自覺融于課堂，概念自然“懂了”

張浩

許多同學(xué)會(huì)有這樣的感覺：在審題過程中似曾相識(shí)，但解題過程中卻義千瘡百孔.究其根源，主要是在課堂中對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解上往往蜻蜓點(diǎn)水，習(xí)慣于簡(jiǎn)單模仿，沒有自己的獨(dú)立思考.尤其是對(duì)概念的理解，對(duì)問題的理解不夠深刻，老師追問“懂了嗎”，不假思索地回答“懂了”.

懂是有階段性的.對(duì)于概念，同學(xué)們不僅僅要懂其本身，而且要懂它的來龍去脈；不僅要通過例題懂概念的局部，而且要通過課堂練習(xí)、課后作業(yè)懂其全部；懂這個(gè)概念為什么要提出來，從哪一個(gè)方面提出來，利用這個(gè)概念可以解決什么問題，為什么可以解決這些問題，如此等等.下面從《導(dǎo)數(shù)》中的一些問題，淺談一下上述思考.

第一階段：概念的生成，達(dá)到概念的“朦朧懂”

導(dǎo)數(shù)概念的建立是基于“無限逼近”的過程，這與初等數(shù)學(xué)所涉及的思想方法有著本質(zhì)的不同.我們首先是學(xué)習(xí)平均變化率，平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，大部分同學(xué)對(duì)應(yīng)該有一定的印象.緊接著結(jié)合圖象學(xué)習(xí)瞬時(shí)變化率，這是導(dǎo)數(shù)概念的源頭.同學(xué)們可以嘗試畫出逐步放大的圖形.具體就是曲線上一點(diǎn)P附近的圖形放大再放大，是“局部以直代曲”的思想根源.

第二階段：例題的探究，達(dá)到概念的“局部懂”

在“朦朧懂”后，我們的頭腦中往往有一個(gè)抽象的概念模型，這需要用具體例子來試一試，以判斷對(duì)概念的“懂”的程度.因此例題的學(xué)習(xí)是一個(gè)具體化的過程，在這一過程中，不要怕出錯(cuò)，要敢于試，尤其要從不太懂的角度去探究，需要同學(xué)們結(jié)合剛剛學(xué)習(xí)的概念多角度去分析、解答.

例 已知f（x）=x?，求曲線y=f（x）在x=2處的切線斜率.

分析這是教材上的一道例題，背景是利用割線斜率逼近切線斜率與導(dǎo)數(shù)之間的相互關(guān)聯(lián)，利用導(dǎo)數(shù)很容易求得斜率為4.

思考我們可以對(duì)例題進(jìn)行多樣化的挖掘、探究，比如作出圖象加強(qiáng)直觀；還可以取△x<0進(jìn)行比較；有條件的同學(xué)還可以利用計(jì)算機(jī)分別演示數(shù)值逼近和圖形逼近的過程，生動(dòng)形象度和可信度大大增加.

以上從多個(gè)側(cè)面探究導(dǎo)數(shù)的概念，通過例題，我們要弄懂例題中關(guān)注的局部，形成一個(gè)個(gè)“局部懂”.

第三階段：練習(xí)的解答，達(dá)到概念的“變式懂”

在“局部懂”后，我們頭腦中的知識(shí)和方法往往是雜亂無章的，需要梳理，尤其需要依白己的認(rèn)知去梳理.因此我們要把握好課堂上老師留出的小段練習(xí)時(shí)間，將課堂上的練習(xí)題——例題的“變式”逐一擊破.我們要在變式學(xué)習(xí)中，讓一個(gè)個(gè)“局部懂”連起來.

練習(xí)（1）直線ι是拋物線y=0.5x?-4x+10在x=6處的切線，求直線ι在y軸上的截距；

（2）直線ι是曲線y=f（x）在x=4處的切線，且切點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5），又ι的縱截距為3，求f'（4）的值；

（3）分別求曲線y=x?+2x在點(diǎn)A（l，1）及點(diǎn)B（-1，-3）處的切線方程.

