層狀地基與深置薄板靜力相互作用解析研究

王春玲 ，張科宇 ，郭 瑩

(1.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710055；2.陜西科技大學(xué)機電工程學(xué)院，陜西 西安 710021)

隨著經(jīng)濟的發(fā)展和科技的進步，大型、重型、超高層建筑工程以及地下結(jié)構(gòu)工程日益增多，深基礎(chǔ)的采用隨之越來越多．因此，深置基礎(chǔ)板的彎曲問題成為技術(shù)上必須突破的瓶頸．現(xiàn)有的荷載作用于層狀地基內(nèi)部的研究中，幾乎都是以Mindlin解[1-3]為基礎(chǔ)，沒有考慮地基的層狀特性．本文同時考慮到地基的層狀性和板與地基的異性性，得出深置于層狀橫觀各向同性彈性地基中的正交各向異性矩形薄板的彎曲解析解，包括地基反力、板的撓度及內(nèi)力的解析表達式．克服了數(shù)值法的弊端，取消了對地基反力的假設(shè)，得出板的內(nèi)力與地基反力更切實際的分布規(guī)律．因此用本文的研究方法，可精確分析地基深度、埋深比、層土特性及荷載特性等對地基和基礎(chǔ)板相互作用的影響．

1 地基的直角坐標(biāo)解

文獻[6]基于橫觀各向同性體的靜力胡海昌通解，借助雙重傅里葉變換，分兩種情況獲得單層橫觀各向同性地基的靜位移場和應(yīng)力場，即:

1.1 各層地基厚度有限時

若第N層地基厚度為h(N)，其待定常數(shù)為通解矩陣為如果地基有N層，則共有6N個待定常數(shù)．最上層地基上表面有三個邊界條件：

其余層連續(xù)條件用矩陣形式表示為

其中：假設(shè)總層數(shù)為N，n=1,2,…,m-1,m＋1,…,N-1，共6(N-1)個連續(xù)條件（含第m層與第m＋1層連續(xù)條件）．

則第N層與第1層的待定常數(shù)關(guān)系表達式為

由式(2)和式(3)得：

1.2 最底層地基厚度無窮大的情況

根據(jù)文獻[6]知，第N層位移通解如下（以第一種情況為例）：

抽取式(6)矩陣中的3、4、5行得：

最上層地基的應(yīng)力邊界條件的矩陣表示如(1)，聯(lián)立(1)和(7)可求得首層待定常數(shù)[C(1)]．第二種情況的推導(dǎo)類似．

2 控制方程及邊界條件

地基上深置長為a、寬為b的正交各向異性矩形板，受垂直于板面橫向分布力q(x,y)作用，若地基作用于板的反力為F(x,y)，取x、y坐標(biāo)軸同板的主方向平行，則有控制微分方程：

式中物理量Dx、Dy、H、Dxy含義見文獻[6]．

板的內(nèi)力可以用撓度函數(shù)表示為

邊界條件可表示為

3 方程求解

受文獻[8]啟發(fā)，設(shè)W為

將荷載及地基反力都展為雙重余弦級數(shù)

式中λmn、qmn見文獻[7]．

將(11) 、(12)式代入基本微分方程(8)式，采用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的富里葉級數(shù)解中的辦法，將補充項中含有的多項式，展為余弦級數(shù)，然后對比(8)式兩側(cè)展式相應(yīng)項的系數(shù)得：

現(xiàn)在考慮彎矩邊界條件．由x=0時，得：

由x=a時得：

用相同的方法，分別以y=0,b時，得：

由式(12b)可得地基反力的雙重Fourier變換為

不管地基屬于情況1還是情況2，從由前面地基解分析知都有

經(jīng)雙重傅里葉逆變換得：

則:wzmn可表示成

采用文獻[5]中的方法，得到變形協(xié)調(diào)方程

(13)至(17)及(22)這6組方程，即層狀橫觀各向同性彈性地基上正交各向異性矩形薄板彎曲的控制方程．聯(lián)立求解待定系數(shù)wmn,Qmn,Cm,Dm,Gn,Hn．

