基于四元數(shù)的三維坐標變換解析解的改進

呂志鵬，伍吉倉，2

(1. 同濟大學測繪與地理信息學院，上海 200092；

2. 現(xiàn)代工程測量國家測繪地理信息局重點實驗室，上海 200092)

Improvement of Three-dimensional Coordinate Transformation Analytic

Solution Based on Quaternion

LV Zhipeng，WU Jicang

?

基于四元數(shù)的三維坐標變換解析解的改進

呂志鵬1，伍吉倉1，2

(1. 同濟大學測繪與地理信息學院，上海 200092；

2. 現(xiàn)代工程測量國家測繪地理信息局重點實驗室，上海 200092)

Improvement of Three-dimensional Coordinate Transformation Analytic

Solution Based on Quaternion

LV Zhipeng，WU Jicang

摘要：利用單位四元數(shù)構(gòu)造三維坐標變換最小二乘解析解的過程，具有非迭代、穩(wěn)定性強等特征。然而，它并不適用于左右手坐標系之間的變換。本文在已有的基于四元數(shù)的三維坐標變換解析算法基礎(chǔ)上進行改進，使其適合于左右手坐標系之間的變換。同時，利用實際工程案例對其有效性進行了驗證。

關(guān)鍵詞：三維坐標變換;解析法;單位四元數(shù);左右手坐標系

一、引言

在工程測量、攝影測量、機器視覺等領(lǐng)域，經(jīng)常需要進行大旋轉(zhuǎn)角三維坐標變換。目前，大旋轉(zhuǎn)角三維坐標變換的解法分為兩類：迭代法[1-3]和解析法[4-9]。其中，迭代法將旋轉(zhuǎn)矩陣分別構(gòu)造為正交矩陣形式[1]、單位四元數(shù)形式[2]和歐拉角形式[3]，然后建立牛頓迭代格式求解三維坐標變換參數(shù)。解析法采用分布最優(yōu)的策略，首先求解尺度參數(shù)，然后分別利用SVD分解法[4-5]、正交矩陣法[6]、單位四元數(shù)法[7-8]對旋轉(zhuǎn)矩陣進行求解，最終獲得平移參數(shù)。特別地，對偶四元數(shù)法[9]可以對旋轉(zhuǎn)矩陣和平移參數(shù)進行同步求解。與迭代法相比，解析法不需要初值，計算效率高，對退化點集的魯棒性好。但是，解析法中的單位四元數(shù)法并不適合于左右手坐標系之間的變換，這極大地限制了它在工程測量等領(lǐng)域的應(yīng)用。為此，本文首先分析了造成這種情況的原因，并提出了解決方案。

二、算法原理

Horn B K P于1987年提出了應(yīng)用單位四元數(shù)構(gòu)造三維坐標變換解析解的算法[8]。下面對其原理進行簡介。對于一組對應(yīng)點集{pi}和{qi}，i=1,2,…,N。構(gòu)造三維坐標變換模型

qi=T+kRpi

(1)

式中，T為平移參數(shù)；k為尺度參數(shù)；R為旋轉(zhuǎn)矩陣。為了計算參數(shù)最優(yōu)解將點集{pi}變換到點集{qi}，需要建立如下目標方程

(2)

將對應(yīng)點集{pi}和{qi}進行中心化，有

(3)

(4)

將式(3)代入目標方程式(2)并整理得

(5)

考慮到式(4)，可知式(5)中第2項為零。因而，式(5)保留了第1項和第3項。由于此時僅第3項含有平移向量T并且第3項非負。為了讓式(5)取得最小值，可先令第3項為零對目標方程進行分步最優(yōu)化，即

(6)

此時目標方程簡化為

(7)

為使對應(yīng)點集正逆變換保持對稱性[7-8]，可將目標方程式(7)改寫成對稱形式，有

(8)

將式(8)展開得

(9)

式(9)中第1項和第3項含有尺度參數(shù)k，此時令它們之和為零，得

(10)

至此，為了讓目標方程取得最小值，有

(11)

對式(11)進行變形，得

(12)

兩個坐標系之間的定向關(guān)系，包括旋轉(zhuǎn)變換和左右手指向變換。因而，將同時描述這兩種變換關(guān)系的矩陣稱為定向矩陣。

當對應(yīng)點集僅存在旋轉(zhuǎn)變換時，式(12)的最大值為矩陣N的最大正特征值，最大正特征值所對應(yīng)的特征向量就是最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣所對應(yīng)的單位四元數(shù)[8]。設(shè)其為q=[q0q1q2q3]，可構(gòu)造如下旋轉(zhuǎn)矩陣

(13)

如圖1所示，給出了左右手坐標系的關(guān)系示意圖。在僅考慮兩個坐標系之間左右手指向的變換時，可得定向矩陣

圖1　左右手坐標系關(guān)系

(14)

將式(14)代入式(12)，得式(11)的變型

(15)

因此，當對應(yīng)點集存在左右手指向變換時，式(15)的最大值為矩陣N的最小負特征值，最小負特征值所對應(yīng)的特征向量就是最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣所對應(yīng)的單位四元數(shù)。然后，根據(jù)式(13)求得旋轉(zhuǎn)矩陣。同時，結(jié)合式(15)可知，最終得到定向矩陣