解（1）由題意得：y'=x-4，所以切線的斜率為2.

又因?yàn)榍悬c(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線方程為：y-4=2（x-6），即為：y=2x-8.

令x=0得y=-8，所以直線ι在y軸上的截距為 8.

（2）因?yàn)棣傻目v截距為3，所以直線過點(diǎn)（0，3），結(jié)合ι過切點(diǎn)（4，5），由直線方程的兩點(diǎn)式可得ι的方程為，化解得ι的斜率為1/2，所以f'（4）=1/2

（3）易得：y'=2x+2，所以曲線在點(diǎn)A，B處的斜率分別為：0和4，對(duì)應(yīng)的切線方程分別為：y=1和y=4x+l.

評(píng)注這是一組教材后的課堂練習(xí)題，相對(duì)例題而言更強(qiáng)調(diào)的是對(duì)概念本質(zhì)的理解.抓住切點(diǎn)、切線、斜率等幾個(gè)相關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵詞，將導(dǎo)數(shù)的幾何意義充分理解、消化、吸收，這組問題就迎刃而解了.

思考三個(gè)練習(xí)題從不同層面詮釋了利用導(dǎo)數(shù)求切線時(shí)的各種關(guān)聯(lián)，一方面利用方程組的理念也可以求解切線的相關(guān)問題，另一方面利用導(dǎo)數(shù)可以優(yōu)化解題.但過程當(dāng)中對(duì)概念的理解要透徹，從單純的模仿到帶有創(chuàng)造性的模仿，是一個(gè)飛躍.

該問題中有一個(gè)容易出現(xiàn)理解偏差的詞“在……處”，這個(gè)詞與“過……點(diǎn)”常?；煜诰毩?xí)中，要通過多次反復(fù)的強(qiáng)化，逐步融于自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，而不應(yīng)該通過記憶來學(xué)習(xí).說了這一問題，有可能一些同學(xué)要問：是不是要死磕一些詞呢？不一定，有些概念的真正“懂”要經(jīng)過多次反復(fù)，因此在課堂練習(xí)中更應(yīng)該關(guān)注主流、重點(diǎn)，跟上課堂節(jié)奏，不應(yīng)該在個(gè)別處“轉(zhuǎn)圈”.

第四階段：作業(yè)的自測(cè)，達(dá)到概念的“升華懂”

由于課堂上時(shí)空的制約，“變式懂”也只是在課堂中的懂，這種懂往往是瞬時(shí)的，課后，應(yīng)該及時(shí)復(fù)習(xí)鞏固，讓“懂”升華.下面通過一個(gè)問題的探究，希望對(duì)大家有所啟發(fā).

問題設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0.

（1）求y=f'（x）的解析式；

（2）證明：曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=O和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.

略解（1）根據(jù)曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2》處的切線方程為7x-4y-12=0可知，（2，f（2））滿足函數(shù)方程，且f；（2）=7/4，列方程組可求得

（2）求出f（x）在任一點(diǎn)（o，yo）處的切線方程，分別令x=0和y=x，求出切線與y軸及與y=x交點(diǎn)的坐標(biāo)，表達(dá)出面積的關(guān)系式，再消去變量，求得定值為6.

思考本題旨在通過對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和解析幾何中的定值問題的探究，提高對(duì)導(dǎo)數(shù)的整體認(rèn)識(shí)，在提升推理論證能力和運(yùn)算求解能力的同時(shí)，導(dǎo)數(shù)概念在頭腦中也得到升華.

課堂上的理解程度受很多因素的影響，但追根溯源必須要對(duì)概念有深刻的理解，對(duì)典型問題要問一問為什么，對(duì)課堂練習(xí)要問一問像不像，對(duì)課后作業(yè)要問一問怎么做，作業(yè)做好后要問一問是否還有其他方法.

學(xué)習(xí)中的每個(gè)階段，我們應(yīng)該跟上甚至超越，這樣才是真正的“懂”.