淺談中學生數(shù)學解題技能的培養(yǎng)

李清波

摘 要：數(shù)學解題技能是一種綜合的能力，一般是指綜合運用數(shù)學基礎知識、基本方法和邏輯思維規(guī)律，整體發(fā)揮數(shù)學的基本能力和思維水平，對數(shù)學問題進行分析、解決的能力。

關鍵詞：數(shù)學解題技能；培養(yǎng)

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）02-208-02

數(shù)學解題技能是一種綜合的能力，一般是指綜合運用數(shù)學基礎知識、基本方法和邏輯思維規(guī)律，整體發(fā)揮數(shù)學的基本能力和思維水平，對數(shù)學問題進行分析、解決的能力。對于學生來說，其中包括了思維創(chuàng)造的能力。因此，在教學中，要提高學生的解題能力，除了抓好基礎知識、基本能力的學習與培養(yǎng)外，更重要的培養(yǎng)途徑就是解題實踐，就是遵循科學的解題順序、有目的、有計劃地引導學生“在游泳中學會游泳”，在親自參與的解題實踐過程中，學會解題，從中獲得能力。下面就圍繞解題的一般程序，來討論如何培養(yǎng)學生的解題技能。

1、仔細、認真地審查題意的習慣。

仔細、認真地審題，提高審題能力是解題的首要前提。因為審題為探索解題途徑提供方向，為選擇解法提供決策的依據(jù)。因此，教學中要求學生養(yǎng)成仔細、認真的審題習慣，就是要對問題的條件、目標及有關的全部情況進行整體認識，充分理解題意，把握本質(zhì)和聯(lián)系，不斷提高審題能力。具體地說，就是要做到以下四項要求：

（l）了解題目的文字敘述，清楚地理解全部條件和目標，并能準確地復述問題、畫出必要的準確圖形或示意圖；

（2）整體考慮題目，挖掘題設條件的內(nèi)涵、溝通聯(lián)系、審清問題的結(jié)構(gòu)特征。必要時，要會對條件或目標進行化簡或轉(zhuǎn)換，以利于解法的探索；

（3）發(fā)現(xiàn)比較隱蔽的條件；

（4） 判明題型，預見解題的策略原則。

以上具體要求中，前兩項是基本的，后兩項是較高的。

事實上，審題能力主要體現(xiàn)在對題目的整體認識、對條件和目標的化簡與轉(zhuǎn)換以及發(fā)現(xiàn)隱蔽條件等方面的能力上。

例1 已知 a， b， c都是實數(shù)，求證；2a-（b+c）， 2b-（a+c）， 2c-（b+c）三個數(shù)中至少有一個數(shù)不大于零，而且至少有一個數(shù)不少于零。

如果審題中能考慮到“所證的三個數(shù)之和正好等于零”這一整體特征，則不難用反證法很容易地得出正確判斷，使問題得到解決。

例2 已知△ABC，試求作一點P，使得△PAB、△PAC、△PBC的面積相等。

如果在審題中不注意P點的任意性，就會片面地、不自覺地增加條件“P點在△ABC內(nèi)”，，從而求得唯一的一點P，即△ABC的重心。這就改變了原題的題意。事實上，若在平面上，P點的位置還可以有三個：分別以△ABC兩相鄰邊為鄰邊的平行四邊形頂點。若在空間，P點的位置就更多了。

2、分析解題思路、探求解題途徑，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律、掌握解題方法是培養(yǎng)學生解題技能的核心和關鍵。

一個正確的解題途徑、一條正確的解題思路的形成過程是比較復雜的，它涉及到學生的基礎知識水平、解題經(jīng)驗和解題能力等因素。雖然就其思維形式而言，只有由因?qū)Ч蛨?zhí)果索因的綜合法和分析法兩種，但就探索解題途徑的策略、方法和技巧等問題而言，確是豐富多彩、千變?nèi)f化和靈活多樣的。因此，分析思路、探求途徑是解題教學的重點，也是提高學生解題能力的核心、關鍵所在。這就要求我們教師在教學中做好以下幾方面的工作：