O=-R

(16)

三、實例分析

本文采用文獻[1]中廣州新機場航站樓網(wǎng)架中一個構(gòu)件的節(jié)點坐標數(shù)據(jù)進行改進算法驗證。在這個實例中目標坐標系(設(shè)計坐標系)軸的指向為：X向北、Z向東、Y向上，原點為構(gòu)件端點鉸的中心。原坐標系(測量坐標系)軸的指向為：x向北、y向東、z向上，原點任意假設(shè)。因此，兩個坐標系之間存在左右手指向的變換。采用本文改進的算法，17個公共點全部參加三維坐標變換的計算，得到尺度因子為u=1.002 031 772 2，平移參數(shù)為(ΔX,ΔY,ΔZ)=(-109 110.884,-101 335.296,-96 497.345)，旋轉(zhuǎn)矩陣為

單位權(quán)中誤差σ0=8.16 mm。同時，采用將文獻[1]中的條件方程轉(zhuǎn)換為偽觀測方程的方法并利用其數(shù)學模型計算三維坐標變換參數(shù)。

利用本文改進的算法和文獻[1]中的算法完成三維坐標變換并將實測的坐標轉(zhuǎn)換為設(shè)計坐標，與已知設(shè)計坐標的較差見表1。

表1　轉(zhuǎn)換后的坐標較差　mm

從表1中可知，利用本文算法計算的X、Y、Z方向的坐標較差與文獻[1]中的算法計算的坐標較差互差絕大部分都保持在3 mm以內(nèi)，說明兩種算法具有很好的一致性；同時，兩種算法計算的坐標較差結(jié)果也主要集中在10 mm以內(nèi)，反映出兩種算法對數(shù)據(jù)均具有很好的擬合。可以說，本文所作的算法改進適用于左右手坐標系變換。

四、結(jié)束語

在工程測量、攝影測量、機器視覺等領(lǐng)域需要進行大旋轉(zhuǎn)角的三維坐標變換?；谒脑獢?shù)的三維坐標變換的解析解法能夠非迭代、穩(wěn)定地求解大旋轉(zhuǎn)角三維坐標變換問題。然而，現(xiàn)有算法并不適合于左右手坐標系之間的變換，本文對其進行了改進。同時，利用工程案例對改進算法作了驗證，證明了改進算法的有效性，表明其具有實際應(yīng)用性。

參考文獻：

[1]陳義, 沈云中, 劉大杰. 適合于大旋轉(zhuǎn)角的三維基準轉(zhuǎn)換的一種簡潔模型[J]. 武漢大學學報：信息科學版, 2004, 29(12): 1101-1105.

[2]趙雙明, 郭秋燕, 羅研, 等. 基于四元數(shù)的三維空間相似變換解算[J]. 武漢大學學報：信息科學版, 2009, 34(10): 1214-1217.

[3]姚宜斌, 黃承猛, 李程春, 等. 一種適用于大角度的三維坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)求解算法[J]. 武漢大學學報：信息科學版, 2012, 37(3): 253-256.

[4]ARUN K S, HUANG T S, BLOSTEIN S D. Least-squares Fitting of Two 3-D Point Sets[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1987, 9(5): 698-700.

[5]UMEYAMA S. Least-squares Estimation of Transformation Parameters between Two Point Patterns[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1991, 13(4): 376-380.

[6]HORN B K P, HILDEN H M, NEGAHDARIPOUR S. Closed-form Solution of Absolute Orientation Using Orthonormal Matrices[J]. Journal of the Optical Society of America A, 1988, 5(7): 1127-1135.

[7]HORN B K P. Closed-form Solution of Absolute Orientation Using Unit Quaternions[J]. Journal of the Optical Society of America A, 1987, 4(4): 629-642.

[8]SHEN Y Z, CHEN Y, ZHENG D H. A Quaternion-based Geodetic Datum Transformation Algorithm[J]. Journal of Geodesy, 2006, 80(5): 233-239.

[9]WALKER M W, SHAO L, VOLZ R A. Estimating 3-D Location Parameters Using Dual Number Quaternions[J]. CVGIP: Image Understanding, 1991, 54(3): 358-367.

[10]LORUSSO A, EGGERT D W, FISHER R B. A Comparison of Four Algorithms for Estimating 3-D Rigid Transformations[C]∥Proceedings of the 1995 British Conference on Machine Vision. UK: BMVA Press Surrey, 1995: 237-246.

[11]譚駿祥, 李少達, 楊容浩. 基于非迭代與迭代法聯(lián)合估計的七參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換方法研究[J]. 大地測量與地球動力學, 2014, 34(1): 131-134, 138.

引文格式： 呂志鵬，伍吉倉. 基于四元數(shù)的三維坐標變換解析解的改進[J].測繪通報，2015(6)：9-11.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2015.0166

作者簡介：呂志鵬(1988—)，男，碩士，助理工程師，主要研究方向為精密工程測量與變形監(jiān)測。E-mail：lvzhipeng2007@gmail.com

基金項目：中美國際合作項目(2010DFB20190)；國家自然科學基金(41074019)

收稿日期：2014-06-17

中圖分類號：P226.3

文獻標識碼：B

文章編號：0494-0911(2015)06-0009-03