實(shí)上，由(4)式容易驗(yàn)證內(nèi)積符合以下運(yùn)算規(guī)律：

(i) a·a=a2=‖a‖2;

(ii) a·b=b·a;

(iii) (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b),λ∈;

(iv) (a+b)·c=a·c+b·c.

由余弦定理可知

所以

故(2)式成立.

再討論外積的情況. 可由(5)式來定義兩向量的外積，由此定義容易驗(yàn)證外積符合以下運(yùn)算規(guī)律：

(i) a×a=0;

(ii) a×b=-b×a;

(iii) (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b),λ∈;

(iv) (a+b)×c=a×c+b×c.

(iii)與(iv)利用向量的外積定義(5)式及行列式的性質(zhì)是很顯然的，但一般教材都沒證明，因?yàn)榘磦鹘y(tǒng)方式(即由(3)式給出的外積定義)證明十分麻煩.

由向量的外積定義(5)式容易得到(3)式所描述的兩向量外積的幾何意義. 事實(shí)上，由(5)式并利用內(nèi)積的定義及行列式的性質(zhì)，知

這說明向量的外積a×b與向量a和b均垂直.

再討論向量的外積a×b的模.

‖a×b‖2=(aybz-azby)2+(azbx-axbz)2+(axby-aybx)2

故(3)式成立.

a=(1,0,0)，b=(cosθ,sinθ,0)，a×b=(0,0,sinθ).

這說明當(dāng)θ>0時(shí)，a×b與z軸同向，否則與z軸反向，即a,b,a×b的方向遵循右手法則.

多年的教學(xué)實(shí)踐告訴我們，用以上方式來處理“向量代數(shù)”的內(nèi)容是行之有效的，較現(xiàn)行教材中的方法更為簡便易懂，深受學(xué)生歡迎. 以此文交流，希望對我們的教學(xué)與教材改革有所幫助.

[參考文獻(xiàn)]

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊)[M].6版. 北京：高等教育出版社，2007.

[2]上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系.大學(xué)數(shù)學(xué)：微積分(下冊) [M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[3]黃廷祝,成孝予. 線性代數(shù)與空間解析幾何 [M].3版. 北京：高等教育出版社，2008.

[4]魏戰(zhàn)線,李繼成. 線性代數(shù)與解析幾何[M].2版. 北京：高等教育出版社，2010.

The Processing Methods of ‘Vector Algebra’Content

in the Space Analytic Geometry

PUHe-ping，YUJun-yan

(School of Mathematics Sciences, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731，China)

Abstract:This paper discusses the processing methods of "vector algebra" content in the space analytic geometry, gives the concrete treatment method of vector algebra form to geometry form. This method compared with the traditional method is more simple and easy to understand, easy to generalize two-dimensional and three-dimensional geometric vector ton-dimension vector. It is of benefit to link up the university mathematics and school mathematics, has positive significance to the university mathematical teaching reform and teaching material reform.

Key words:space analytic geometry； vector algebra； geometry form； algebra form

[收稿日期]2014-09-15

[中圖分類號]G424

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0059-03