（1）幫助學生掌握解題的科學程序。就是把整個解題過程分為前述的四個程序進行。掌握了這個科學程序，使解題過程程序化，就能使學生對解題總過程有一個有序框架，形成一種思維定勢和化歸的趨勢，做到目標清楚、思維方向明確。為此，在教學中對于所有例題的講解及示范解題，都要充分展現(xiàn)解題過程的四個程序及每個程序進行的過程，并且不斷給以總結(jié)、反復強調(diào)。使學生在日積月累的熏陶中去掌握解題程序，領悟各程序中思維的方向和思維的進程。當然，這樣做就必須要求教師事先要對例題的選取和設計進行深入研究，對例題的目的意圖、隱含條件的析取、干擾信息的排除、思維偏差的糾正、解題策略的制定、解題關鍵的把握以及解題后的開拓和引申等都要做到心中有數(shù)。

（2）幫助學生掌握解題的策略原則。探索解題途徑，主要是根據(jù)審題提供的依據(jù)，制定解題策略，探索解題方向（轉(zhuǎn)化命題是關鍵），溝通靠攏條件，把所面臨的問題逐步靠攏和轉(zhuǎn)化為既定解法和程序的規(guī)范問題，然后利用已知的理論、方法和技巧，實現(xiàn)問題的解決。因此，在教學中，必須結(jié)合例題的示范教學，有計劃、有目的地幫助學生掌握解決數(shù)學問題的策略原則，培養(yǎng)和提高學生的探索能力。

（3）幫助學生掌握轉(zhuǎn)化的數(shù)學方法。在教學中結(jié)合例題教學，幫助學生掌握一些常用的變形手段和轉(zhuǎn)化方法，幫助學生理解這些方法的原理，把握方法的要點、作用、使用條件、使用范圍以及這些方法的“變式”，學會靈活運用。

在初中數(shù)學中，除了上述的分析法、綜合法、歸納法等推理方法外，常用的還有換元法，消元法，代定系數(shù)法等。

3、理順解題思路、嚴格依據(jù)邏輯規(guī)律表達出規(guī)范化的解題過程是培養(yǎng)學生良好的解題習慣的重要途徑。

一般來說，各種形式的數(shù)學習題都有一定的解答格式，解題中要嚴格按標準格式表達，當然，根據(jù)學生的不同學習階段，標準格式的詳略可以不盡相同，但邏輯順序不能違反，證明推理中關鍵步驟的大前提必須表達清楚。這樣做，可以培養(yǎng)和提高學生的邏輯思維能力和邏輯表達能力，同時也有助于學生解題能力的提高。

4、回顧與探討解題過程，養(yǎng)成解題后的反思習慣，也是提高學生解題技能的基本途徑。

解題后的回顧與探討、分析與研究就是對解題的結(jié)果和解題的方法進行反省，對解題中的主要思想觀點、關鍵因素及類同問題的解法進行概括、推廣，從而幫助學生從中提煉出數(shù)學的基本思想和基本方法加以掌握，成為以后解新的問題時的有力工具。因此，使學生養(yǎng)成解題后的反思習慣，是解題教學非常重要的一環(huán)，必須十分重視。

解題后的回顧，包括檢驗結(jié)果、討論解法和推廣三個方面。

（1）檢驗結(jié)果。主要是核查結(jié)果是否正確無誤，推理是否有據(jù)，解答是否詳盡無漏。

（2）討論解法。主要是改進解法或?qū)で笃渌煌慕夥?；分析解法的特征、關鍵和主要思維過程；總結(jié)規(guī)律，概括為一般性的解法定勢等。這將有利于開拓思維、積累經(jīng)驗、整理方法，有助于增強思維的靈活性和發(fā)展提高解題能力。

