一種求解KdV-Burgers方程的迎風(fēng)超緊致差分格式

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一種求解KdV-Burgers方程的迎風(fēng)超緊致差分格式

孫建安，郭小霞,賈偉

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,甘肅蘭州730070)

摘要：提出了一種迎風(fēng)超緊致差分格式(USCD)，利用Fourier分析方法對該格式的數(shù)值特性進行了分析，并與其他的迎風(fēng)差分格式和迎風(fēng)緊致差分格式做了對比.結(jié)果反映出USCD具有更好的分辨率和更低的耗散.通過對Burgers方程和KdV-Burgers方程的數(shù)值模分析，進一步證實了USCD格式有更高的精度和對長時間演化問題的有效性.

關(guān)鍵詞：迎風(fēng)超緊致差分格式(USCD)；KdV-Burgers方程；數(shù)值解

收稿日期：2015-01-15;修改稿收到日期:2015-04-20

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(10875098)

作者簡介：孫建安(1964—)，男，甘肅天水人，教授，博士,碩士研究生導(dǎo)師.主要研究方向為計算物理.

中圖分類號：O 241.82文獻標志碼：A

Anupwindsupercompactdifferencescheme

forKdV-Burgersequation

SUNJian-an,GUOXiao-xia,JIAWei

(CollegeofPhysicsandElectronicEngineering,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

Abstract:In this paper,an upwind super compact difference scheme(USCD)is proposed.The numerical characteristics of USCD are analyzed by using Fourier analysis,and compared with other upwind difference schemes and upwind compact difference schemes.According to analysis,it is found that USCD has better resolution and lower dissipation.Numerical solutions of the Burgers and KdV-Burgers equations show that the USCD scheme has high-order accuracy and is effective for long time evolution.

Keywords:upwindsupercompactdifferencescheme(USCD);KdV-Burgersequation;numericalsolutions

有限差分法是微分方程數(shù)值解法中發(fā)展最早、理論最完善、應(yīng)用最廣泛的數(shù)值計算方法之一.1992年，Lele對一類Padé格式進行了總結(jié)，提出了緊致有限差分格式[1]，與傳統(tǒng)差分格式相比，緊致格式的內(nèi)點模板更小，數(shù)值精度更高.1993年Fu等在緊致差分格式中引入迎風(fēng)機制[2].1997年Fu等提出了五格點五階精度的迎風(fēng)緊致格式[3]，利用Fourier分析方法對格式穩(wěn)定性進行了分析，對二維N-S方程和可壓縮流體問題進行了數(shù)值模擬，其結(jié)果反映出迎風(fēng)緊致格式能夠有效抑制非物理振蕩，更適合于多尺度復(fù)雜流場的計算.

2000年Chu等建立了三格點6階精度的緊致差分差分格式[4-5]，并對格式的穩(wěn)定性進行了分析.2008年林東等在其基礎(chǔ)上提出了組合型超緊致差分格式[6]，該格式只需三個格點就可以達到任意階精度，對KdV-Burgers方程和淺水方程的數(shù)值模擬反映出了該格式的高精度.但以前的超緊致差分格式還沒有看到過引入迎風(fēng)機制的文獻.

本文針對KdV-Burgers方程提出了一種迎風(fēng)超緊致差分格式，該格式只需三個基架點就可以達到五階精度，并且具有更好的分辨率和更低的耗散.

1KdV-Burgers方程的迎風(fēng)超緊致差分格式

1.1KdV-Burgers方程

考慮如下KdV-Burgers方程[6-7]

其中，μ1為耗散系數(shù)；μ2為色散系數(shù).

1.2空間離散格式

將迎風(fēng)機制引入超緊致差分格式，構(gòu)造如下形式的三格點模板的迎風(fēng)超緊致差分格式(Upwind Super Compact Difference Scheme，簡稱USCD)，其精度可以達到五階.對于內(nèi)節(jié)點，具體格式為

其中α1,β1,γ1,δ1,a1,b1,c1,α2,β2,γ2,δ2,a2,b2,c2分別為差分格式的系數(shù).對上述逼近式分別做泰勒展開可得到系數(shù)之間的如下關(guān)系式

(4a)

(4b)

據(jù)此可求得差分格式系數(shù)的值.可以驗證，當系數(shù)滿足(4)式時，格式(2),(3)可以達到5階精度.

對于左邊界節(jié)點，本文構(gòu)造了如下形式的差分格式

這里可同樣使用泰勒展開得到系數(shù)a11,a12,b1,a21,a22,b2之間的如下關(guān)系式

(7a)

(7b)

同樣可以驗證，當系數(shù)滿足(7)式時，格式(5),(6)可以達到三階精度.

由此，本文構(gòu)造的整個區(qū)間[a,b]上的迎風(fēng)超緊致差分格式為

內(nèi)點五階精度的迎風(fēng)超緊致格式為

左邊界三階精度的組合緊致格式為

右邊界三階精度的組合緊致格式為

聯(lián)立內(nèi)點和邊界點格式，可以得到如下形式的系數(shù)矩陣A:

記向量F和B分別為

求解代數(shù)方程組

即可得到各節(jié)點的一、二階導(dǎo)數(shù)值.

