排列組合的簡單應(yīng)用

魏偉

【摘要】排列組合是一種基本的計數(shù)方法，在近代科學(xué)研究中有重要地位，從中小學(xué)現(xiàn)行的課程來看，是學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計知識的基礎(chǔ)，而且在安排調(diào)配等日常生活和工作中有大量應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】組合問題 ?組合模型 ?排列問題 ?排列模型 ?元素

【中圖分類號】G623.5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻標(biāo)識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2015）11-0136-02

一、排列組合的基本理論和公式

排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無關(guān).如231與213是兩個排列，而2+3+1的和與2+1+3的和是一個組合。?1.兩個基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)

加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

問題：從北京到上海，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從北京到上海共有多少種不同的走法？

對于這個問題，首先要弄清楚這道題是要完成從北京到上海這件事，只要從北京到上海，就算完成了這件事.其次，從北京到上海有幾類走法？

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。

問題：從北京到上海，要從北京先乘火車到鄭州，再于第二天從鄭州乘汽車到上海，一天中從北京到鄭州的火車有3班，從鄭州到上海的汽車有2班，那么兩天中，從北京到上海共有多少種不同的走法？

無論單獨乘火車或汽車都不能從北京直接到達上海，要從北京到上海必須分兩步，第一步要先到鄭州，然后才能從鄭州到達上海，只有這兩步都完成了，才能從北京到達上海.從北京到鄭州乘火車有3種走法，再從鄭州到上海乘汽車有2種走法，并且兩步依次完成后，才能到達上海，所以共有3×2 = 6種不同的走法。

這里要注意區(qū)分兩個原理，要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨立的，因此用加法原理;做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理.這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來。

2.排列

排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。從排列的意義可知，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序必須完全相同，這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€排列是否相同的方法。

3.組合

組合：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

從組合的定義知，如果兩個組合中的元素完全相同，不管元素的順序如何，都是相同的組合;只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合。

這里要注意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系，從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序并成一組”這是有本質(zhì)區(qū)別的。

二、用排列組合知識解決問題

最重要的是在計算式分析是分類還是分步，是排列還是組合問題，在分析中總結(jié)計算方法，進而歸納為排列組合問題，即利用排列組合公式計算。

1. 排列問題

例1：組數(shù)

用1、2兩個數(shù)可以組成多少個不同的兩位數(shù)？

可以組成12，21，2個兩位數(shù)。

2×1=2（個）。

用1、2、3三個數(shù)可以組成多少個不同的兩位數(shù)？

可以組成12，13，21，23，31，32，6個兩位數(shù)。

3×2=6（個）。

用1、2、3、4四個數(shù)可以組成多少個不同的兩位數(shù)？

猜想：4×3=12（個）？

可以組成12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，12個兩位數(shù)。

4×3=12（個）。

用1、2、3、4、5五個數(shù)可以組成多少個不同的兩位數(shù)？

計算：5×4=20（個）。

用1、2、3、4、5......n個數(shù)可以組成多少個不同的兩位數(shù)？

n×（n-1）（個）。

猜想：用1、2、3、4、5......n個數(shù)可以組成多少個不同的三位數(shù)？

n×（n-1）×（n-2）（個）。

猜想：用1、2、3、4、5......n個數(shù)可以組成多少個不同的n位數(shù)？

n×（n-1）×（n-2）…3×2×1=n！（個）。

上述猜想可以用數(shù)學(xué)歸納法驗證驗證，此類組數(shù)問題為排列問題，我們用排列數(shù)計算公式來計算。

2. 綜合應(yīng)用

例2：0，1，4，7和小數(shù)點可以組成多少個小于1的三位小數(shù)？

解析：整數(shù)部分只能是0，其余三個數(shù)字全排列P（3，3）=3×2×1=6（個）。

例3：由數(shù)字0、1、2、3、4按要求組數(shù)。

①可以組成多少個不同的五位數(shù) ？

②小于20000的自然數(shù)。

①不同的五位數(shù)，分析最高位不能為0，所以最高位有4種選法，其余4個數(shù)字全排列（P4，4）=4×3×2×1=24，24×4=96（個）。

②小于20000的自然數(shù) ，分析萬位可以選擇2，3，4，其余的四個數(shù)字全排列P（4，4）=4×3×2×1=24，24×3=72（個）。

例4 ?圖中各有多少個三角形？

解析：圖（1）中任意兩條從A點引出線段都可以和線段BC上的一段組成一個三角形，是組合問題C（6，2）=6×5÷2=15（個）。

圖（2）中第三條邊可以是線段BC或線段DE的一部分，第三條邊有兩種選法，C（6，2）×C（2，1）=30（個）。

例5：用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數(shù)字能夠組成______個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。

解析：用這十個數(shù)字排列成一個不重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)時，百位上不能為0，故共有9種不同的取法.因為百位上已取走一個數(shù)字，所以十位上只剩下9個數(shù)字了，故十位上有9種取法。同理，百位上和個位上各取走一個數(shù)字，所以還剩下8個數(shù)字，供個位上取。

所以，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9×9×8=648（個）。

例6：一個口袋中有4個球，另一個口袋中有6個球，這些球顏色各不相同，從兩個口袋中各取1個球，共有多少種不同結(jié)果？

解析：從兩個袋子里各選一個C（4，1）×C（6，1）=4×6=24（種）。

例7：有9名乒乓球運動員參加比賽，每兩個運動員都要比賽一場，一共有多少場比賽？

解析：組合問題C（9，2）=9×8÷2=36（場）.

例8：甲、乙、丙、丁四個同學(xué)排成一排，從左到右數(shù)，如果甲不排在第一個位置上，乙不排在第二個位置上，丙不排在第三個位置上，丁不排在第四個位置上，那么不同的排法共有______種。

解析：因每個人都不排在原來的位置上，所以，當(dāng)乙排在第一位時，其他幾人的排法共有3種;同理，當(dāng)丙、丁排在第一位時，其他幾人的排法也各有3種。因此，一共有9種排法。

例9：用1克、3克、9克三個砝碼（砝碼只能放在一個秤盤中），可以秤出幾種不同重量的物體？

解析：是組合問題，分三類用1個砝碼、2個砝碼、3個砝碼，C（3，1）+C（3，2）+C（3，3）=3+3+1=7（種）。

由于排列組合問題在生活中經(jīng)常見到，在小學(xué)階段很多問題要用到這方面的知識，所以在小學(xué)階段掌握一些排列組合的知識對我們方便解決一些數(shù)學(xué)問題大有幫助，而在分析解決的過程中培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和有順序地、全面地思考問題的能力。

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