（3）推廣。解題后一般可朝三個方向進行推廣。一是一般化，就是減弱問題的條件，把結(jié)果推廣到條件更一般的情形，從而研究結(jié)論會有什么變化；二是特殊化，就是強化問題的條件，把結(jié)論用于條件更特殊的情形，從而研究結(jié)論又會有何變化；三是“發(fā)展性推廣”，就是在原有條件、結(jié)論的基礎上，進一步發(fā)展其空間形式或數(shù)量關系所得到的變化，它既不是一般化，也不是特殊化。

5、合理調(diào)控解題活動，全面提高學生的解題技能素質(zhì)。

學生的解題活動最能促進思維的發(fā)展，要使解題活動在發(fā)展學生思維上取得最佳效果，還必須合理地調(diào)控學生的活動，全面提高學生解題能力的素質(zhì)。這是因為數(shù)學解題活動必須由學生親自參加、獨立進行，才能在實踐中增長才干、提高能力；但是現(xiàn)代心理學的研究表明：學生的解題活動又必須置于教師的合理調(diào)控之下，依據(jù)學生思維發(fā)展的規(guī)律，為學生主動、獨立地參與解題活動創(chuàng)設情境、啟迪思維、指明方向。這就是說，要提高學生的解題能力，在教學中應該發(fā)揮教師的主導作用，引導學生發(fā)揮積極主動參與的主體作用。具體地說，應該做好以下工作：

（1）創(chuàng)設情境、調(diào)動學生積極思維，培養(yǎng)他們的學習興趣，培養(yǎng)他們獨立進行解題的能力。一般來說，解題教學的情境創(chuàng)設，主要包括問題情境的提供；解題基礎知識、經(jīng)驗的準備；思維障礙的排除和問題情境激發(fā)的情感和動機狀態(tài)等方面。

（2）有系統(tǒng)、有層次地精心選配習題，合理組織訓練、重點培養(yǎng)學生的基本數(shù)學思想和數(shù)學方法及其運用的能力。一般來說，解題教學中，除了要求例題的選配要具有目的性、典型性、啟發(fā)性和延伸性等特點外，一般還應提供學生獨立練習的習題，在選配時注意適用性、鞏固性、實踐性和發(fā)展性的原則。

這里還應指出，數(shù)學習題的題型應該多樣化，提高學生的“解題胃口”。但這并不排除傳統(tǒng)的、富有啟發(fā)性的“老題”、“陳題”，不少好的題目仍然有使用價值；同時，也應該反對選編那些一味追求“新花樣”的偏題、怪題和難題，這樣是不利于學生發(fā)展的。

總之，培養(yǎng)學生的解題技能要通過掌握科學的解題程序、掌握解題的策略和方法、技巧；要通過我們教師引導下的主動參與活動；通過創(chuàng)設問題情境、調(diào)動學生的智力與非智力因素等基本途徑。因此，要使學生的解題技能達到較高水平，并上升為一種創(chuàng)造才能，始終都要注意培養(yǎng)和發(fā)展學生解題能力的各種因素，注意提高學生的整體素質(zhì)。只有這樣，解題能力的提高才有根底和源泉，解題的功底才扎實。

（上接第206頁）化改變學習方式、教學行為和評價模式，使教師真正成為學生的服務者，合作者和促進者。大家互學互幫，共同走進三定位六環(huán)節(jié)教學歷程。

6、以課改促進教學，助推教師專業(yè)成長

課改蕩滌了教師思想，打造我校有效課堂。鍛煉了教師，成就了教師。在“傳統(tǒng)文化與語文教學”結(jié)題活動中，王燕、黃怡執(zhí)教的《自己的花是種給別人看的》《搭石》分別獲得國家教育科研成果一等獎；在片區(qū)組織的“崗位大練兵，教學大比武”活動中，我校27人獲獎，冉紅霞老師在賽課中獲得一等獎；在每一次片區(qū)活動中，我校教師均以優(yōu)異的成績名列前茅。