1.3格式分辨率分析及耗散波數(shù)

分辨率分析可以了解一個格式對不同尺度的物理量的分辨能力[8].因此對于一階導(dǎo)數(shù)的差分，采用Fourier分析方法計算出修正波數(shù)kh，并考察其與精確波數(shù)k′h的逼近程度，依此分析格式的分辨率及耗散誤差.

圖1和圖2給出了一階顯式迎風(fēng)格式(UD1)，三階迎風(fēng)緊致格式(UCD3)[9]，五階迎風(fēng)緊致格式(UCD5)[8]，五階迎風(fēng)超緊致格式(USCD,即本文格式)分辨率和耗散波數(shù)的比較，以判斷格式的分辨率和耗散情況.

圖1　 不同格式一階導(dǎo)數(shù)修正波數(shù)虛部(色散誤差)

圖2　 不同格式一階導(dǎo)數(shù)修正波數(shù)實部(色散誤差)

從圖1可以看出，本文所構(gòu)造的USCD格式(d線)色散誤差與準確波數(shù)(e線)符合最大，相比于傳統(tǒng)一階迎風(fēng)格式(a線)、三格點緊致迎風(fēng)格式(b線)和五格點緊致迎風(fēng)格式(c線)，五階迎風(fēng)超緊致格式(USCD)具有更高的分辨率.

從圖2可以看出，本文所構(gòu)造的USCD格式(d線)耗散誤差與準確波數(shù)(e線)符合最大.由圖2可見，當kh=2.5時，本文所構(gòu)造的USCD格式(d線)更接近于準確波數(shù)，從而反映出USCD格式相比于傳統(tǒng)一階迎風(fēng)格式(a線)、三格點緊致迎風(fēng)格式(b線)和五格點緊致迎風(fēng)格式(c線)，五階迎風(fēng)超緊致格式(USCD)具有更低的耗散.

更值得注意的是，本文構(gòu)造的五階迎風(fēng)超緊致格式在最大的波段范圍內(nèi)，相比較三格點三階緊致迎風(fēng)格式(UCD3)，三格點五階迎風(fēng)超緊致格式(USCD)比三格點三階迎風(fēng)緊致格式(UCD3)具有更好的分辨率和更低的耗散，甚至在一些波段內(nèi)USCD的分辨率高于UCD5，其耗散誤差也低于UCD5.

1.4時間離散格式

時間離散采用四階修正Runge-Kutta方法[9]，若設(shè)方程為

式中G為對空間變量的微分算子，則四階修正Runge-Kutta格式為

2數(shù)值算例

2.1Burgers方程

若方程(1)中μ2=0，則方程(1)可變?yōu)锽urgers方程.因此考慮如下Burgers方程的初邊值問題[10]

式中μ1為耗散系數(shù).上述方程當初值為

時的精確解為[11]

其中

為方便比對數(shù)值結(jié)果的誤差，引入誤差范數(shù)L2與L∞，其定義分別為[12]

采用本文構(gòu)造的五階精度的迎風(fēng)超緊致格式(USCD)進行計算，取h=0.02,節(jié)點數(shù)N=51，Δt=0.001.表1給出了五階精度的迎風(fēng)超緊致格式(USCD)、三階精度的迎風(fēng)緊致格式(UCD3)和五階精度迎風(fēng)緊致格式(UCD5)在不同ε時的數(shù)值解誤差比較.可以看出,USCD的精度明顯高于UCD3，甚至比UCD5精度略高，顯然其數(shù)值解達到了五階精度.

2.2KdV-Burgers方程

對于方程(1),當初值為

其精確解為[13]

采用本文提出的五階USCD格式進行計算，取a=-20,b=20,h=1，節(jié)點數(shù)N=41,Δt=0.001.對于三階導(dǎo)數(shù)值，采用將一階導(dǎo)數(shù)值作為函數(shù)值代入(16)式再進行一次求解即可得到.表2給出了不同格式數(shù)值結(jié)果的誤差比較.可以看出USCD的精度比UCD3更高，在長時間演化過程中USCD的精度略高于UCD5.

表1　 Burgers方程不同格式誤差范數(shù)的比較

表2　KdV-Burgers方程不同格式誤差范數(shù)的比較( a=-20, b=20, μ1=0.3,μ2=0.1)

圖3給出了KDV-Burgers方程在不同時刻的解.可以看出，當μ1=0.3,μ2=0.1時，KdV-Burgers方程在不同時刻解的波形能夠保持完整準確.即使在t=50的時刻點，USCD格式也能夠高精度的進行數(shù)值模擬，從而也體現(xiàn)了USCD格式對長時間演化問題的有效性.

( μ1=0.3,μ2=0.1)

3結(jié)束語

本文提出的迎風(fēng)超緊致差分格式(USCD)從理論分析和數(shù)值結(jié)果兩方面表明了其數(shù)值模擬的優(yōu)良性能.只需三個格點就可以達到五階精度，并且具有較高的分辨率和較低的耗散.通過兩個算例，表明了USCD格式具有高精度以及對長時間演化問題的有效性.

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(責任編輯孫對兄)