4 算例分析

算例 1.考慮文獻[5]中算例，用本文辦法計算．其中地基計算深度取h=50 m．各向同性體可看作一種特殊的橫觀各向同性體，同性板又是異性板的特例，因此可用本文方法求解該算例．其結(jié)果見表1．

表1 板中心撓度值和彎矩值Tab.1 Deflection and moment at the plate center

結(jié)果吻合，證明本文的理論的正確性．

研究計算深度h的影響，分別計算h取10 m、20 m、30 m、40 m、80 m、100 m和120 m時，計算板中心處的撓度值和彎矩值：

表2 板中心撓度值和彎矩值Tab.2 Deflection and moment at the plate center

由表2知，隨地基計算深度h的增大，板的撓度逐漸增長，且當(dāng)h≥100 m后逐漸趨于穩(wěn)定；板上彎矩幾乎不變化．當(dāng)計算深度h≥100 m時結(jié)果與文獻[5]中結(jié)果吻合良好．在本例數(shù)據(jù)選取的情況下，有限厚度各向同性彈性地基當(dāng)計算深度h≥100 m時可模擬彈性半空間地基．

算例 2分析埋深比(板底面至地基表面距離Z與板邊長a之比)影響．選取的兩層彈性地基，板底面落在兩層地基交界處；板的尺寸及物性參數(shù)見圖 1．板上作用均布荷載．

圖1為板的1/4區(qū)域．作為荷載均布的正方形板，板上撓曲與受力是對稱的．在對角線上取圖示三點（1為中點、2為對角線四分點、3為角點），分別計算它們的撓度和彎矩（角點彎矩為 0，故不考慮）．

圖1 計算點選取Fig.1 The selection of calculation point

圖2 埋深比對板沉降的影響Fig.2 The influence of depth ratio Z/a on settlement

圖3 埋深比對板彎矩的影響Fig.3 The influence of depth ratio Z/a on moment

在采用本例物性參數(shù)、板尺寸和荷載的前提下，考察板上指定點的沉降和彎矩可以看出：板的沉降首先隨埋深比Z/a的增加迅速減小，當(dāng)Z/a的進一步增大，沉降曲線趨于平緩，沉降趨于穩(wěn)定；板上彎矩首先隨埋深比Z/a的增加而增加，當(dāng)Z/a=0.2時到達峰值，后隨埋深比的進一步增大而迅速減小，并在Z/a＞2后趨于穩(wěn)定．

算例3.板與其上荷載均與算例1相同；地基為三層橫觀各向同性地基，各層地基厚度均為20 m，板底面落在第一層與第二層地基交界處，各層地基其余物性參數(shù)的選取見表3．

表3 土層物性參數(shù)的選取Tab.3 The selection of physical parameters

圖4 板的接觸壓力Fig.4 Groundsill counterforce of the plate

圖5 板的撓度Fig.5 Deflection of the plate

圖6 板的彎矩MxFig.6 Moment Mx

本文方法對層狀地基與基礎(chǔ)板共同作用的計算有效，能夠計算基礎(chǔ)板落在任意深度處時板的受力和變形情況．

5 結(jié)論

(1) 考慮到地基的層狀性和板及地基的異性性，得出深置于層狀橫觀各向同性彈性地基中的正交各向異性矩形薄板的彎曲解析解．包括地基反力、板的撓度及內(nèi)力的解析表達式．克服了數(shù)值法的弊端，取消了對地基反力的假設(shè)，得出板的內(nèi)力與地基反力更切實際的分布規(guī)律．

(2) 本文的求解方法和技術(shù)可以推廣研究分析深置于層狀橫觀各向同性彈性地基中的正交各向異性矩形薄板的穩(wěn)態(tài)振動問題．

(3) 應(yīng)用本文得到的結(jié)果，我們分析了地基厚度和埋深比對地基與基礎(chǔ)板的影響．

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