透視中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的微積分思想

弓月

刻畫(huà)靜態(tài)現(xiàn)象的數(shù)與刻畫(huà)動(dòng)態(tài)現(xiàn)象的函數(shù)都是數(shù)學(xué)中非常重要的概念.隨著對(duì)函數(shù)研究的不斷深化，產(chǎn)生了微積分，它是數(shù)學(xué)發(fā)展史上繼歐氏幾何后的又一具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑.

翻閱微積分教材與介紹微積分發(fā)展史的著述，容易發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)定理的前面都冠以某某外國(guó)人的名字，鮮有反映中華民族對(duì)于微積分的形成與發(fā)展作出貢獻(xiàn)的內(nèi)容.我國(guó)有著光輝燦爛的數(shù)學(xué)史，事實(shí)上中國(guó)古代數(shù)學(xué)中也同樣蘊(yùn)含著初步的微積分思想.

微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念，求積的無(wú)限小方法，積分與微分的互逆關(guān)系.最后一階段是由牛頓、萊布尼茲各自獨(dú)立完成的.對(duì)于前兩個(gè)階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家甚至可一直追溯到古希臘的阿基米德都做出過(guò)不同的貢獻(xiàn).在這方面，古代中國(guó)并不遜色于西方.

如圓周率方面的研究成就是舉世公認(rèn)的.劉徽利用圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，正多邊形的面積越接近于圓面積的原理，創(chuàng)立了一個(gè)符合“極限存在準(zhǔn)則”的不等式.他計(jì)算了圓內(nèi)接正3072邊形面積，得到π≈3927/1205化成小數(shù)是3.1416.祖沖之在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步精密地推算到3.1415926<π<3.1415927的結(jié)果，成為在世界上領(lǐng)先1000多年的光輝成就.這里所用的方法就是舉世聞名的割圓術(shù).劉徽說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣.”這其中正體現(xiàn)了“以直代曲、無(wú)限逼近”的微積分的核心思想.

學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，我們都知道球的體積公式v球=4/3πR?.中國(guó)古代將球稱為立圓.祖暅所用的開(kāi)立圓術(shù)是與求球體積有關(guān)的一種方法.在這一方法中，祖暅指出“夫迭冪成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異.”用現(xiàn)在的話講，就是“夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.”這里的“冪勢(shì)既同，則積不容異”與積分概念的核心思想是一致的.它比卡瓦列里原理要早1200多年.

數(shù)學(xué)是文化的一部分，我國(guó)古代數(shù)學(xué)的微積分思想同樣也在哲學(xué)、文學(xué)等中折射出來(lái).莊子在《天下篇》中講：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.”如果把這句話和“求數(shù)列an=1/2n當(dāng)n→∞時(shí)的極限”聯(lián)系起來(lái)的話，無(wú)不為古人深邃的極限思想而折服.

老子在《道德經(jīng)》中說(shuō)：“合抱之木，生于毫末；九層之臺(tái)，起于累土；千里之行，始于足下.”比喻事情的成功是由小到大逐漸積累的.如果我們單從比喻的本身來(lái)說(shuō)明定積分的微元法是再合適不過(guò)的了，這里面蘊(yùn)涵著深刻的微積分思想.

立足傳統(tǒng)文化，將會(huì)使我們收獲人類(lèi)文明成果的行程變得更有意義.