7、送課下鄉(xiāng)，推廣模式

5月，我校再一次送課下鄉(xiāng)到葡萄完小，帶去了一堂高段語文課《賀龍釣魚》執(zhí)教老師楊曉婭，一堂中段數(shù)學課《小數(shù)的加減法》執(zhí)教老師李勇奇，外加一堂現(xiàn)場抽講數(shù)學課《方程解決問題》執(zhí)教老師許洪祿，幾堂課都深受該校的好評。為了讓該校的老師徹底了解我校的課堂模式，我們采取了現(xiàn)場備課和模式解讀，充分推廣了“三定位六環(huán)節(jié)”教學模式，使模式得以延伸。

四、回顧反思：感動常在，堅定課改

三年的課堂改革留給我們太多的感動與快樂，于是我們堅定了課改的方向和信心，課改改變的不只是我們的課堂模式，它改變了學校的管理體制，學校、教師以學生為本，學校管理更以教師為本，以教師的專業(yè)成長、終身職業(yè)幸福為出發(fā)點，以學生的終身發(fā)展、快樂人生為出發(fā)點的改革，必將成為師生幸福的歸宿。課改以來，我校教師發(fā)揚老中青三結(jié)合，老年教師的經(jīng)驗，中年教師的睿智，青年教師的激情，奏出了課改的交響曲。我們本著每人邁開一小步，集體跨越一大步的理念深化課改。回顧過去，有喜有憂，有花有果，透過辛酸的淚水，我們看到了一張張笑臉，一本本獎狀和那沉甸甸的獎品。是的，榮譽浸透著成長，同時也提醒我們對工作的修復。

小組合作學習有待進一步探索，讓學生有主動的合作意識，從合作中汲取力量，不要讓它在課堂中只是一個形式、一個流程，要在當合作時合作，讓合作有效。其次要加大和豐富教師專業(yè)成長的路子，使其過一種幸福、完整的教師生活。

一路走來，留下太多的感動，因為感動，所以快樂；因為感動，所以幸福；因為感動，我們堅定了課改。課改的路雖然漫長、曲折，但有領導支持，專家引領，課改必將碩果累累！

（上接第207頁）分結(jié)論——最后串連起來成為文章的主要內(nèi)容。使學生通過閱讀比較，掌握課文主要內(nèi)容的概括方法。

三、在啟發(fā)引導中釋疑

有些問題，涉及到課文中含義比較深刻的詞句理解，如果我們能啟發(fā)引導學生運用以前學過的方法去釋疑，就能收到比較好的效果。比如教學《小獅子艾爾沙》這一課，我們可以引導學生提問："為什么說小獅子艾爾沙回來了，我又高興又難過？"然后啟發(fā)學生聯(lián)系上下文或者生活經(jīng)驗來釋疑。聯(lián)系課文，小獅子回來了，好朋友又可以在一起了，"我"當然高興；但又為小獅子艾爾沙不能適應自然環(huán)境——"我"所以又感到難過。這樣，通過運用多種方法啟發(fā)和引導學生釋疑，就可以加深學生對課文的理解，激活學生的思路。

四、借鑒資料釋疑

對于那些涉及面廣的問題，光靠語文教材是不夠的。對于這些問題，我們可以讓學生通過課外查閱相關資料等方法來自行解決，教師從中作一些方向性的引導。比如引導學生可以采取哪些途徑，查閱哪類書籍來解決這些問題。如教學《朱鹮飛回來了》，學生質(zhì)疑："為什么朱鹮會這么少呢？""朱鹮消亡和環(huán)境有什么關系呢？"我們可以引導學生搜集種種由于人類不重視自然保護，破壞生態(tài)平衡從而導致許多生物滅亡、自然災害頻頻發(fā)生的材料。使學生不僅通過收集資料解答了這一問題，而且提高了收集信息、處理信息的能力。

實踐證明，引導學生自己釋疑，能有效保護學生質(zhì)疑的積極性，提高學生自主學習的能力。所以，精彩的課堂提問是培養(yǎng)學生質(zhì)疑能力、誘導啟發(fā)學生思考問題的教學利器。