利用Kloosterman和刻畫一類超Bent函數(shù)

唐春明，亓延峰，徐茂智

(1.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002；2.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018;3.北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100871)

摘要：超Bent函數(shù)是一類具有特殊性質(zhì)的Bent函數(shù)，在編碼、通信和密碼學(xué)中都有著重要的應(yīng)用。該文研究一類Dillon型布爾函數(shù)，使用指數(shù)和給出了此類函數(shù)的超Bent性刻畫，并建立此類函數(shù)的超Bent性與Kloosterman和，三次和之間的聯(lián)系。在一些特殊情形下，具體考慮此類函數(shù)的超Bent性的刻畫，使用Kloosterman和以及三次和的一些特殊值來刻畫這些函數(shù)的超Bent性，并給出了一些具體超Bent函數(shù)的例子，方便地給出許多超Bent函數(shù)，從而豐富和發(fā)展了超Bent函數(shù)理論。

關(guān)鍵詞：Bent函數(shù)；超Bent函數(shù)；Dillon型函數(shù)；Walsh-Hadamard變換；Kloosterman和

DOI: 10.13954/j.cnki.hdu.2015.01.014

利用Kloosterman和刻畫一類超Bent函數(shù)

唐春明1，亓延峰2，徐茂智3

(1.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002；2.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018;3.北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100871)

摘要：超Bent函數(shù)是一類具有特殊性質(zhì)的Bent函數(shù)，在編碼、通信和密碼學(xué)中都有著重要的應(yīng)用。該文研究一類Dillon型布爾函數(shù)，使用指數(shù)和給出了此類函數(shù)的超Bent性刻畫，并建立此類函數(shù)的超Bent性與Kloosterman和，三次和之間的聯(lián)系。在一些特殊情形下，具體考慮此類函數(shù)的超Bent性的刻畫，使用Kloosterman和以及三次和的一些特殊值來刻畫這些函數(shù)的超Bent性，并給出了一些具體超Bent函數(shù)的例子，方便地給出許多超Bent函數(shù)，從而豐富和發(fā)展了超Bent函數(shù)理論。

關(guān)鍵詞：Bent函數(shù)；超Bent函數(shù)；Dillon型函數(shù)；Walsh-Hadamard變換；Kloosterman和

DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.01.014

收稿日期：2014-06-06

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10990011,11401480,61272499)

作者簡(jiǎn)介：唐春明(1982-)，男，四川南充人，講師，密碼學(xué)與信息安全.

中圖分類號(hào)：TN918.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：：A

文章編號(hào)：：1001-9146(2015)01-0067-08

Abstract:Hyper-Bent functions as a subclass of Bent functions can be applied to coding theory， communication and cryptography. This paper considers a class of Boolean functions with Dillon exponents， characterizes these functions with exponential sums， and presents the link of hyper-Bentness of these hyper-Bent functions with Kloosterman sums and cubic sums. For some special cases， we present the concrete characterization of these hyper-Bent functions with special values of Kloosterman sums and cubic sums， and give some concrete examples of hyper-Bent functions. From our method， many hyper-Bent functions can be given. That enriches the theory of hyper-Bent functions.

0引言

本文第一節(jié)給出了一些基本記號(hào)，并回顧了bent函數(shù)，超bent函數(shù)，以及指數(shù)和的相關(guān)定義和結(jié)論。第二節(jié)研究一類布爾函數(shù)的超bent性，并利用Kloosterman和來刻畫此類函數(shù)的超Bent性，具體地使用Kloosterman和的特殊值給出了一些此類超bent函數(shù)。最后，第三節(jié)是全文的一個(gè)總結(jié)。

1預(yù)備知識(shí)

1.1　超bent函數(shù)

若f是一個(gè)Bent函數(shù)，那么n必然是一個(gè)偶數(shù)，而且其代數(shù)次數(shù)deg(f)≤n/2。超Bent函數(shù)是Bent函數(shù)中的一個(gè)重要的子類，其定義如下。

定義2一個(gè)Bent函數(shù)稱為超Bent函數(shù)，若它對(duì)滿足(i，2n-1)=1的任意i，有f(xi)也是一個(gè)Bent函數(shù)。

1.2　指數(shù)和

下面介紹一些特殊的指數(shù)和的定義和結(jié)論。

命題1設(shè)a∈F2m，則Km(a)∈[-2(m+2)/2+1，2(m+2)/2+1]，而且Km(a)≡0mod 4。

Kloosterman和的如下除法性質(zhì)也將經(jīng)常被用到[31]。

命題3設(shè)m是一個(gè)奇整數(shù)，則：

1)Cm(1，1)=(-1)(m2-1)/82(m+1)/2；

1)Km(a)≡1mod 3；

2)Cm(a，a)=0；

證明由命題2知，結(jié)論(1)與(3)等價(jià)。

為了記號(hào)簡(jiǎn)單起見，記Cm(a):=Cm(a，a)。將要使用到如下的指數(shù)和：

(1)

式中，U3={u3:u∈U}。Mesnager給出了這個(gè)指數(shù)和與Kloosterman和，三次和之間的關(guān)系[16-17]。

(2)

2超Bent函數(shù)和Kloosterman和

考慮如下Dillon型布爾函數(shù)：

(3)

證明使用文獻(xiàn)[15，19]中的證明方法考慮f(x)的Walsh-Hadamard譜值，可以得到本引理的結(jié)論。

定理1設(shè)f(x)如式(3)定義，則：

綜上，定理得證。

3結(jié)束語(yǔ)

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A Class of Hyper-Bent Functions Characterized by Kloosterman Sums

Tang Chunming1， Qi Yanfeng2， Xu Maozhi3

(1.SchoolofMathematicsandInformation，ChinaWestNormalUniversity，NanchongSichuan637002，China;

2.SchoolofScience，HangzhouDianziUniversity，HangzhouZhejiang310018，China;

3.LMAM，SchoolofMathematicalSciences，PekingUniversity，Beijing100871，China)

Key words: Bent functions; hyper-Bent functions; functions with Dillon exponent; Walsh-Hadmard transform; Kloosterman sums